\documentclass{lecture} \usetikzlibrary{math} \begin{document} \newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen} \section{Explizite Differentialgleichungen} Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form \[ F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form} \] oder \[ y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form} \] für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$. Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen: \begin{align*} x_1 &\coloneqq y\\ x_2 &\coloneqq y'\\ &\vdots\\ x_n &\coloneqq y^{(n-1)}, \end{align*} also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann \[ x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix} x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x) \end{pmatrix} \] Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form \[ x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n \] Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.) \begin{bsp} \begin{enumerate} \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\] \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*} y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\ y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\ y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung} \end{align*} Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$. \[ my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung} \] äquivalent zum System: \begin{align*} x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\ x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y' \end{align*} \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen) \begin{align*} N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\ N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\ N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\ &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\ N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\ & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute} \end{align*} \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona): \begin{center} \begin{tabular}{ccc} succeptible & infected & removed\\ $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$ \end{tabular} \end{center} \begin{align*} N &= I + S + R\\ \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\ \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\ \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R \end{align*} Dabei sei \begin{align*} \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\ \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\ \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\ \beta& \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\ \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.} \end{align*} \end{enumerate} \end{bsp} \begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}] \begin{axis}% [%minor tick num=4, %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, %enlargelimits={abs=0.2}, %ymax=5, %ymin=0 width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits ymin=0, ymax=1.1, domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks xticklabels={$t_0$}, yticklabels={$y_0$}, xlabel=$t$, ylabel=$y$, samples=11, % How many arrows? cycle list={ % Plot styles gray, quiver={ u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows scale arrows=0.075, every arrow/.append style={ -latex % Arrow tip }, }\\ red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function } ] \addplot3 (x,y,0); \addlegendentry{$f(t,y)$} \addplot{(x-0.25)^2+0.15}; \addlegendentry{$y(t)$} \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$} \end{figure} \begin{definition}[System erster Ordnung] Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt \begin{equation} y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$} \end{equation} ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung. \end{definition} Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit \begin{enumerate}[(a)] \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$. \end{enumerate} \begin{bem} $y = \begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix} f_1\\\vdots\\f_n \end{pmatrix}$ Dann ist \begin{align*} \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\ \vdots&\\ y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n) \end{align*} \end{bem} \begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem] AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist: \begin{align*} y' &= f(t,y),\quad t\in I \\ y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung} \end{align*} Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass \begin{enumerate}[(a)] \item $\graph(y) \subset D$ \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$ \item $y(t_0) = y_0$ \end{enumerate} \end{definition} \begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung] Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt \[ y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I \] \end{satz} \begin{proof} "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$. \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\] "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA. \end{proof} \section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen} \begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\ Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder \[ D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\} \] Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\] \end{satz} %\begin{figure}[h] % \begin{tikzpicture} % \begin{axis}% % [grid=none, % minor tick num=4, % grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, % major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, % axis lines=middle, % %enlargelimits={abs=0.2}, % ymax=5, ymin=-1.5, % xmin=2, xmax=7, % xtick={5}, ytick={2}, % xticklabels={$t_0$}, % yticklabels={$y_0$}, % xlabel=$t$, % ylabel=$x$, % ] % \draw (4,1) rectangle (6,3); % \node at (5.8,1.3) {$D$}; % \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2}; % \addlegendentry{$y(t)$} % \end{axis} % \end{tikzpicture} %\end{figure} Reminder: \begin{enumerate} \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\] \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\] \item Satz von Arzela-Ascoli: Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\] Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\] \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier: \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix} \int_a^by_1(t)\d t\\ \vdots\\ \int_a^by_n(t)\d t \end{pmatrix}\in \R^n\] \end{enumerate} \begin{proof} (Satz von Peano)\\ Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\ O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$. \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\] Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize} \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$. \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. \end{itemize} Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$ \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\] \begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture}[declare function={ g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t) f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative %g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t) %f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative }] \def\h{1} % step length (accuracy of approximation) \def\torig{2} % y_0 \def\yorig{1} % t_0 \begin{axis}% [grid=none, grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, ymax=10, ymin=-1.5, restrict y to domain=-2:12, xmin=-1, xmax=7, xtick={2,3,4,5}, ytick=\empty, xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$}, xlabel=$t$, ylabel=$y$, legend pos=outer north east ] \def\d{0} \def\t{0} \foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig), remember=\t as \tlast (initially \torig)] in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} { \tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);} \colour \edef\temp{\noexpand \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)}; } \temp \if\i3 \edef\temp{\noexpand \draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}); } \else \edef\temp{\noexpand \draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {} -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}; } \fi \temp \edef\temp{\noexpand \draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){}; } \temp \edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};} \temp } \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f(t,y)$} \end{figure} \begin{enumerate}[1)] \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt \[ \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k] \] Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$: \begin{align*} y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\ &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\ &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\ \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\ &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\ &= (t-t_0)\cdot M\\ &\le T\cdot M\\ &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\ &\le \beta \end{align*} Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$. \item \begin{enumerate}[(a)] \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$. \begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2); f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1); f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2); f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}] \begin{axis}% [grid=none, %minor tick num=4, grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, axis lines=middle, %enlargelimits={abs=0.2}, ymax=10, ymin=-1.5, xmin=1, xmax=6, xtick={2,3,4,5}, ytick={1}, xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$}, yticklabels={$y_0$}, xlabel=$t$, ylabel=$x$, ] \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)}; \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {} (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {} (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {} (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}; \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0) node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){}; \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0) node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){}; \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0) node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){}; \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0) node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){}; \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)}) node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){}; %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){}; %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){}; %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){}; \end{axis} \end{tikzpicture} \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall} \end{figure} \begin{itemize} \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$: \begin{align*} y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\ &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\ &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\ \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M \end{align*} \item $t_j 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\] Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig). \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$ \begin{align*} \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0} \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} \\ &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\ &\le M\cdot T + \norm{y_0} \end{align*} Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt. \end{enumerate} Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\] Offenbar ist $\graph(y)\subset D$. \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\] Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für ein $i$ gilt \begin{salign*} y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\ =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i}) + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\ \vdots \; & \\ =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\ =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\ &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\ =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \d s \\ &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \tageq \label{eq:peano:1} .\end{salign*} Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h. $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d. \[ |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon' .\] Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d. \[ |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon' \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$ \[ \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon \tageq \label{eq:peano:2} .\] Damit folgt \begin{salign*} \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}& \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s \\ &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s \Bigg\Vert \\ \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\ &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\ \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j} \d s + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t} \d s \\ =& \epsilon |t - t_0| \intertext{Damit folgt} \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0 - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s \Bigg\Vert \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0| \intertext{Also folgt} \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0| .\end{salign*} Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit \[ y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s .\] \end{enumerate} \end{proof} \end{document}