\documentclass{lecture}

\begin{document}

\section{Kurvenintegrale}

\begin{definition}[Integrationsweg]
    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt Integrationsweg, falls $\gamma$ stetig und stückweise eine $C^1$-Abbildung ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Skalares Kurvenintegral]
    Sei $D \subset \R^n, \ \gamma \colon [a,b] \to D$ ein Integrationsweg und $f\colon D \to \R$ stetig. Dann heißt
    \[\int_\gamma f \d s \coloneqq \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \norm{\gamma'(t)} \d t\]
    das skalare Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$. Dabei heißt $\d s = \norm{\gamma'(t)} \d t$ das skalare Bogenelement von $\gamma$ und $f$ wird \underline{Skalarfeld} genannt.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $f \equiv 1$: Das Kurvenintegral $\int_\gamma \d s = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t = S(\gamma)$ entspricht der Länge von $\gamma$.
        \item Dichtefunktion $\rho(s)$:
        \begin{align*}
            \rho(\gamma(t)) &: \text{ Dichte verteilt auf } \gamma(t)\\
            \int_\gamma \rho(s) \d s \eqqcolon \mu(\gamma) &: \text{ Gesamtmasse von } \gamma
        \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Das Kurvenintegral ist linear:
        \[\int_\gamma (\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2) \d s = \lambda_1 \int_\gamma f_1\d s + \lambda_2 \int_\gamma f_2 \d s\]
        \item Es gilt die Abschätzung
        \begin{align*}
            \left|\int_\gamma f \d s\right| &= \left|\int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\right| \\
            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t \\
            &= \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot S(\gamma).
        \end{align*}
        \item Das Kurvenintegral ist invariant unter $C^1$-Parametertransformation. Sei $\varphi \colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ eine $C^1$ Parametertransformation. Dann gilt
        \begin{salign*}
            \int_{\gamma\circ\varphi}f \d s &= \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\gamma(\varphi(s))} \d s \\
            &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)} \d s \\
            &= \begin{cases}
                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) > 0 \\
                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) < 0
            \end{cases} \\
            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\\d t = \varphi'(s)\d s}}{=}
            \begin{cases}
                 \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) > 0 \\
                -\int_b^a f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) < 0
            \end{cases} \\
            &= \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\\
            &= \int_\gamma f \d s
        \end{salign*}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{definition}[Vektorfeld]
    Ein Vektorfeld $F$ auf $D\subset \R^n$ ist eine Abbildung von $D$ nach $\R^n$, d.h. jedem $x\in D$ wird ein Vektor $F(x) \in \R^n$ zugeordnet.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item Windungsfeld
        \[W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \quad W(x,y) \coloneqq \frac{1}{\norm{(x,y)}_2^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\]
        \item Gravitationsfeld
        \[G\colon \R^3\setminus \{0\} \to \R^3, \quad G(x,y,z) \coloneqq -\frac{1}{\norm{(x,y,z)}_2^2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\]
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \begin{axis}
                [axis lines=middle,
                 axis lines=middle,
                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
                 ymin=-1, ymax=1.1,
                 ticks=none,
                 xlabel=$x$,
                 ylabel=$y$
                ]
                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)),
                    blue, samples=20*\r,
                    quiver={u={-y/(x^2+y^2)}, v={x/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x)},{\r*cos(x)}); % polar coordinates
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \subcaption{Beispiel 1: Windungsfeld}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \begin{axis}
                [axis lines=middle,
                 axis lines=middle,
                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
                 ymin=-1, ymax=1.1,
                 ticks=none,
                 xlabel=$x$,
                 ylabel=$y$
                ]
                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)), 
                    red, samples=20*\r,
                    quiver={u={-x/(x^2+y^2)}, v={-y/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x+180/(20*\r))},{\r*cos(x+180/(20*\r))}); %polar coordinates
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \subcaption{Beispiel 2: Gravitationsfeld bei $z=0$.}
    \end{subfigure}
\end{figure}

\begin{definition}[Vektorielles Kurvenintegral]
    Sei $\gamma\colon [a,b] \to D\subset \R^n$ ein Integrationsweg und $F\colon D\to \R^n$ ein stetiges Vektorfeld. Dann ist das (vektorielle) Kurvenintegral von $F$ längs $\gamma$ definiert durch
    \[\int_\gamma F = \int_\gamma F\d{\vec s} \coloneqq \int_a^b \underbrace{\left(F(\gamma(t)), \gamma'(t)\right)}_{\text{Skalarprodukt}} \d t = \int_a^b \sum_{i=1}^n F_i(\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) \d t\]
    Alternative Schreibweise: $\int_\gamma F = \int_\gamma F_1\d{x_1} + \dots + F_n\d{x_n} $
\end{definition}

\begin{bsp}
    Kurvenintegral des Windungsfelds $W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \ W(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x  \end{pmatrix}$ längs $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}, \ \gamma \colon [0,2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$.
    \begin{align*}
        \int_\gamma W &= \int_\gamma -\frac{y}{x^2+y^2}\d x + \frac{x}{x^+y^2}\d y\\
        &= \int_0^{2\pi} \left(-\frac{\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t) + \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right) \d t \\
        &= \int_0^{2\pi} \left(\sin^2t+\cos^2t\right) \d t = 2\pi
    \end{align*}
\end{bsp}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item 
        Das Kurvenintegral ist linear: $$\int_\gamma (\lambda_1F_1+\lambda_2F_2)=\lambda_1\int_\gamma F_1+\lambda_2\int_\gamma F_2$$
        \item
        Standard-Abschätzung: $$\left|\int_\gamma F \right|=\left|\int_a^b\bigl(F(\gamma(t)),\gamma'(t)\bigr)\, \d t \right|\leq \sup_{t\in [a,b]}\norm{F(\gamma(t))}\cdot S(\gamma)$$
        \item
        Invarianz unter orientierungstreuen $C^1$-Parametertransformationen. Sei $\varphi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b]$ eine $C^1$-Parametertransformation mit $\varphi'(s)>0,\ \forall s\in [\alpha,\beta]$ ($\Longleftrightarrow$ orientierungstreu). Dann gilt \begin{salign*}
            \int_{\gamma \circ \varphi}F&=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\frac{\d}{\d s}\gamma(\varphi(s)) \right) \d s\\
            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s))\cdot \frac{\d \varphi}{\d s}(s) \right) \d s\\
            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s)) \right)\frac{\d \varphi}{\d s}(s) \d s\\
            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\ \d t=\varphi'(s)\d s}}{=}\int_a^b\bigl(F(t),\gamma'(t)\bigr)\d t\\
            &=\int_\gamma F.
        \end{salign*}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{definition}[Gebiet]
    $U\subset \R^n$ heißt Gebiet, falls $U$ offen ist und wegzusammenhängend, d.h. $\forall \,x,y\in U$ existiert $\gamma \in C^0([a,b],U)$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $U\subset \R^n$ offen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}
        \item 
        $\forall \,x,y\in U$ existiert ein Integrationsweg $\gamma \colon [a,b]\to U$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
        \item
        $U$ ist wegzusammenhängend.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    Ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item 
        Sei $U=K_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\, \cup \, K_1\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}$. $U$ ist kein Gebiet, denn es existiert kein stetiger Weg von $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ nach $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $U$.
        \item
        $U\subset \R$ Gebiet $\Longleftrightarrow$ $U$ offenes Intervall
    \end{enumerate} 
\end{bsp}

\section{Potential}

\begin{definition}[Geschlossene Kurve]
    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt \underline{geschlossen}, falls $\gamma(a)=\gamma(b)$.
\end{definition}

\begin{definition}[Potential]
    Sei $D\subset \R^n$ und $F\in C^0(D,\R^n)$ ein stetiges Vektorfeld. $\varphi \in C^1(D,\R)$ heißt \underline{Potential} oder \underline{Stammfunktion} von $F$ in $D$, falls $\nabla \varphi=F$ gilt. $F$ heißt in diesem Fall \underline{konservativ} auf $D$.
\end{definition}

\begin{satz}[Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale]
    Sei $D\subset \R^n$ ein Gebiet und $F\in C^0(D,\R^n)$. Dann sind folgend Aussagen äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item F ist konservativ.
        \item
        $\int_\gamma F=0$ für alle geschlossenen Integrationswege $\gamma$ in $D$.
        \item
        Das Kurvenintegral von $F$ in $D$ ist wegunabhängig, d.h. für beliebige Integrationswege $\gamma_1\colon [a,b]\to D,\ \gamma_2\colon [\alpha,\beta]\to D$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(\alpha)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(\beta)$ gilt $$\int_{\gamma_1}F=\int_{\gamma_2}F.$$
    \end{enumerate}
    In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
    \label{satz:hauptsatz-1-kurven}
\end{satz}

\begin{proof}
    (i)$\implies$(ii): Sei $F = \nabla \varphi$, $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ und $\gamma\colon [a,b] \to D$
    geschlossener Integrationsweg. Dann folgt
    \begin{salign*}
        \int_{\gamma} F &\stackrel{\text{Def.}}{=} \int_{a}^{b} (F(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
        &= \int_{a}^{b} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
        &\stackrel{\gamma \text{ stückweise } C^{1}}{=}
        \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
        &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} \frac{\d}{\d t} (\varphi \circ \gamma) \d t \\
        &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i=1}^{M} \left( \varphi(\gamma(s_i)) - \varphi(\gamma(s_{i-1})) \right) \\
        &= \varphi(\gamma(b)) - \varphi(\gamma(a)) \\
        &\stackrel{\gamma(b) = \gamma(a)}{=} 0
    .\end{salign*}

    (ii)$\implies$(iii): Nach Umparametrisierung gelte o.E. $[a,b] = [-1, 0] = [\alpha, \beta]$. Seien
    $\gamma_1, \gamma_2\colon [-1,0] \to D$ Integrationswege mit gleichem Anfangs und Endpunkt, d.h.
    $\gamma_1(-1) = \gamma_2(-1)$ und $\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$. Dann betrachte
    \begin{align*}
        \gamma &\colon [-1, 1] \to D \\
               t& \mapsto \begin{cases}
                   \gamma_1(t) & t \in [-1, 0] \\
                   \gamma_2(-t) & t \in [0, 1]
               \end{cases}
    .\end{align*}
    Dann ist $\gamma$ ein geschlossener Integrationsweg, also folgt
    \begin{salign*}
        0 &= \int_{\gamma}^{} F \\
        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s) \d s \\
        &= \int_{\gamma_1}^{} F - \int_{\gamma_2}^{} F  
    .\end{salign*}

    (iii) $\implies$ (i): Fixiere $x_0 \in D$ und definiere $\varphi_0\colon D \to \R$ durch
    $\varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma}^{} F$, wobei
    $\gamma$ irgendein Integrationsweg von $x_0$ nach $x$ ist. Zu $x \in D$ betrachte
    $x + h e_i \in D$ für $|h| \ll 1$. Nach Umparametrisierung gelte o.E.
    \begin{align*}
        &\gamma_x \colon [-1, 0] \to D \\
        &\gamma_{x + h e_i}\colon [-1, 1] \to D \\
        &\gamma_{x + h e_i} \coloneqq \begin{cases}
            \gamma_x(t) & t \in [-1, 0] \\
            x + t h e_i & t \in [0,1]
        \end{cases}
    .\end{align*}
    Dann folgt
    \begin{salign*}
        \frac{\partial \varphi_0(x)}{\partial x_i} &= \lim_{h \to 0} \frac{\varphi_0(x + h e_i) - \varphi_0(x)}{h} \\
        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_{\gamma_{x + h e_i}} F - \int_{\gamma_x}^{} F \right) \\
        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} \left( F(x + t h e_i), \gamma'_{x + h e_i}(t) \right)  \d t \\
        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} ( F(\underbrace{x + t h e_i}_{\xrightarrow{h \to 0} F(x)}), h e_i )  \d t \\
        &= \int_{0}^{1} (F(x), e_i) \d t \\
        &= F_i(x)
    .\end{salign*}
    Damit ist $\varphi_0 \in C^{1}(D, \R)$ und $\nabla \varphi_0 = F$. Das zeigt (i).

    Sei $\gamma$ ein Integrationsweg von $x_0 \in D$ nach $x \in D$. Dann definiere
    \[
        \varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma} F
    .\]
    Sei weiter $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$. Dann gilt wegen (i) und (ii):
    \[
        \int_{\gamma} F = \varphi(x) - \varphi(x_0)
    .\] Damit folgt
    \[
        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst}} = \varphi_0(x) + c
    .\] 
\end{proof}

\end{document}
