\documentclass{lecture}

\begin{document}
\section{Globale Stabilität}

\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]
	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ existieren, sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
		\[
			v'(t) = f\left(t,v(t)\right), \ \ \ t \geq t_{*}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
		\]
	eine globale Lösung $v(t)$ hat, für welche gilt:
		\[
			\norm{v(t) -y(t)} \leq Ae^{-\alpha (t-t_{*})} \norm{w_{*}}, \ \ \ t \geq t_{*}.
		\]
\end{definition}

\begin{definition}[Monotone AWA]
	Die Funktion $f(t,x)$ heißt \underline{stark monoton} falls ein $\lambda > 0$  existiert, sodass für alle $(t,x), (t,y) \in D$ gilt:
		\[
			-\left( f(t,x) - f(t,y), x-y \right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}
		\]
\end{definition}

\begin{satz}[Globaler Stabilitätssatz]
	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen der AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
	Zusatz: Gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
		\label{satz:global-stabil}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Die Lösungen der AWA
				\[
					y'(t) = f(t,y(t)), \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ y(t_{0}) = y_{0},
				\]
				und der gestörten AWA
				\[
					v'(t) = f(t,v(t)), \ \ \ t \geq t_{*} \geq t_{0}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
				\]
				existieren global und sind eindeutig. \\
				Da $f$ Lipschitz-stetig ist gilt:
				\begin{salign*}
					\norm{f(t,x)} \leq \norm{f(t,x) - f(t,0)} + \norm{f(t,0)} \leq L\norm{x} + \norm{f(t,0)}.
				\end{salign*}
				Für die Lösung $y(t)$ gilt:
				\begin{salign*} 
					y(t) &= y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f(s,y(s)) \d{s} 
				\intertext{und damit}
					\norm{y(t)} &\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,y(s))} \d{s} \\
					&\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} L \norm{y(s)} \d{s} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,0)} \d{s} 
				\intertext{$\norm{f(s,0)}$ stetig auf $[t,t_{0}]$, also gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein $M_{t} > 0$ sodass für alle $s \in [t_{0},t]$ gilt $\norm{f(s,0)} \leq M_{t}$ und damit:}
					&\leq L \int_{t_{0}}^{t} \norm{y(s)} \d{s} + \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right|
				\end{salign*}
				Mit dem Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ folgt:
				\[
					\norm{y(t)} \leq e^{L(t-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right| \right).
				\]
				Somit liefern der Satz von Peano und der Fortsetzungssatz, dass $y(t)$ auf dem maximalen Existenzintervall $I_{\max} = [t_{0},t_{\max})$ existiert, wobei entweder $t_{\max} = \infty$ gilt, oder $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $. \\
				Wir führen $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $ zum Widerspruch. Bereits gezeigt wurde, dass gilt:
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)} &\leq e^{L(t-t_{0})}\left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0} \right| \right) \leq e^{L(t_{\max}-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t_{\max}}\left| t_{\max} -t_{0} \right| \right)
				\end{salign*}
				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt für $t \to t_{\max}$. Dies ist ein Widerspruch, also gilt bereits $t_{\max} = \infty$. Damit existiert $y(t)$ für $t \in [t_{0},\infty)$.
		
		\item 	$y(t)$ ist exponentiell stabil. Dafür gilt es zu zeigen, dass für $t\geq t_{*}$:
				\[
					\norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
				\]
				Sei $w(t) \coloneqq v(t) - y(t)$. Dann gilt:
				\begin{align*}
					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
				\intertext{und da $f$ stark monoton ist, folgt:}
					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} \leq -2\lambda \norm{w(t)}^{2} \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} +2\lambda \norm{w(t)}^{2} \leq 0.
				\end{align*}
				Ferner gilt:
				\begin{align*}
					\frac{\d{}}{\d{t}} \left(e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2}\right) = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
				\end{align*}
				Woraus wir folgern:
				\begin{salign*}
					& \int_{t_{*}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{2\lambda(s-t_{*})}\norm{w(s)}^{2} \right) \d{s} = e^{2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} - \norm{w(t_{*})}^{2} \leq 0 \\
					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})}^{2} \\
					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})} \\
					\implies \ & \norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
				\end{salign*}
		
		\item 	$y(t)$ ist gleichmäßig beschränkt falls $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$. Denn: \\
				Es gilt:
				\[
					y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0).
				\]
				Indem wir das Skalarprodukt mit $y(t)$ bilden, erhalten wir daraus:
				\[
					\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right).
				\]
				Außerdem gilt
				\[
					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2}
				\]
				und aufgrund der Monotonie:
				\[
					 \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
				\]
				Somit können wir folgern:
				\begin{salign*}
					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
					&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\
					&\stackrel{2ab \le a^2 + b^2}{\le} \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
				\end{salign*}
				woraus folgt
				\begin{salign*}
					& \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} - \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} \\
					\implies \ \ & \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \norm{f(t,0)}^{2}.
				\end{salign*}
				Multiplikation mit $e^{\lambda(t-t_{0})}$ liefert:
				\begin{salign*}
					\frac{\d{}}{\d{t}} \left( e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2}\right) = e^{\lambda(t-t_{0})} \left( \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \right) \leq \frac{1}{\lambda} e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{f(t,0)}^{2}
				\end{salign*}
				woraus folgt:
				\begin{salign*}
					\int_{t_{0}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{y(s)}^{2}\right) \d{s} = e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2} - \norm{y(t_{0})}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s}
				\end{salign*}
				und ferner sogar
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)}^{2} &\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s} \\
					&\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} +\frac{1}{\lambda} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s}.
				\end{salign*}
				Wir halten fest:
				\begin{salign*}
					e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s} = e^{-\lambda(t-t_{0})}\left( \frac{1}{\lambda}e^{\lambda(t-t_{0})} -\frac{1}{\lambda}\right) \leq \frac{1}{\lambda}.
				\end{salign*}
				Somit können wir schließen:
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)}^{2} \leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda^{2}} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}
				\end{salign*}
	\end{enumerate}
\end{proof}



\section{Lineare Systeme von Differentialgleichungen}

\begin{definition}[Lineare AWA]
	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine lineare AWA der Form:
		\begin{salign*}
			y'(t) &= A(t)y(t) + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
			y(t_{0}) &= y_{0}.
		\end{salign*}
\end{definition}

\begin{satz}[Lösung einer linearen AWA]
	Seien $A \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$.
		\item 	Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil.
	\end{enumerate}
	\label{satz:lineare-awa}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Der Satz von Peano liefert die Existenz eines $T >0$ sodass eine lokale Lösung $y \colon [t_{0},t_{0}+T] \to \R^{n}$ der linearen AWA existieren, für welche gilt ($t \in [t_{0},t_{0}+\infty]$):
				\begin{salign*}
					& y(t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left( A(s)y(s) + b(s)\right) \d{s} \\
					\implies \ \ & \norm{y(t)} \leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \left( \norm{A(s)}\cdot\norm{y(s)} + \norm{b(s)}\right) \d{s}.
				\end{salign*}
				Das Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ liefert für $t \in [t_{0},t_{0}+T]$:
				\begin{salign*}
					\norm{y(t)} \leq \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} \norm{A(s)} \d{s}\right)\left(\norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t}\norm{b(s)} \d{s} \right)
				\end{salign*}
				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt durch ein $C(T, A(\cdot), b(\cdot)) > 0$. Nach Fortsetzungssatz ist der Graph von $y(t)$ fortsetzbar bis an den Rand von $D$. Damit existiert $y(t)$ für alle $t \geq t_{0}$. \\
				$f(t,x)$ ist Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Denn:
				\begin{salign*}
					\norm{f(t,x) - f(t,y)} & = \norm{A(t)(x-y)} \leq \norm{A(t)}\cdot\norm{x-y}.
				\end{salign*}
				Damit folgt die Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Picard-Lindelöf.
		
		\item 	Sei $A(t)$ negativ definit, dann existiert ein $\lambda > 0$ sodass:
				\begin{salign*}
					-\left(f(t,x) - f(t,y),(x-y)\right) = - \left(A(t)(x-y), (x-y)\right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}.
				\end{salign*}
				Sei $b(t)$ beschränkt, dann gilt $\sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{f(t,0)} = \sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{b(t)} < \infty$. Damit folgt nach Satz \ref{satz:global-stabil}, dass $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil ist.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}[Homogene lineare Systeme]
	Ein homogenes lineares System von DGLn ist der Form
	\begin{equation}
		y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst}
	\end{equation}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$.
		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
					\[
						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,\dots,n\}
					\]
				Dann ist $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
		\item 	Sei $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraums $H$, dann ist $\{y^{1}(t),\dots,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Sei $H$ die Menge der Lösungen von (\ref{eqq:homog-lin-syst}). $H$ ist ein $\R$-VR, denn:
				\begin{itemize}
					\item 	Nullfunktion erfüllt $0'(t) = A(t)0(t)$, also $0 \in H$.
					\item 	Seien $\alpha, \beta \in \R$, $u,v \in H$, dann gilt:
							\[
								(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v' = \alpha A(t)u(t) + \beta A(t)v(t) = A(t)\left(\alpha u + \beta v\right).
							\]
							Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$.
				\end{itemize}
		
		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,\dots,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
				\[
					\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0.
				\]
				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,\dots,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind. \\
				Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. 
		\item 	Analog zu 2).
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
	Eine Basis $\{\varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ ($e^i$ Standardbasisvektor) heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLn. \\
	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},\dots,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLn. \\
	Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise):
		\[
			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = \mathbb{I}.
		\]
\end{definition}

\begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme]
	Ein inhomogenes lineare System von DGLn ist der Form
		\[
			y'(t) = A(t)y(t) + b(t).
		\]
	Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Für konstantes $c \in \R^{n}$ ist
				\[
					y_{b}(t) \coloneqq \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right)
				\]
				eine partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Systems.
		\item 	Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form:
				\[
					y(t) = y_{b}(t) + v(t),
				\]				
				wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems).
		\item 	Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann:
				\[
					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi + \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
				\]
				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
				\[
					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{b}) = Aw.
				\]
				Also bereits $w \in H$.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 	Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung 
				\[
					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(\tau) \d{\tau} \right)
				\]
				der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten).
		\item 	Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 
				\[
					y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n}
				\]
				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraische Argumente zurückgreift.
	\end{enumerate}
\end{bem}

\section{Randwertaufgaben}
\begin{bem}
	Wir betrachten nun sogenannte Randwertaufgaben/Randwertprobleme der Form: $f\colon I \times \R^{n} \to \R^{n}$, $r \colon \R^{n} \times \R^{n} \to \R^{n}$
		\begin{salign*}
			& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\
			& r(y(a),y(b)) = 0
		\end{salign*}
	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
		\[
			r\left( y(t_{1}),\dots,y(t_{k}) \right) = 0.
		\]
\end{bem}

\begin{bsp}
	Wann existieren solche Lösungen? Wir betrachten folgendes Beispiel:
		\[
			y'' + y = 0
		\]
	für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System:
		\begin{salign*}
			y_{1} = y,\ y_{2} = y', && 	\begin{cases}
											y_{1}' = y_{2} \\
											y_{2}' = -y_{1}
										\end{cases}.
		\end{salign*}
	Dieses Problem hat die allgemeine Lösung
		\[
			y(t) = c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t).
		\]
	\begin{enumerate}[1)]
		\item 	Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix}
				y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi)
				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWA $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix}
				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi)
				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWA unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix}
				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1
				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWA keine Lösung.
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}[Allgemeine inhomogene lineare RWA]
	Seien $B_{a}, B_{b} \in \R^{n\times n}$, $g \in \R^{n}$ sowie $A \colon I \to \R^{n\times n}$, $f \colon I \to \R^{n}$ stetig. Dann ist eine allgemeine inhomogene lineare RWA der Form:
		\begin{salign*}
			& y'(t) = A(t)y(t) + f(t), && t\in I \\
			& B_{a}y(a) + B_{b}y(b) = g.
		\end{salign*}
\end{definition}

\begin{bem}
	Eine Lösung des inhomogenen DGL-System ist von der Form:	
		\[
			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
		\]
	Hier löst $\varphi^{0}$ die AWA:
		\[
			(\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0.
		\]
	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) lösen die AWA:
		\[
			(\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}.
		\]
	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
		\[
			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),\dots,\varphi^{n}(t) \right].
		\]
	Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL:
		\begin{salign*}
			y'(t,s) = (\varphi^{0})'(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}(\varphi^{i})'(t) = A(t)\underbrace{\left(\varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) \right)}_{y(t,s)} + f(t), \ \ \ t \geq t_{0}.
		\end{salign*}
	Wie muss $s \in \R^{n}$ gewählt werden? Ziel: $s \in \R^{n}$ so zu bestimmen, sodass gilt:
		\[
			B_{a}y(a,s) + B_{b}y(b,s) = g.
		\]
	Dies lässt sich umformen zu:
		\[
			B_{a}(\underbrace{\varphi^{0}(a)}_{=0} + \underbrace{\phi(a)}_{=\mathbb{I}}s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
		\]
	Also:
		\[
			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b).
		\]
\end{bem}

\begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA]
	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann, wenn $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte homogene RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
\end{satz}

\begin{proof}
	\glqq $\Leftarrow$\grqq: Ist $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär, so ist das System 
		\[
			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b)
		\]
		eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\
	\glqq $\Rightarrow$\grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
		\[
			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n},
		\]
	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
		\[
			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0
		\]
	Daraus folgen alle Behauptungen.
\end{proof}

\begin{bem}
	Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS.
\end{bem}

Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
	\[
		y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
	\]
Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
Wir führen die Notationen
	\begin{salign*}
		f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
		r_{x}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
		r_{y}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
	\end{salign*}
für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.

\begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit]
	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann, wenn die lineare RWA 
		\begin{salign*}
			& v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\
			& r_{x}'(y(a),y(b))\cdot v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))\cdot v(b) = 0
		\end{salign*}
	nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt.
\end{satz}

\begin{proof}
	Siehe Skript von Rolf Rannacher Seite 128.
\end{proof}











\end{document}