\documentclass{lecture}

\begin{document}
\section{Globale Stabilität}

\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]s
	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
		\[
			v'(t) = f\left(t,v(t)\right), \ \ \ t \geq t_{*}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
		\]
	eine globale Lösung $v(t)$ hat, für welche gilt:
		\[
			\norm{v(t) -y(t)} \leq Ae^{-\alpha (t-t_{*})} \norm{w_{*}}, \ \ \ t \geq t_{*}.
		\]
\end{definition}

\begin{definition}[Monotone AWA]
	Die Funktion $f(t,x)$ heißt \underline{stark monoton} falls ein $\lambda > 0$  existiert, sodass für alle $(t,x), (t,y) \in D$ gilt:
		\[
			\left( f(t,x) - f(t,y), x-y \right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}
		\]
\end{definition}

\begin{satz}[Globaler Stabilitätssatz]
	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen des AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
	Zusatz: gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
		\label{satz:global-stabil}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Die Lösungen des AWA
				\[
					y'(t) = f(t,y(t)), \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ y(t_{0}) = y_{0},
				\]
				und des gestörten AWA
				\[
					v'(t) = f(t,v(t)), \ \ \ t \geq t_{*} \geq t_{0}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
				\]
				existieren global und sind eindeutig. \\
				Da $f$ Lipschitz-stetig ist gilt:
				\begin{salign*}
					\norm{f(t,x)} \leq \norm{f(t,x) - f(t,0)} + \norm{f(t,0)} \leq L\norm{x} + \norm{f(t,0)}.
				\end{salign*}
				Für die Lösung $y(t)$ gilt:
				\begin{salign*} 
					y(t) &= y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f(s,y(s)) \d{s} 
				\intertext{und damit}
					\norm{y(t)} &\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,y(s))} \d{s} \\
					&\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} L \norm{y(s)} \d{s} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,0)} \d{s} 
				\intertext{$\norm{f(s,0)}$ stetig auf $[t,t_{0}]$, also gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein $M_{t} > 0$ sodass für alle $s \in [t_{0},t]$ gilt $\norm{f(s,0)} \leq M_{t}$ und damit:}
					&\leq L \int_{t_{0}}^{t} \norm{y(s)} \d{s} + \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right|
				\end{salign*}
				Mit dem Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ folgt:
				\[
					\norm{y(t)} \leq e^{L(t-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right| \right).
				\]
				Somit liefern der Satz von Peano und der Fortsetzungssatz, dass $y(t)$ auf dem maximalen Existenzintervall $I_{\max} = [t_{0},t_{\max})$ existiert, wobei entweder $t_{\max} = \infty$ gilt, oder $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $. \\
				Wir führen $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $ zum Widerspruch. Bereits gezeigt wurde, dass gilt:
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)} &\leq e^{L(t-t_{0})}\left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0} \right| \right) \leq e^{L(t_{\max}-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t_{\max}}\left| t_{\max} -t_{0} \right| \right)
				\end{salign*}
				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt für $t \to t_{\max}$. Dies ist ein Widerspruch, also gilt bereits $t_{\max} = \infty$. Damit existiert $y(t)$ für $t \in [t_{0},\infty)$.
		
		\item 	$y(t)$ ist exponentiell stabil. Dafür gilt es zu zeigen, dass für $t\geq t_{*}$:
				\[
					\norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
				\]
				Sei $w(t) \coloneqq v(t) - y(t)$. Dann gilt:
				\begin{align*}
					&\frac{\d{}}{\d{t}} w(t) = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
				\intertext{und da $f$ stark monoton ist, folgt:}
					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} \leq -2\lambda \norm{w(t)}^{2} \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} +2\lambda \norm{w(t)}^{2} \leq 0.
				\end{align*}
				Ferner gilt:
				\begin{align*}
					\frac{\d{}}{\d{t}} e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2} = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
				\end{align*}
				Woraus wir folgern:
				\begin{salign*}
					& \int_{t_{*}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{2\lambda(s-t_{*})}\norm{w(s)}^{2} \right) \d{s} = e^{2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} - \norm{w(t_{*})}^{2} \leq 0 \\
					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} \\
					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t^{*})} \\
					\implies \ & \norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
				\end{salign*}
		
		\item 	$y(t)$ ist gleichmäßig beschränkt falls $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$. Denn: \\
				Es gilt:
				\[
					y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0).
				\]
				Womit wir erhalten:
				\[
					\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right).
				\]
				Wegen Monotonie gilt:
				\[
					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
				\]
				Somit können wir folgern:
				\begin{salign*}
					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + 2\lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
					&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\
					&\leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
				\end{salign*}
				woraus folgt
				\begin{salign*}
					& \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} - \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} \\
					\implies \ \ & \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \norm{f(t,0)}^{2}.
				\end{salign*}
				Multiplikation mit $e^{\lambda(t-t_{0})}$ liefert:
				\begin{salign*}
					\frac{\d{}}{\d{t}} \left( e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2}\right) = e^{\lambda(t-t_{0})} \left( \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \right) \leq \frac{1}{\lambda} e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{f(t,0)}^{2}
				\end{salign*}
				woraus folgt:
				\begin{salign*}
					\int_{t_{0}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{y(s)}^{2}\right) \d{s} = e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2} - \norm{y(t_{0})}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s}
				\end{salign*}
				und ferner sogar
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)}^{2} &\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s} \\
					&\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} +\frac{1}{\lambda} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s}.
				\end{salign*}
				Wir halten fest:
				\begin{salign*}
					e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s} = e^{-\lambda(t-t_{0})}\left( \frac{1}{\lambda}e^{\lambda(t-t_{0})} -\frac{1}{\lambda}\right) \leq \frac{1}{\lambda}.
				\end{salign*}
				Somit können wir schließen:
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)}^{2} \leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda^{2}} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}
				\end{salign*}
	\end{enumerate}
\end{proof}



\section{Lineare Systeme von Differentialgleichungen}

\begin{definition}[Lineare AWA]
	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine Lineares AWA der Form:
		\begin{salign*}
			y'(t) &= A(t)y + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
			y(t_{0}) &= y_{0}.
		\end{salign*}
\end{definition}

\begin{satz}[Lösung einer linearen AWA]
	Seien $A \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$.
		\item 	Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Der Satz von Peano liefert die Existenz eines $T >0$ sodass eine lokale Lösung $y \colon [t_{0},t_{0}+T] \to \R^{n}$ der linearen AWA existieren, für welche gilt ($t \in [t_{0},t_{0}+\infty]$):
				\begin{salign*}
					& y(t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left( A(s)y(s) + b(s)\right) \d{s} \\
					\implies \ \ & \norm{y(t)} \leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \left( \norm{A(s)}\cdot\norm{y(s)} + \norm{b(s)}\right) \d{s}.
				\end{salign*}
				Das Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ liefert für $t \in [t_{0},t_{0}+T]$:
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)} \leq \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} \norm{A(s)} \d{s}\right)\left(\norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t}\norm{b(s)} \d{s} \right)
				\end{salign*}
				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt durch ein $C(T, A(\cdot), b(\cdot)) > 0$. Nach Fortsetzungssatz ist der Graph von $y(t)$ fortsetzbar bis an den Rand von $D$. Damit existiert $y(t)$ für alle $t \geq t_{0}$. \\
				$f(t,x)$ ist Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Denn:
				\begin{salign*}
					\norm{f(t,x) - f(t,y)} & = \norm{A(t)(x-y)} \leq \norm{A(t)}\cdot\norm{x-y}.
				\end{salign*}
				Damit folgt die Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Picard-Lindelöf.
		
		\item 	Sei $A(t)$ negativ definit, dann existiert ein $\lambda > 0$ sodass:
				\begin{salign*}
					-\left(f(t,x) - f(t,y),(x-y)\right) = - \left(A(t)(x-y), (x-y)\right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}.
				\end{salign*}
				Sei $b(t)$ beschränkt, dann gilt $\sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{f(t,0)} = \sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{b(t)} < \infty$. Damit folgt nach Satz \ref{satz:global-stabil}, dass $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil ist.
	\end{enumerate}
\end{proof}












\end{document}