\documentclass{lecture}

\begin{document}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\begin{definition}[Offene, abgeschlossene Menge bzgl. einer Obermenge aus $\K^n$]\ 
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Eine Teilmenge $M\subset G \subset \K^n$ heißt \underline{relativ - offen} bzgl. $G$, falls $\forall a \in M:$ $$\exists \text{ Kugelumgebung } K_r(a)\text{ s.d. } (K_r(a) \cap G)\subset M$$
        \item $M\subset G \subset \K^n$ heißt \underline{relativ-abgeschlossen} (bzgl. $G$), falls $(M^C\cap G) \subset G$ relativ-offen bzgl. $G$ ist.
        \item Eine Menge $G \subset \K^n$ heißt \underline{zusammenhängend}, falls \textit{keine} relativ-offene Zerlegung $G = U\cup V$ mit $U, V \neq \emptyset$ und $U \cap V = \emptyset$ existiert. 
        \item Eine offene und zusammenhängende Menge $G\subset \K^n$ heißt Gebiet.
    \end{enumerate}   
\end{definition}

\begin{bsp}
    Einheitssphäre $S_1(0) \coloneqq \{x\in \K^n \ | \  \norm{x}_2 = 1\}$. Als Teilmenge in $\K^n$ ist $S_1(0)$ abgeschlossen.\\
    Sei $M\subset \K^n$ und offen: Dann ist $M\cap S_1(0)$ als Teilmenge von $\K^n$ weder offen noch abgeschlossen; als Teilmenge in $S_1(0)$ ist $M\cap S_1(0)$ relativ-offen bzgl. $S_1(0)$.\\
    Extrembeispiel: $M = S_1(0)$ ist als Teilmenge von $\K^n$ abgeschlossen, aber bzgl. $S_1(0)$ relativ-offen und relativ-abgeschlossen.
    \begin{itemize}
        \item $M\cap G \ (M\subset \K^n, \text{ offen}), \  G\subset \K^n$, ist immer relativ-offen bzgl. $G$.
        \item $M\cap G \ (M\subset \K^n, \text{ abgeschlossen}), \ G\subset \K^n$, ist immer relativ-abgeschlossen bzgl. $G$. %S. 37 - 38 RR
    \end{itemize}
\end{bsp}
\begin{lemma} \label{lemma:stetigesurbild}
    Sei $f:\overline{D} \subset \K^n \to \K$ stetig. Dann gilt:
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Das Urbild $f^{-1}(O)$, wobei $O\subset f(D)$ relativ-offen, ist relativ-offen in $D$.
        \item Das Urbild $f^{-1}(A)$, wobei $A \subset f(\overline{D})$ abgeschlossen, ist abgeschlossen.
        \item Das Bild $f(K)$, wobei $K\subset D$ kompakt, ist kompakt.
        \item Das Bild $f(G)$, wobei $G\subset D$ zusammenhängend, ist zusammenhängend.
    \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}\ 
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Sei $O\subset f(D)$ eine relativ-offene Menge. Für $O$ gilt: $\forall f(a) \in O \ \exists$ relative Kugelumgebung in $O$: $$(K_\epsilon(f(a)) \cap f(D)) \subset O\text{ für ein } \epsilon >0.$$ $f$ stetig in $a \implies$ für dieses $\epsilon \; \exists \delta > 0$ s.d. für $K_\delta(a) \cap D$ gilt $f(K_\delta(a)\cap D) \subset (K_\epsilon(f(a))\cap f(D))\subset O$ $\implies \forall a \in D$ (mit $f(a)\in O$) gilt $$(K_\delta(a) \cap D) \subset f^{-1}(O) \implies f^{-1}(O)$$ relativ-offen.
        \item Sei $(x^{(k)})_{k\in \N}$ eine konvergente Folge in $f^{-1}(A)$ und $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x \in \overline{D}$.  Aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert die Bildfolge $\left(f\left(x^{(k)}\right)\right)_{k\in \N}$ und $\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k)}\right)}_{\in A} = f(x)$. Da $A$ abgeschlossen ist, gilt wegen der Charakterisierung über Folgenkonvergenz auch $f(x) \in A \implies x \in f^{-1}(A) \implies f^{-1}(A)$ abgeschlossen.
        \item \textbf{Z.Z} $f(K) \subset \K$ beschränkt und abgeschlossen $(\implies$ kompakt).
        \begin{itemize}
            \item Die Beschränktheit folgt aus der Beschränktheit von stetigen Funktionen auf kompakten Mengen.
            \item Abgeschlossenheit: Sei $\left(y^{(k)}\right)_{k\in \N} \subset f(K)$ eine beliebige Folge mit $\lim\limits_{k\to\infty}y^{(k)} = y \in \K$. Die Urbildfolge $\left(x^{(k)}\right)_{k\in \N} \bigg(= \underbrace{f^{-1}\left(y^{(k)}\right)}_{\text{Urbild von }y^{(k)}}\bigg)$ in $K$ hat aufgrund der Kompaktheit von $K$ eine konvergente Teilfolge $\left(x^{(k_j)}\right)_{j\in \N}$ mit $\lim\limits_{j\to\infty}x^{(k_j)} = x\in K$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist $f(x) = \lim\limits_{j\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k_j)}\right)}_{=y^{k_j}} = y \implies y \in f(K) \implies f(K)$ abgeschlossen.
        \end{itemize} 
        \item Ann: $f(G)$ nicht zusammenhängend. Nach Definition existieren dann $U,V\in \K^n,\; U\neq \emptyset, V\neq \emptyset,\; U\cap V = \emptyset$, relativ offen, s.d. $f(G) = U \cup V$. Für die Urbildmengen gilt also $$U' = \{x \in G|f(x)\in U\},\; V' = \{x \in G|f(x)\in V\},\; U'\cap V' = \emptyset, U' \neq \emptyset, V'\neq \emptyset,$$ nach 1) sind $U'$ und $V'$ relativ offen und $G = U' \cup V'$
        \begin{align*}
            &\implies G\text{ nicht zusammenhängend \lightning}\\
            &\implies f(G) \text{ zusammenhängend.}
        \end{align*}
        \end{enumerate}
    \end{proof}
\begin{satz}[Zwischenwertsatz]
    Sei $f: D\subset \K^n \to \R$ stetig und $D$ zusammenhängend. Dann nimmt $f$ für alle $a, b \in D$ jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. Insbesondere hat $f$ eine Nullstelle in $D$, falls $f(a)\cdot f(b) < 0$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Wegen Lemma \ref{lemma:stetigesurbild} ist der Bildbereich $f(D)\subset \R$ zusammenhängend.\\
    \textbf{Z.Z.} $f(D)$ ist ein (zusammenhängendes) Intervall.\\
    Annahme: $f(D)$ ist kein Intervall $\implies \exists f(x), f(y) \in f(D)$ und $z\notin f(D)$ zwischen $f(x)$ und $f(y)$. Dann sind die Mengen $$U\coloneqq f(D)\cap (-\infty, z),\; V\coloneqq f(D)\cap (z, \infty)$$ disjunkt, $U\cap V = \emptyset,\; U \neq \emptyset,\; V\neq \emptyset$, $U, V$ sind relativ-offen bzgl. $f(D)$ und $U\cap V = f(D)$ $$\implies f(D)\text{ nicht zusammenhängend \lightning.}$$
\end{proof}
\section{Vektor- und Matrixwertige Funktionen}
\begin{align*}
    f:&D \subset \K^n \to \K^m\\
    f:&D \subset \K^n \to \K^{r\times s}\\
    f:&D \subset \K^{m\times n} \to \K^{r\times s}
\end{align*}
\begin{itemize}
    \item Mit Hilfe von Normen in $\K^n$ und $\K^{m\times n}$ sind die Definitionen von Stetigkeit etc. übertragbart auf Vektor- und Matrixwertige Funktionen. $\implies$ solche stetigen Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig und beschränkt.
    \item $f: D\subset \K^n \to \K^m$ stetig $\Leftrightarrow$ alle Komponenten $f_i:D\subset \K^n \to \K,\; i= 1, \dots, m$ sind stetig (genauso für $f: D\subset \K^{n\times m} \to \K^{r\times s}$ etc.)
\end{itemize}
\begin{lemma}
    Seien $g: D\subset \K^n\to B \subset \K^m$ und $f:B\to \K^r$ stetig. Dann ist die Komposition $f\circ g: D\subset \K^n \to \K^r$ stetig. 
\end{lemma}
\begin{proof}
    Sei $x\in D, \ x^{(k)} \subset D$ s.d. $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x$. Es gilt 
    \begin{align*}
        g\text{ stetig }&\implies y^{(k)} = g(x^{(k)}) \underset{k\to \infty}{\to} g(x) =: y\\
        f\text{ stetig }&\implies (f\circ g)\left(x^{(k)}\right) = f\left(g\left(x^{(k)}\right)\right) = f(y^{(k)}) \underset{k\to \infty}{\to} f(y)
    \end{align*}
    Also ist $(f\circ g)$ stetig.
\end{proof}
\begin{lemma}
    Sei $D\subset \K^n$ kompakt und $f: D\to B\subset \K^n$ injektiv und stetig. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}: B\to D$ stetig. 
\end{lemma}
\begin{proof}
    Sei $\left(y^{(k)}\right)_{k\in \N}$ eine Folge in $B$ mit $\lim\limits_{k\to\infty}y^{(k)} = y \in B$.\\ \textbf{Z.Z.} $\underbrace{f^{-1}\left(y^{(k)}\right)}_{=: x^{(k)}} \underset{k\to \infty}{\to} \underbrace{f^{-1}(y)}_{=: x}\; (\implies f^{-1}$ stetig), d.h. $x^{(k)} \underset{k\to \infty}{\to} x$.\\ Die Folge $\left(x^{(k)}\right)\subset D$ ist aufgrund der Beschränktheit von $D$ auch beschränkt, also existiert eine konvergente Teilfolge $\left(x^{(k_j)}\right)_{j\in \N}$ mit $\lim\limits_{j\to\infty}x^{(k_j)} = \xi \in D$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist $f(x^{(k_j)}) \underset{j\to \infty}{\to} f(\xi)$. Außerdem gilt $$f\left(x^{(k_j)}\right) =y^{(k_j)} \underset{j\to \infty}{\to} y \implies y = f(\xi) \overset{y = f(x)}{\underset{f\text{ injektiv}}{\implies}} x = \xi.$$
    Also konvergieren alle konvergenten Teilfolgen von $\left(x^{(k)}\right)$ gegen $x \implies x^{(k)} \underset{k\to \infty}{\to} x$.
\end{proof}
\end{document}