\documentclass{lecture}

\begin{document}

\section{Eindeutigkeit und lokale Stabilität}

\begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit]
    Sei $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und $f\colon D \to \R^{n}$. $f$ ist in $D$
    Lipschitz-stetig bzgl. $x$ mit Lipschitz-Konstante $L \ge 0$, falls $\forall (t,x), (t, \tilde{x}) \in D$ gilt
    \[
        \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L \Vert x - \tilde{x} \Vert
    .\] $f$ ist lokal Lipschitz-stetig bzgl. $x$ in $D$, falls für
    alle Punkte $(t, x) \in D$ eine Umgebung $U$ existiert, s.d.
    $f$ in $D \cap U$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$ ist.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item Sei $D = \R \times G$, $G \subseteq \R^{n}$ konvex
            und $f\colon D \to \R^{n}$ stetig partiell differenzierbar nach $x$
            mit $\displaystyle \sup_{x \in G} \left\Vert \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \right\Vert \le L(t)$,
            dann ist $f$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$.
            \begin{proof}
                \begin{align*}
                    \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert
                    \quad \stackrel{\text{\ref{satz:mittelwertsatz}}}{=} \quad
                    \left\Vert \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x} (t,s) \d s (x - \tilde{x}) \right\Vert
                    \le L(t) \Vert x - \tilde{x}\Vert
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item $f(y) = \sqrt{y}$, $f\colon [0, \infty[\; \to \R$ ist nicht Lipschitz-stetig, denn
            $|f(y) - f(0)| = \sqrt{y} $ und $\forall L \ge 0$ $\exists y \in [0, \infty[$ mit
            $|\sqrt{y}| \ge L \cdot |y|$.
        \item $f(y) = \sqrt{y} $, $f\colon \;]0, \infty[\; \to \R$ ist lokal Lipschitz-stetig.
            \begin{proof}
                Sei $y_0 \in ]0, \infty[$ fest. Betrachte
                $U = \left[ \frac{y_0}{2}, \infty \right] \subseteq \R$. Es gilt
                $\left| f'(y) \right| = \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} } \right| $. Dann folgt
                \[
                \max_{x \in U} \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} }  \right| = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{y_0}}
            .\] Damit ist mit (1) $f$ Lipschitz-stetig auf $U$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{lemma}[von Gronwall]
    Sei $w(t) \ge 0$ stückweise stetig und genüge für $a, b \in \R$ der Integralgleichung
    \[
        w(t) \le a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b, \quad t \ge t_0
    .\] Dann gilt
    \[
        w(t) \le e^{a(t-t_0)}b, \quad t \ge t_0
    .\] 
    \label{lemma:gronwall}
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $t \ge t_0$. Betrachte die Funktion $\psi(t) \coloneqq a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b$. Es gilt
    $\psi'(t) = a w(t)$ und nach Voraussetzung
    \[
        \psi'(t) = a w(t) \le a \left( a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b \right) = a \psi(t)
    .\] Betrachte nun $e^{-at}\psi(t)$ und berechne
    \begin{salign*}
        (e^{-at} \psi(t))' = - a e^{-at}\psi(t) + e^{-at}\psi'(t)
        = e^{-at} \underbrace{\left( \psi'(t) - a \psi(t) \right)}_{\le 0} \le 0 \tageq\label{eq:gronwall-1}
    .\end{salign*}
    Die Funktion $e^{-at}\psi(t)$ ist also monoton fallend. Damit folgt
    \begin{salign*}
        e^{-at}\psi(t) &\stackrel{\text{mon. fallend}}{\le } e^{-a t_0} \psi(t_0) = e^{-a t_0} b \\
        e^{-at} w(t) &\stackrel{\text{(\ref{eq:gronwall-1})}}{\le} e^{-at} \psi(t) \le e^{- a t_0} b
        \intertext{Insgesamt folgt also}
        w(t) &\le e^{a(t - t_0)} b
    .\end{salign*}
\end{proof}

\begin{satz}[Stabilitäts- und Eindeutigkeitssatz]
    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig
    bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung
    \[
        y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I
    \] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt
    \[
        \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0
    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-Konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
    $K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.

    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y),\ y(t_0) = y_0)$, dann
    gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
    Betrachte
    \begin{salign*}
        h(t) \coloneqq y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
        y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\
        &= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s + y(t_0) - v(t_0) 
        \intertext{Dann folgt}
        \Vert h(t) \Vert &\le \int_{t_0}^{t} \underbrace{\Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \Vert}_{\le L_k \Vert y(s) - v(s) \Vert} \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert \\
        &\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } L_K \int_{t_0}^{t} \Vert h(s) \Vert  \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0) \Vert
        \intertext{Damit folgt mit Lemma \ref{lemma:gronwall}}
        \Vert h(t) \Vert &\le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \ge t_0
    .\end{salign*}
    Seien nun $y(t)$ und $v(t)$ zwei Lösungen der AWA
    \[
    \begin{cases}
        y' = f(t,y) & t \in I = [t_0, t_0 + T], T \text{ aus Peano} \\
        y(t_0) = y_0
    \end{cases}
    .\] Aus
    \[
       \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y_0 - y_0\Vert = 0, \quad t \in I
   ,\] folgt $y(t) = v(t)$ auf dem gemeinsamen Existenzintervall $I$. 
\end{proof}

\begin{satz}[Existenzsatz von Picard-Lindelöf]
    Sei $f\colon D \to \R^{n}$ stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Dann
    gilt $\forall (t_0, y_0) \in D$, $\exists \epsilon > 0$ und eine Lösung der AWA
    \begin{align*}
        &y\colon I = [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon] \to \R^{n} \\
        &y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I \\
        &y(t_0) = y_0
    .\end{align*}
\end{satz}

\begin{proof}
    Unabhängig vom Satz von Peano, basiert auf dem Fixpunktsatz von Banach.
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Sei $\delta  > 0$ s.d.
            \[
                K\coloneqq \{ (t,x) \in \R \times \R^{n}  \mid |t-t_0| \le \delta, \Vert x - y_0 \Vert \le \delta \} \subseteq D
            \] und $f(t,x)$ auf $K$ Lipschitz-stetig ist, d.h. es ex. ein $L_K \ge 0$, s.d.
            \[
            \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L_K \Vert x - \tilde{x} \Vert,
            \quad (t,x), (t, \tilde{x}) \in K
            .\] $K$ ist kompakt und $f$ stetig, d.h. $f$ ist beschränkt auf $K$, d.h. $\exists M \ge 0$
            s.d. $\Vert f(t,x) \Vert \le M$, $(t,x) \in K$. Wir setzen
            \[
                \epsilon \coloneqq \text{min}\left( \delta , \frac{\delta }{M}, \frac{1}{2L_K} \right),
                \quad I_{\epsilon} \coloneqq [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon]
            .\] Definiere Vektorraum $V \coloneqq C(I_{\epsilon})$ mit Norm
            $\Vert y \Vert_{\infty} = \max_{t \in I_\epsilon} \Vert y(t) \Vert$. Dann ist
            $V$ ein Banach-Raum.
        \item Definiere auf $V$ die Abbildung $g\colon V \to V$
            \[
                g(y)(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon}
            .\] Betrachte Teilmenge
            \[
                V_0 \coloneqq \left\{ v \in V  \;\Big|\; \max_{t \in I_{\epsilon}} \Vert v(t) - y_0 \Vert \le \delta
                \right\} 
                \subseteq V
            .\] Für $y \in V_0$ gilt für $t \in I_{\epsilon}$
            \begin{salign*}
                \Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\
                &\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s  \\
                &\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t}  \d s \\
                &= M|t-t_0|
                \le M\epsilon
                \le \delta 
            .\end{salign*}
            Damit folgt also $g(V_0) \subseteq V_0$. Seien nun $y, v \in V_0$:
            \begin{salign*}
                \Vert g(y)(t) - g(v)(t) \Vert
                &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s \right\Vert \\
                &\le \int_{t_0}^{t} \Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s))\Vert \d s \\
                &\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } \int_{t_0}^{t} L_K \Vert y(s) - v(s) \Vert \d s \\
                &\le L_k \max_{s \in [t_0, t]} \Vert y(s) - v(s) \Vert \int_{t_0}^{t}  \d s \\
                &\le L_k \Vert y - v \Vert_{\infty} \underbrace{|t - t_0|}_{\le \epsilon} \\
                &\stackrel[\epsilon \le \frac{1}{2L_K}]{}{\le} \frac{1}{2} \Vert y - v\Vert_{\infty}
            .\end{salign*}
            Damit ist $g$ auf $V_0$ eine Kontraktion und hat damit mit Satz \ref{satz:banach-fix}
            genau einen Fixpunkt $y^{*}$, d.h.
            \[
                y^{*}(t) = g(y^{*})(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{*}(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon}
            .\] Damit ist $y^{*}(t)$, $t \in I_{\epsilon}$ eindeutige lokale Lösung der
            AWA $y'= f(t,y)$, $y(t_0 ) = y_0$.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item Der Beweis liefert ein Verfahren für beliebiges $y_0$ und $t \in I_{\epsilon}$:
            \begin{align*}
                y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s
                \xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA}
            .\end{align*}
        \item Ohne die Forderung der Lipschitz-Stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
            (siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano
            immer noch.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\end{document}
