\documentclass{lecture}

\begin{document}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\qnorm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert^2}
\section{Fourier-Entwicklung}
\begin{definition}[Periodische Funktionen]
    $f: \R \to \K$ heißt $L$-periodisch $(L >0)$ falls $f(x+L) = f(x)$, $\forall x \in \R (\implies f(x+kL) = f(x),\; \forall k\in \Z)$.
    Sei $f$ periodisch und $p>0$. Für $\tilde{f}(x) \coloneqq f\underbrace{\left(\frac{L}{p}x\right)}_{\mathclap{\text{Variablentransformation}}}$ gilt dann $\tilde{f}: \R \to \K$ ist $p$-periodisch
\end{definition}
\begin{bsp} $p = 2\pi$
    $$\tilde{f}(x) \coloneqq f\left(\frac{L}{2\pi}x\right) \implies f(x) = \tilde{f} \left(\frac{2\pi}{L}x\right)$$
    $$\tilde{f}(x + 2\pi) = f\left(\frac{L}{2\pi}(x + 2\pi)\right) = f\left(\frac{L}{2\pi}x + L\right) \overset{f\; L\text{-per}}{=} f\left(\frac{L}{2\pi}x\right) = \tilde{f}$$
\end{bsp}
Hier betrachten wir deshalb nur $2\pi$-periodische Funktionen $f: \R \to \K$. Weiterhin betrachen wir Funktionen $f:[0, 2\pi]\to \K$, $f\in R[0,2\pi]$, $2\pi$-periodisch.
\begin{bsp}[\underline{Trigonometrische Polynome}]
    Für $a_k, b_k \in \C$ betrachte 
    \begin{align*}
        f_n(x)&\coloneqq \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{n}(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx))\\
        &\stackrel{(*)}{=} \frac{1}{2}\left(a_0 + \sum_{k = 1}^{n}(a_k - i b_k)e^{i kx} + (a_k + i b_k) e^{-i kx}\right)\\
        &= \sum_{k = -n}^{n}c_k e^{i kx} \text{ mit } c_k = \begin{cases}
            \frac{1}{2} (a_k-ib_k), &k\geq 0\\
            \frac{a_0}{2}, &k = 0\\
            \frac{1}{2}(a_{-k} + ib_{-k}), &k < 0 
        \end{cases}
    \end{align*}
    $$(*): \cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}),\; \sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$$
    Für $a_k, b_k, k> 0$ ergibt sich $a_k = c_k + c_{-k},\; b_k = i(c_k - c_{-k})$.
\end{bsp}
\begin{bem}
    Ist $f$ ein trigonometrisches Polynom, so kann man die Koeffizienten $a_k , b_k , c_k $ durch Integration ausrechen, d.h. $a_k, b_k, c_k$ sind eindeutig.
    \begin{align*}
        a_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\cos(kx) \d x, \quad k \geq 0\\
        b_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\sin(kx) \d x, \quad k > 0\\
        c_k &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)e^{-ikx} \d x, \quad k \in \Z\\
        &= \frac{1}{2\pi} (f, e^{ikx}), \quad \text{$L_2$-Skalarprodukt} 
    \end{align*}
\end{bem}
\begin{proof}
    Sei zuerst $0 \neq \lambda \in \R$.
    \begin{align*}
        \int_a^b e^{i\lambda x} \d x &= \int_a^b \cos(\lambda x)\d x + i \int_a^b \sin(\lambda x)\d x\\
        &= \frac{1}{\lambda} \sin(\lambda x)\bigg|_a^b - \frac{1}{\lambda} i \cos(\lambda x)\bigg|_a^b\\
        &\stackrel{\frac{1}{i} = -i}{=} \quad \frac{1}{\lambda i} (\cos(\lambda x) + i \sin(\lambda x)) \bigg |_a^b\\
        &= \frac{1}{\lambda i } e^{i\lambda x} \bigg|_a^b\\
    \end{align*}
    $$\implies \int_0^{2\pi} e^{ikx} \d x = 0\qquad \forall k \in \Z \setminus \{0\}$$
    Dann ist $$\int_0^{2\pi} e^{ik_1x} e^{-ik_2x} \d x = \int_0^{2\pi}e^{i(k_1-k_2)x} \d x = \begin{cases}
        0, &\text{falls }k_1\neq k_2\\
        2 \pi, &\text{falls } k_1 = k_2\; (\implies k_1 -k_2 = 0)
    \end{cases}$$%
    $\implies$ Behauptung für $c_k$. Für $a_k, b_k$ gilt
    $$a_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\frac{1}{2}\left(e^{ikx} + e^{-ikx}\right) \d x = c_{-k} + c_k = b_k \cdot i$$
\end{proof}
\begin{bem}
    Obige Formel gilt auch für
    $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}(a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx)) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}c_k e^{ixk}$$ falls die Reihen gleichmäßig auf $[0, 2\pi]$ konvergieren.
\end{bem}
Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk}$ oder kann man sie durch trigonometrische Polynome approximieren? $\implies$ Motivation für Fourier-Reihen.
\begin{definition}[\underline{Fourier-Reihe}]
    Sei $f\in R[a,b]$  $2\pi$-periodisch. Die \underline{Fourier-Koeffizienten} von $f$ sind gegeben durch
    $$c_k \coloneqq c_k(f) \coloneqq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)e^{-ixk}\d x = \frac{1}{2\pi}(f,e^{ixk})$$
    Die (formale) \underline{Fourier-Reihe} von $f$ ist $$\sum_{k = -\infty}^{\infty}c_k e^{ikx}$$ mit der n-ten Partialsumme $$s_n(x) = s_n(f,x) \coloneqq \sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ikx}.$$ Die Fourier-Reihe läßt sich in der Form schreiben
    $$\frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty}(a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx))$$ wobei \begin{align*}
        a_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \d x\\
        b_k &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(kx)\d x
    \end{align*}
\end{definition}
\begin{satz}
    \label{fourierungleichung}
    Sei $f\in R[a,b]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit den Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$ und $s_n = \sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ikx}$. Dann gilt für alle $n\in \N$
    $$\qnorm{f-s_n} = \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$
\end{satz}
\begin{proof}
    Notation $e_k(x) \coloneqq e^{ikx}$
    \begin{align*}
        (e_k, e_l) &= \int_0^{2\pi} e^{ikx} e^{-ikx} \d x = \int_0^{2\pi} e^{i(k-l)x}\d x = \begin{cases}
            2\pi, & k = l\\
            0 , & k \neq l
        \end{cases}\\
        c_k &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}\d x = \frac{1}{2\pi}(f, e_k)\quad \implies (f, e_k) = 2\pi c_k\\
        (f, s_n) &= \sum_{k = -n}^{n}(f, c_ke_k) = \sum_{k = -n}^{n}\overline{c_k}(f, e_k) = \sum_{k = -n}^{n}\overline{c_k}2\pi c_k = 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2\\
        (s_n, s_n) &= \sum_{k = -n}^{n}\sum_{l = -n}^{n}\underbrace{c_k\overline{c_k}}_{|c_k|^2} \cdot \underbrace{(e_k, e_l)}_{\mathrlap{\scalebox{0.5}{$=\begin{cases}
            0, &k\neq l\\
            2\pi, &k = l
        \end{cases}$}}}
    \end{align*}
    Dann 
    \begin{align*}
        \qnorm{f-s_n} &= (f-s_n, f-s_n)\\
        &= (f,f) - (f, s_n) - (s_n, f) + (s_n, s_n)\\
        &= \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 + 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2\\
        &= \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2
    \end{align*}
\end{proof}
\begin{satz}[Besselsche Ungleichung]\label{bessel}
    Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{\qnorm{f}}{2\pi}$$
\end{satz}
\begin{proof}
    Aus Satz \ref{fourierungleichung}
    $$2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 = \qnorm{f} - \underbrace{\qnorm{f-s_n}}_{\geq 0} \leq \qnorm{f}$$
    Die Konvergenz folgt unter Beachtung der Monotonie und Beschränktheit der Folge $$\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$
\end{proof}
\begin{bem}
    Sei $f\in R[0, 2\pi]$ $2\pi$-periodisch und $\qnorm{f-s_n} \overset{L^2}{\to} 0,\; n\to \infty$, d.h. die Fourier-Reihe konvergiert gegen $f$ in $L^2$. Das ist nach Satz \ref{fourierungleichung} äquivalent zu
    $$\qnorm{f} = 2\pi \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \Leftrightarrow \qnorm{f} = 2 \pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
\end{bem}
\underline{Frage:} Unter welchen Bedingungen für $f$ gilt die Parsevalsche Gleichung
$$\qnorm{f} = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$ mit den Fourier-Koeffizienten $c_k$.\\
\underline{Ziel:} Zeige die Parsevalsche Gleichung für die Fourier-Koeffizienten
$c_k$, $\{e_k = e^{ikx}, k\in \Z\}$, $f\in R[a,b]$
$\implies$ Konvergenz der Fourier-Reihe in $L^2$.
\begin{lemma}\label{HilfslemmaA}
    $\forall t\in \R\setminus \{2 \pi k| k \in \Z\}$ gilt $$\sum_{k = 1}^{n}\cos(kt) = \frac{\sin\left((n + \frac{1}{2})t\right)}{2 \sin\left(\frac{1}{2}t\right)} - \frac{1}{2}$$
\end{lemma}
\begin{proof}
    $\cos(kt) = \frac{1}{2}\left(e^{ikt} + e^{-ikt}\right)$
    \begin{align*}
        \implies \frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n}\cos(kt) &= \frac{1}{2} \sum_{k = -n}^{n}e^{ikt}\\
        &= \frac{1}{2}e^{-int}\underbrace{\sum_{k = 0}^{2n}e^{ikt}}_{\mathrlap{\text{geometrische Summenformel}}}\\
        &= \frac{1}{2}e^{-int} \frac{1 - e^{(2n+1)it}}{1 - e^{it}}\\
        &= \frac{1}{2} \frac{e^{-int} - e^{(n+1)it}}{1 - e^{it}}\\
        &\stackrel{\text{Erweitern}}{=}\quad \; \frac{1}{2}\frac{e^{i(n+\frac{1}{2})t} - e^{-i(n+\frac{1}{2})t}}{e^{i\frac{1}{2}t} - e^{-i\frac{1}{2}t}}\\
        &= \frac{1}{2}\frac{\sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}t\right)}
    \end{align*}
\end{proof}
\begin{lemma}\label{HilfslemmaB}
    Sei $f:[a,b] \to \R$ eine stetig differenzierbare Funktion. Es gilt für $x\in [a,b]$ und $s\in \R$
    $$F_s(x)\coloneqq \int_a^x f(y)\sin(sy) \d y$$ konvergiert gleichmäßig gegen 0 für $|s| \to \infty$ und $x\in [a,b]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Sei $s \neq 0$.
    $$F_s(x) = \int_a^x f(y) \sin(sy) \d y \overset{\text{part. Integr.}}{=} -f(y) \frac{1}{s} \cos(sy) \bigg|_a^x + \int_a^x \frac{1}{s} \cos(sy) f'(y) \d y.$$
    $f,f'$ stetig auf $[a,b] \implies \exists M > 0, \text{s.d. } |f(y)| \leq M, |f'(y)|\leq M$ mit $y\in[a,b]$. Dann gilt $|F_s(x)| \leq \frac{2M}{|s|} + \frac{M}{|s|}\cdot (b-a), \; \forall x\in [a,b]$. Also konvergiert $|F_s(x)|$ gleichmäßig gegen 0 für $|s| \to \infty$ und $x\in [a,b]$.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{HilfslemmaC}
    Es gilt $\frac{\pi - x}{2} = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{k}$ für $0 < x < 2\pi$ mit gleichmäßiger Konvergenz auf allen Intervallen $[\delta, 2\pi - \delta]$ für $\delta > 0$.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Aus Hilfslemma \ref{HilfslemmaA} folgt für $0 < x < 2\pi$ und $n\in \N$
    \begin{align*}
        \sum_{k = 1}^{n}\frac{\sin(kx)}{k} &= \sum_{k = 1}^{n}\int_\pi^x \cos(ky)\d y\\
        &= \int_\pi^x\left(\sum_{k = 1}^{n}\cos(ky)\right)\d y\\
        &\stackrel{\text{Lemma }\ref{HilfslemmaA}}{=} \qquad \int_\pi^x\left(\frac{\sin\left((n + \frac{1}{2})y\right)}{2 \sin\left(\frac{1}{2}y\right)} - \frac{1}{2}\right) \d y\\
        &= \underbrace{\int_\pi^x \frac{\sin\left((n + \frac{1}{2})y\right)}{2 \sin\left(\frac{1}{2}y\right)} \d y}_{=: F_n(x)} - \frac{1}{2}(x-\pi)
    \end{align*}
Z.Z.: $F_n(x)$ konvergiert gleichmäßig gegen 0 für $n \to \infty$. Die Funktion $f(y) = \frac{1}{2\sin\left(\frac{y}{2}\right)}$ ist auf dem Intervall $[\delta, 2\pi-\delta]$ stetig differenzierbar, weil $\frac{y}{2}\neq 0$ auf $[\delta, 2\pi - \delta]$, sodass aus Hilfslemma \ref{HilfslemmaB} folgt
$$F_n(x) = \int_\pi^x \frac{1}{2 \sin\left(\frac{y}{2}\right)} \cdot \sin\left(\left(n + \frac{1}{2}\right) y\right) \d y \overset{\text{glm.}}{\to} 0$$ für $n\to \infty$  und $x\in [\delta, 2\pi - \delta]$.
\end{proof} 
\begin{lemma}\label{HilfslemmaD}
    Die Reihe $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos(kx)}{k^2} = \frac{(x-\pi)^2}{4} - \frac{\pi^2}{12}$$ konvergiert gleichmäßig $\forall x, 0 \leq x \leq 2\pi.$ Insbesondere gilt für $x= 0$ $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6}$$
\end{lemma}
\begin{proof}
    Lemma \ref{HilfslemmaC} $\implies$ $\forall x, y \in (0, 2\pi)$
    \begin{align*}
        \frac{(x - \pi)^2}{4} - \frac{(y - \pi)^2}{4} &= \int_y^x \frac{t-\pi}{2}\d t\\
        &\stackrel{\ref{HilfslemmaC}}{=} -\int_y^x \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sin(kt)}{k} \d t\\
        &\stackrel{\text{glm. Konv.}}{\stackrel{\text{Satz \ref{permutesumint}}}{=}} \qquad - \sum_{k = 1}^{\infty}\int_y^x\frac{\sin(kt)}{k}\d t\\
        &= \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2} - \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(ky)}{k^2}\\
    \end{align*}
    $$\xRightarrow{y \text{ fest}} \frac{(x-\pi)^2}{4}  =\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos(kx)}{k^2} + C\quad \forall x\in (0, 2\pi), C \text{ konst}$$
    Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2}$ konvergiert gleichmäßig auf $[0, 2\pi]$ mit Majorante $\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$. Bestimme die Konstante $C$:
    \begin{align*}
        \int_0^{2\pi} \frac{(x-\pi)^2}{4}\d x &= \int_0^{2\pi} \left(\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2} + C\right) \d x\\
        \frac{\pi^3}{6} &= \sum_{k = 1}^{\infty}\underbrace{\int_0^{2\pi} \frac{\cos(kx)}{k^2} \d x}_{=0} + \int_0^{2\pi} C \d x \\
        \frac{\pi^3}{6} &= C \cdot 2\pi\\
        C &= \frac{\pi^2}{12}
    \end{align*}
    $$\implies \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k^2} = \frac{(x - \pi)^2}{4} - \frac{\pi^2}{12},\quad x \in (0,2\pi)$$
    Für $x = 0$ oder $x = 2\pi$ folgt die Behauptung durch Grenzübergang, da \underline{beide} Seiten stetig sind auf $[0, 2\pi]$
\end{proof}
\begin{lemma}\label{HilfslemmaE}
    Sei $f$ Treppenfunktion, $f\in R[0, 2\pi]$, $2\pi$ periodisch. Dann $s_n \underset{n\to \infty}{\to} f$ in $L^2[0, 2\pi]$, d.h. Fourier-Reihe von $f$ konvergiert im quadratischen Mittel gegen $f$.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Zunächst Spezialfall
    $$f_a(x) \coloneqq \begin{cases}
        1, &0<x<a\\
        0.5, &x \in \{0,a\}\\
        0, &0 < x < 2\pi
    \end{cases}$$
    \begin{figure}[h!]
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}%
                [
                 axis lines=middle,
                 enlargelimits={abs=0.2},
                 ymax=1,
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                 xtick={1,3,4,6,7},
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                 ylabel=$f_a(x)$,
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                 thick,
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              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    Es gilt $\qnorm{f_a}_{L^2} = \int_0^{2\pi} |f_a|^2 \d x = \int_0^a 1 \d x = a$.\\
    Fourier-Koeffizienten:
    \begin{align*}
        c_0 &= \frac{a}{2\pi}\\
        c_k &= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f_a(x)e^{-ikx}\d x\\
        &= \frac{1}{2\pi} \left(\frac{-1}{ik}\right)e^{-ikx}\bigg|_0^a\\
        &= \frac{1}{2\pi} \left(-\frac{i}{iik}\right)\left(e^{-ika} - 1\right)\\
        &\stackrel{k\neq 0}{=} \frac{i}{2\pi k}\left(e^{-ika}-1\right)
    \end{align*}
    Für $k\neq 0$ gilt
    \begin{align*}
        |c_k|^2 &= \frac{1}{4\pi^2k^2}\underbrace{\left(e^{-ika}-1\right)\left(e^{ika} -1\right)}_{=1-e^{ika}- e^{-ika} + 1}\\
        &= \frac{1}{2\pi^2k^2} \left(1 - \frac{e^{ika} + e^{-ika}}{2}\right)\\
        &= \frac{1}{2\pi^2k^2} \left(1 - \cos(ka)\right)\\
        \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2 &= \underbrace{\frac{a^2}{4\pi^2}}_{a_0^2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(|c_{-k}|^2 + |c_k|^2\right)\\
        &\stackrel{\cos(-ka)=\cos(ka)}{=}\qquad\;\; \frac{a^2}{4\pi^2} + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{2}{2\pi^2k^2} \left(1 - \cos(ka)\right)\\
        &= \frac{a}{4\pi^2} + \frac{1}{\pi^2}\underbrace{\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k^2}}_{=\frac{\pi^2}{6}} - \frac{1}{\pi^2} \underbrace{\sum_{k = 1}^{\infty}\cos(ka)}_{=\frac{(a-\pi)^2}{4} - \frac{\pi^2}{12}}\\
        &=\frac{a^2}{4\pi^2} + \frac{1}{6} - \frac{(a-\pi)^2}{4\pi^2}+ \frac{1}{12}\\
        &= \frac{a}{2\pi}\\
        \implies 2\pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2 &= a = ||f_a||_{L^2}\\
    \end{align*}
    $$\xRightarrow{\text{Satz } \ref{fourierungleichung}} \qnorm{f_a - s_n(f_a)}_{L^2} = \qnorm{f_a} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \xrightarrow{n\to\infty} 0$$
    Sei $f\in R[0,2\pi]$ eine beliebige $2\pi$-periodische Treppenfunktion mit Sprungstellen
    $$a_j\in (0,2\pi)\quad j=1,\dots, l$$
    Jede Treppenfunktion $f$ läßt sich schreiben als
    $$f(x) = \sum_{j = 1}^{l}d_j\underbrace{f_{a_j}(x)}_{\mathclap{\text{Spezialfunktion (als $f_a(x)$)}}}, x\in [0,2\pi]$$
    $f_{a_j}$  Spezielle Treppenfunktion mit Sprungstelle $a = a_j$ und $f_{a_j}(x) \in \{0,1\}\; \forall j, x\neq a_j$. Dann $\norm{f_{a_j} - s_n(f_{a_j})} \xrightarrow{L^2} 0, n\to \infty$. Betrachte $$s_n(f) = \sum_{j = 1}^{l}d_js_n(f_{a_j})$$ und $$\norm{f-s_n(f)} = \norm{\sum_{j = 1}^{l}d_j(f_{a_j} - s_n(f_{a_j}))} \leq \sum_{j = 1}^{l}|d_j|\underbrace{\norm{f_{a_j}-s_n(f_{a_j})}}_{\xrightarrow{L^2}0} \xrightarrow{L^2} 0, \; n\to \infty$$
\end{proof}
\begin{satz}
    Sei $f\in R[0,2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ im quadratischen Mittel gegen $f$ und es gilt die Parsevalsche Gleichung (sog. Vollständigkeitsrelation)
    $$\frac{1}{2\pi} \underbrace{\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\d x}_{=\qnorm{f}} = \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k|^2$$
\end{satz}
\begin{proof}
    O.B.d.A. sei $f$ reellwertig (sonst werden Real- und Imaginärteil getrennt behandelt) und $|f(x)| \leq 1 \forall x\in [0, 2\pi]$ (sonst betrachte $\overline{f}(x) \coloneqq \frac{f(x)}{M},\; M = \sup\limits_{x\in [0, 2\pi]} |f(x)|$).
    Sei $\varepsilon > 0$. Dann gibt es zu $\varepsilon$ $2\pi$-periodische Treppenfunktionen $\varphi_\varepsilon, \psi_\varepsilon: \R \to \R$ mit Eigenschaften
    $$-1 \leq \varphi_\varepsilon \leq f \leq \psi_\varepsilon\leq 1$$ und $$\max\limits_{x\in [0, 2\pi]} |\psi_\varepsilon(x) - \varphi_\varepsilon(x)| \leq \frac{1}{16\pi}\varepsilon^2$$
    Konstruktion von $\varphi_\varepsilon, \psi_\varepsilon$ siehe Rannacher. Dann, $$|f-\varphi_\varepsilon|^2 \leq |\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon|^2 \leq (|\psi_\varepsilon| + |\varphi_\varepsilon|)(\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon) \underset{|\varphi_\varepsilon| < 1}{\underset{|\psi_\varepsilon| < 1}{\leq}} 2 (\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon)$$
    und $$\qnorm{f-\varphi_\varepsilon} = \int_0^{2\pi} |f-\varphi_\varepsilon|^2 \d x\leq 2 \int_0^{2\pi}(\psi_\varepsilon - \varphi_\varepsilon) \d x\leq 2 \frac{\varepsilon^2}{16\pi}\cdot 2\pi = \frac{\varepsilon^2}{4}.$$
    Weiter gilt: $\varphi_\varepsilon$ Treppenfunktion $\xRightarrow{\ref{HilfslemmaE}}$ Fourier-Reihe von $\varphi_\varepsilon$ konvergiert gegen $\varphi_\varepsilon$ in $L^2$, d.h. 
    $$\forall \varepsilon > 0 \exists n_\varepsilon:\; \forall n \geq n_\varepsilon:\; \norm{s_n(\varphi_\varepsilon) - \varphi_\varepsilon} \leq \frac{\varepsilon}{2}$$
    Aus Satz \ref{bessel} folgt 
    $$\qnorm{(f-\varphi_\varepsilon) - s_n(f - \varphi_\varepsilon)} \leq \qnorm{f - \varphi_\varepsilon} \leq \frac{\varepsilon^2}{4}$$
    Dann gilt $\forall n \geq n_\varepsilon$
    \begin{align*}
        \norm{f-s_n(f)} &= \norm{f-s_n(f-\varphi_\varepsilon) - s_n(\varphi_\varepsilon) - \varphi_\varepsilon +\varphi_\varepsilon}\\
        &\leq \norm{(f-\varphi_\varepsilon) - s_n(f - \varphi_\varepsilon)} + \norm{\varphi_\varepsilon - s_n(\varphi_\varepsilon)}\\
        &\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\
        &= \varepsilon
    \end{align*}
    $$\implies s_n(f) \xrightarrow{L^2} f, \; n \to \infty$$
\end{proof}
\begin{bem}
    Konvergenz in $L^2$ ist \glqq sehr schwach\grqq. Für \glqq glattere\grqq\ Funktionen konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig.
\end{bem}
\begin{satz}
    Sei $f: \R \to \C$ $2\pi$-periodisch, stetig und stückweise stetig differenzierbar, d.h. $\exists $ Unterteilung von $[0, 2\pi]$
    $$0 = t_0 < t_1 <\dots < t_m = 2\pi$$ mit $f\big|_{[t_{j-1}, t_j]}$ ist stetig differenzierbar für $j = 1,\dots, m$. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ gleichmäßig gegen $f$.
\end{satz}
\begin{proof}
    $f$ stetig $\implies f \in R[0, 2\pi] \implies$ Fourier-Reihe von $f$ konvergiert gegen $f$ in $L^2$, d.h. $\norm{s_n(f) - f} \xrightarrow{L^2} 0,\; n\to \infty$. Betrachte $\phi: \R \to \C, \phi(x) = \phi_j(x),\; x\in (t_{j-1}, t_j),\; \phi_j: [t_{j-1}, t_j] \to \C$ stetige Ableitung von $f\big|_{[t_{j-1}, t_j]}$. Definiere $\phi$ in $t_j$ entsprechend (möglich, da $\phi$ eine stückweise stetige Funktion ist).
    Defininition von $R[0, 2\pi] \implies \phi \in R[0,2\pi] \implies$ Für die Fourier-Koeffizienten von $\phi$ gilt: $\gamma_k\coloneqq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi(x) e^{-ikx} \d x$ und $\sum_{k \in \Z} |\gamma_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\qnorm{\phi} < \infty$.
    Berechne Fourier-Koeffizienten $c_k$ von $f$ 
    \begin{align*}
        c_k &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx}\d x\\
        &\stackrel{\text{part.Integr.}}{=}\qquad \underbrace{\left. \frac{1}{2\pi} f(x) \frac{i}{k}e^{-ikx}\right|_0^{2\pi}}_{=0} - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \underbrace{f'(x)}_{\phi(x)} \frac{i}{k}e^{-ikx}\d x\\
        &= \frac{-i}{2\pi k} \int_0^{2\pi} \phi(x) e^{-ikx} \d x\\
        &= \frac{-i}{k}\gamma_k\\
        &\implies |c_k| = \frac{1}{k}|\gamma_k|
        \intertext{Es gilt $|\alpha \cdot \beta| \leq \frac{1}{2}|\alpha|^2 + \frac{1}{2}|\beta|^2$, da Quadrate größer 0 sind}
        &\leq \frac{1}{2}\frac{1}{k^2} + \frac{|\gamma_k|^2}{2}\\
        &\implies \sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k| \leq \frac{1}{2}\sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{1}{k^2} + \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty}|\gamma_k|^2 < \infty\\
        &\implies \sum_{k = -\infty}^{\infty}|c_k| \text{ absolut konvergent}\\
        &\implies \underbrace{\sum_{k = -\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}}_{\mathclap{\text{Fourier-Reihe von} f}}
    \end{align*} konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion $g$, die stetig ist. Also $s_n(f) \xrightarrow{\text{glm.}} g,\; n\to \infty,\; \Rightarrow s_n(f) \xrightarrow{L^2} g,\; n\to \infty$. Andererseits $s_n(f) \xrightarrow{L^2} f,\; n\to \infty$
    \begin{align*}
        &\implies \norm{f-g}_{L^2} = 0\\
        &\implies f\equiv g,\text{ weil $f$ und $g$ stetig sind}\\
        &\implies s_n(f)\xrightarrow{\text{glm.}} f,\; n\to \infty
    \end{align*}
    \end{proof}
\end{document}