\documentclass{lecture}

\begin{document}

\begin{lemma}[Störungssatz]
    Sei $\Vert \cdot \Vert$ beliebige natürliche Matrixnorm
    auf $\mathbb{K}^{n \times n}$. Die Störungsmatrix
    $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ hat $\Vert B \Vert < 1$. Dann ist
    die Matrix $\mathbb{I} + B$ regulär und es gilt
    \[
        \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}
    .\] 
    \label{lemma:stoerung}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $x \in \mathbb{K}^{n}$. Dann ist
    \begin{salign*}
        \Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert 
        &=  \Vert x + B x\Vert \\
        &\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge }  \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\
        &\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge } 
         \Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\
        &=  ( \underbrace{1  - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert
        \intertext{Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also
            ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär.
            Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$.
            Es gilt}
        1 &=  \Vert \mathbb{I}\Vert \\
        &=  \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
        &=  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
        &\stackrel{\text{Dreicksungl.}}{\ge }  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
        - \Vert B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
        &\ge  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
        &=  (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
    .\end{salign*}
    Damit folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{korrolar}
    Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
    $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
    ist $\tilde A$ regulär.
\end{korrolar}

\begin{proof}
    Es ist $\tilde A = \tilde A + A - A = (\tilde A - A) + A = A
    (\underbrace{A^{-1} (\tilde A - A) }_{=:B} + \mathbb{I})$. Damit folgt
    $\Vert B \Vert = \Vert A^{-1} (\tilde A - A) \Vert \le \Vert A^{-1} \Vert \cdot \Vert \tilde A
    - A \Vert < 1$.
    Mit \ref{lemma:stoerung} folgt $\mathbb{I} + A^{-1}(\tilde A - A)$ regulär. Da
    A regulär nach Vorraussetzung, folgt $\tilde A = A (\mathbb{I} + A^{-1} (\tilde A - A))$ regulär.
\end{proof}

\chapter{Funktionen mehrerer Variablen}

Wir betrachten im Folgenden Funktionen $f\colon D \to \mathbb{K}$, mit
$D \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $D \neq \emptyset$ und Bildbereich $B_f \subseteq \mathbb{K}$.

Zur Erinnerung:
\begin{itemize}
    \item \underline{Bild und Urbild}. Seien $M \subseteq D$, $N \subseteq f(D)$
        Teilmengen. Dann heißt
        \begin{align*}
            f(M) &:= \{y \in \mathbb{K}  \mid  \exists x \in M\colon y = f(x)\} 
            \intertext{das Bild. Weiter heißt}
            f^{-1}(N) &:= \{ x \in D  \mid \exists y \in N\colon f(x) = y\}
        .\end{align*} 
        das Urbild. Dann ist $B_f = f(D)$ und $D = f^{-1}(B_f)$
    \item \underline{Notation}. $f^{-1}(\cdot )$ meint das Mengen-Urbild, \underline{nicht}
        eine Umkehrfunktion.
\end{itemize}

Da alle Normen auf $\mathbb{K}^{n}$ äquivalent sind, sind alle Aussagen unabhängig
von der gewählten Norm. Standard ist die euklid. Norm.

\section{Stetigkeit}

\begin{definition}[Stetigkeit]
    Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ heißt
    \underline{stetig} in einem Punkt $a \in D$, wenn für alle Folgen
    $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq D$ mit
    $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} a$ gilt
    \[
        f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} f(a)
    .\] Die Funktion $f$ heißt \underline{stetig in $D$}, wenn sie für alle
    $x \in D$ stetig ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{itemize}
        \item Falls $f\colon D \to \mathbb{K}$ stetig, dann ist auch
            $f\colon M \to \mathbb{K}$, $M \subseteq D$ stetig.
        \item $f$ stetig $\implies \text{Re } f$, $\text{Im } f$, $|f|$ sind stetig.
    \end{itemize}
\end{bem}

\begin{lemma}[$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium der Stetigkeit]
    $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist stetig in $a \in D$, genau
    dann wenn $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, s.d. $\forall x \in D$ gilt
    \[
        \Vert x - a \Vert < \delta  \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    wie für $n = 1$.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Seien $f, g\colon  D \to \mathbb{K}$ stetig, dann sind
    $f + g$, $f \cdot g$ und $\frac{f}{g}$ (falls $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$)
    stetig.
\end{lemma}

\begin{proof}
    wie für $n = 1$.
\end{proof}

\begin{satz}
    Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$
    ist auf jeder kompakten Menge $K \subseteq D$ beschränkt, d.h.
    \[
        \exists M_K \text{ s.d. } |f(x)| \le M_K \quad \forall x \in K
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Ang.: $f(x)$ nicht beschränkt auf $K$. Dann gilt: $\forall k \in \N$, $\exists x^{(k)} \in K$ mit
    $|f\left(x^{(k)}\right)| > k$, d.h. $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$.

    Die Folge $(x^{(k)})_{k\in\N}$ besitzt auf der kompakten Menge $K$ eine
    konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
    $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$.

    Da $f$ stetig, folgt $|f\left( x^{(k_j)} \right)| \xrightarrow{j \to \infty} |f(x)|$. Widerspruch
    zu $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$.
\end{proof}

\begin{satz}[Extremum]
    Eine stetige Funktion $f\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ nimmt
    auf jeder nichtleeren kompakten Menge $K \subseteq D$ ihr
    Maximum und Minimum an, d.h. es ex. $x^{max}$ und $x^{min} \in K$, s.d.
    \begin{align*}
        f(x^{max}) &= \sup_{x \in K} f(x) =: \max_{x \in K} f(x) \\
        f(x^{min}) &= \inf_{x \in K} f(x) =: \min_{x \in K} f(x)
    .\end{align*}
    \label{satz:stetigextremum}
\end{satz}

\begin{proof}
    $f$ stetig und deshalb beschränkt auf $K$, d.h. es ex. obere Schranke
    $\displaystyle M := \sup_{x \in K} f(x)$. Außerdem existiert eine Folge
    $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq K$, s.d.
    $f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} M$. Da $K$ kompakt, existiert
    eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
    $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} a =: x^{max} \in K$. Wegen der Stetigkeit von
    $f$, folgt aus $f\left( x^{(k_j)} \right) \xrightarrow{j \to \infty} f\left( x^{max} \right)$:
    $f(x^{max}) = M$.
\end{proof}

\begin{bem}[Anwendung von Satz \ref{satz:stetigextremum}]
    Seien $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $K_1 \neq \emptyset$, $K_2 \neq \emptyset$
    kompakt. Dann ist die Menge $K_1 \times K_2$ auch kompakt. Definiere
    $f(x, y) :=  \Vert x - y \Vert$, $x \in K_1$, $y \in K_2$.

    $f(x,y)$ ist stetig, denn
    \[
        |f(x,y) - f(x', y')| = | \Vert x - y \Vert - \Vert x' - y'\Vert |
        \quad \stackrel{\Delta -\text{ungl.}}{\le} \quad \Vert x - y - x' + y' \Vert \le \Vert x - x' \Vert + \Vert y - y' \Vert
    .\] $\forall x, x' \in K_1$ und $\forall y, y' \in K_2$ mit
    $\Vert x - x'\Vert < \delta  = \frac{\epsilon}{2}$ und $\Vert y - y'\Vert < \delta = \frac{\epsilon}{2}$
    gilt
    \[
        |f(x,y) - f(x', y')| < \epsilon
    .\] Also ist $f(x,y)$ stetig auf $K_1 \times K_2$. Mit \ref{satz:stetigextremum} folgt damit:
    $\exists a \in K_1$, $b \in K_2$, s.d.
    \[
        \Vert a - b \Vert = \inf_{x \in K_1 y \in K_2} \Vert x - y \Vert =: d(K_1, K_2)
        \quad \text{Abstand zwischen Mengen } K_1 \text{ und } K_2
    .\] Im Fall $K_1 \cap K_2 = \emptyset$, gilt $d(K_1, K_2) > 0$. Falls
    $K_1 = \{a\} $, dann heißt $b \in K_2$ die Projektion des Punktes $a$ auf
    $K_2$ (diese ist im Allg. nicht eindeutig bestimmt).
\end{bem}

\begin{definition}[Gleichmäßige Stetigkeit]
    Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist gleichmäßig stetig,
    wenn $\forall \epsilon > 0$
    $\exists \delta  > 0$, s.d.
    \[
        \forall x, y \in D\colon \Vert x - y \Vert < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon
    .\] 
\end{definition}

\begin{satz}
    Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist
    auf einer kompakten Menge $K \subseteq D$ gleichmäßig stetig.
\end{satz}

\begin{proof}
    Ang. $f$ nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon > 0$, s.d. $\forall k \in \N$,
    ex. Punkte $x^{(k)}$ und $y^{(k)} \in K$, s.d.
    \[
        \Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k} \text{ und }
        \left|f\left( x^{(k)} \right) - f\left( y^{(k)} \right) \right| > \epsilon
    .\] Da $K$ kompakt, ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ von
    $(x^{(k)})_{k \in \N}$ mit $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$. Wir haben
    $\Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k}$, also
    \[
        \Vert x^{(k_j)} - y^{(k_j)} \Vert < \frac{1}{k^{j}} \implies
        \lim_{j \to \infty} y^{(k_j)} = x = \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)}
    .\] Da $f$ stetig, folgt
    \[
        \left| f\left( x^{(k_j)} \right) - f\left( y^{(k_j)} \right)  \right|
        \xrightarrow{j \to \infty} |f(x) - f(x)| = 0
    .\] Widerspruch zu $\left| f\left( x^{(k)}\right) - f\left( y^{(k)} \right)   \right| > \epsilon$.
\end{proof}

\begin{definition}[Konvergenz von Funktionenfolgen]
    Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$, $k \in \N$.
    $(f_k)_{k \in \N}$ konvergiert
    \begin{itemize}
        \item \underline{punktweise} gegen eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, falls
            $\forall x \in D$ gilt $f_k(x) \xrightarrow{k \to \infty} f(x)$.
        \item \underline{gleichmäßig}, falls $\sup_{x \in D} |f_k(x) - f(x)| \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{satz}[Gleichmäßige Konvergenz]
    Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ stetig, $f_k \xrightarrow{k \to \infty} f$
    gleichmäßig mit $f\colon D \to \mathbb{K}$. Dann ist $f$ stetig.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $x \in D$ und $\epsilon > 0$ beliebig. Da $(f_k)_{k\in\N}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert,
    existiert ein $n = n(\epsilon) \in \N$ s.d.
    $\displaystyle \sup_{y \in D} |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$.

    Da $f_n$ stetig, ex. $\delta > 0$, s.d. $\forall y \in D$ gilt:
    $\Vert x - y \Vert < \delta  \implies |f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}$.

    Dann gilt $\forall x, y \in D$ mit $\Vert x - y \Vert < \delta $:
    \[
        |f(x) - f(y)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)|
        + |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon
    .\] Also ist $f$ stetig in $x$.
\end{proof}

\begin{bem}
    Analoge Sätze gelten allgemein für Funktionen auf kompakten Mengen in
    normierten $(V, \Vert \cdot \Vert)$ oder metrischen $(X, d(\cdot , \cdot ))$ Räumen.
\end{bem}

\end{document}
