\documentclass{lecture}

\begin{document}

\begin{bem}[Bedeutung des Existenzsatz von Peano]
    Für die lokale Lösbarkeit des Systems $y' = f(t,y)$ reicht
    die Stetigkeit der rechten Seite. Aber auch wenn $f(t,y)$ auf einem
    Streifen $[a,b] \times \R^{n}$ stetig ist, kann nicht erwartet werden, dass die Lösung
    der AWA im Intervall $[a,b]$ definiert ist.

    Zum Beispiel: $y' = 1 + y^2$. $f(t,y) = 1 + y^2$ ist stetig auf $\R \times \R$. Als Lösung
    folgt $y = \tan(t + c)$, denn
    \begin{align*}
        y' = \frac{1}{\cos^2(t+c)} = \frac{\cos^2(t+c) + \sin^2(t+c)}{\cos^2(t+c)}
        = 1 + \tan^2(t+c) = 1 + y^2
    .\end{align*}
    Das heißt Lösungen sind nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert. Der Satz von Peano
    macht eine Aussage über die Größe des Existenzintervalls (die nur von Stetigkeitseigenschaften
    von $f(t,x)$ abhängig ist).
\end{bem}
\begin{figure}[h]
    \label{fig:tan-dgl-solution}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [default 2d plot,
             ymax=4,
             ymin=-4,
             xmin=-4,
             xmax=4,
             xtick={-3.14, -1.57, 0, 1.57, 3.14},
             xticklabels={$\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$}
            ]
            \addplot[domain=1.58:4.70,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
            \addplot[domain=-1.56:1.56,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
            \addplot[domain=-4.72:-1.58,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Lösung $y = \tan(t+c)$ nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert.}
\end{figure}

\begin{satz}[Fortsetzungssatz]
    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
    Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.

    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T^{*}, t_0 + T^{*})$
    bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
\end{satz}

\begin{proof}
    Wiederholte Anwendung des Satz von Peano (siehe R.R. S. 111).
\end{proof}

\begin{bem}
    Die maximal fortgesetzten Lösungen nach links und rechts laufen bis der Graph von $y$ an
    den Rand von $D$ stößt. Dabei ist es möglich, dass
    \[
        \text{Graph}(y) = \{ (t, y(t)) , t \in I_{\text{max}}\}
    \] unbeschränkt ist, weil $t \to t_0 + T^{*} = \infty$ oder
    $\Vert y(t) \Vert \xrightarrow{t \to t_0 + T^{*}} \infty$.

    \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = tan(deg(\x-2));}]
            \begin{axis}%
                [default 2d plot,
                 grid=none,
                 ymax=4,
                 ymin=-4,
                 xmin=0,
                 xmax=4,
                 xtick=\empty, ytick=\empty,
                ]
                \addplot[domain=0.56:3.56,samples=100,smooth,red] {f(x)};
                \draw[dashed] (0.56, 5) -- (0.56, -5);
                \draw[dashed] (3.45, 5) -- (3.45, -5);
                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=10mm, minimum height=7mm,
                    anchor=center] {};
                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=9mm, minimum height=7mm,
                    anchor=center] {};
                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=6mm, minimum height=6mm,
                    anchor=center] {};
                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=5mm, minimum height=5mm,
                    anchor=center] {};
                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=4mm, minimum height=4mm,
                    anchor=center] {};
                \draw (3.65, -4) node{$\partial D$};
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Schrittweise Fortsetzung einer Lösung bis zum Rand von $D$}
    \end{figure}
\end{bem}

\begin{korollar}[Globale Existenz]
    Sei $f(t,x)$ auf ganz $\R \times \R^{n}$ definiert und stetig. Seien alle lokalen Lösungen
    $y(t)$ beschränkt durch eine stetige Funktion $\rho\colon \R \to \R$ mit
    \[
        \Vert y(t) \Vert \le \rho(t), \quad t \in [t_0 - T, t_0 + T]
    .\] Dann ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
\end{korollar}
\begin{proof}
    Wegen der Schranke, kann keine lokale Lösung auf einem beschränkten Zeitintervall
    einen unbeschränkten Graphen haben. Also ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
\end{proof}

\begin{satz}[Regularitätssatz]
    Sei $y$ eine Lösung der AWA $y' = f(t,y)$ auf dem Intervall $I$ und
    sei $f \in C^{m}(D)$ mit $m \ge 1$. Dann gilt $y \in C^{m+1}(I)$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Da $y(t)$ Lösung, folgt
    \[
        y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s)) \d s, \quad t \in I
    .\] Sei nun $f \in C^{1}(D)$. Dann ist $y$ zweimal stetig differenzierbar
    mit
    \begin{align*}
        y''(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t, y(t))
        = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
        + \underbrace{\frac{\partial}{\partial y} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
        \underbrace{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}_{= f \text{ also stetig}}
    .\end{align*}
    Durch Wiederholung dieses Arguments folgt $y \in C^{m+1}$ falls $f \in C^{m}(D)$ ist.
\end{proof}

\begin{bsp}
    Was kann passieren, falls $f(t,x)$ nicht stetig ist? Beispiel: Coulomb Reibung. Sei
    $c > 0$ und $v(0) = v_0$.
    \begin{align*}
        \dot{s} &= v \\
        \dot{v} &= -c \cdot \text{sign}(v)
    .\end{align*}
    Lösung: $v(t) = v_0 - ct$. Lösungen der DGL existieren ab $t = \frac{v_0}{c}$ nicht.
    Abhilfe: Philipov Regel (siehe Literatur).
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = -2;}]
            \begin{axis}%
                [%minor tick num=4,
                 %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                 %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                 axis lines=middle,
                 legend pos=outer north east,
                 %enlargelimits={abs=0.2},
                 %ymax=5,
                 %ymin=0
                 width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
                 view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
                 xmin=0, xmax=2, % Axis limits
                 ymin=-1.1, ymax=1.1,
                 domain=0:2, y domain=-1:1, % Domain over which to evaluate the functions
                 xtick=\empty, ytick={1}, % Tick marks
                 xticklabels={$t_0$},
                 yticklabels={$v_0$},
                 xlabel=$t$,
                 ylabel=$v$,
                 samples=7, % How many arrows?
                ]
                \addplot3[
                    y domain=1:0.1,
                    gray,
                    quiver={
                        u={1}, v={-2}, % End points of the arrows
                        scale arrows=0.1,
                        every arrow/.append style={
                            -latex % Arrow tip
                        },
                    }] (x,y+0.1,0);
                \addplot3[
                    forget plot,
                    y domain=-1:-0.1,
                    gray,
                    quiver={
                        u={1}, v={2}, % End points of the arrows
                        scale arrows=0.1,
                        every arrow/.append style={
                            -latex % Arrow tip
                        },
                    }] (x, y-0.1,0);
                \addlegendentry{$f(t,v) = - c \cdot \text{sign}(v)$}
                \addplot[blue, domain=0:1] {2 - 2*x};
                \addlegendentry{$v^{(1)}(t) = - c + v_0^{(1)}$}
                \addplot[forget plot, blue, domain=0:0.5] {1 - 2*x};
                \addplot[red, domain=0:0.75] {-1.5 + 2*x};
                \addlegendentry{$v^{(2)}(t) = + c + v_0^{(2)}$}
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Mögliche Lösungen der DGL $\dot{v} = - c \cdot \text{sign}(v)$ mit
        $v_0^{(1)} > 0$ und $v_0^{(2)} < 0$. Ab $t = \frac{v_0}{c}$ existiert keine Lösung.}
    \end{figure}
\end{bsp}

\begin{bsp}[Uneindeutigkeit von AWA]
    Sei $y' = f(t,y) \coloneqq \sqrt{|y(t)|}$ mit $y(t_0) = y_0$. Es
    ist $f(t,y)$ stetig auf $\R \times \R$.

    Für $y_0 \ge 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:
    \begin{align*}
        y(t) &= \frac{(t-t_0 + 2 \sqrt{y_0})^2}{4} \qquad t_0 - 2 \sqrt{y_0} \le t < \infty
        \intertext{Für $y_0 \le 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:}
        y(t) &= - \frac{(t-t_0 - 2 \sqrt{-y_0})^2}{4} \qquad -\infty < t \le t_0 + 2 \sqrt{-y_0}
        \intertext{Für $y_0 = 0$ ist jedoch $\forall t_0 \in \R$ auch}
        y(t) &= 0
    .\end{align*}
    eine Lösung der AWA.

    Falls $y_0 > 0$ oder $y_0 < 0$ ist $y(t; t_0, y_0)$ eindeutig bestimmt, aber für $y(t_0) = 0$
    existieren unendlich viele Lösungen.
    
    \begin{figure}[h]
        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}%
                    [default 2d plot,
                     grid=none,
                     ymax=10,
                     ymin=-10,
                     xmin=-10,
                     xmax=20,
                     xtick={6}, ytick={4,-4},
                     yminorticks=false,
                     minor tick style={draw=none},
                     xticklabels={$t_0$}, yticklabels={$y_0$, $y_0$}
                    ]
                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,red] {((x-6+4)^2)/4};
                    \addplot[domain=-10:10,samples=100,smooth,blue] {-((x-6-4)^2)/4};
                    \addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
                    \addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
                  \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \caption{Lösungen für $y_0 > 0$ (rot) bzw. $y_0 < 0$ (blau) und ihre Fortsetzungen.}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}%
                    [default 2d plot,
                     grid=none,
                     ymax=10,
                     ymin=-10,
                     xmin=-10,
                     xmax=20,
                     xtick={6}, ytick=\empty,
                     xticklabels={$t_0$}
                    ]
                    \addplot[domain=-2:14,samples=100,smooth,orange] {0};
                    \addplot[domain=14:20,samples=100,smooth,orange] {((x-18+4)^2)/4};
                    \addplot[domain=-20:-2,samples=100,smooth,orange] {-((x+6-4)^2)/4};
                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,blue] {0};
                    \addplot[domain=10:20,samples=100,smooth,blue] {((x-14+4)^2)/4};
                    \addplot[domain=-20:2,samples=100,smooth,blue] {-((x+2-4)^2)/4};
                    \addplot[domain=4:8,samples=100,smooth,red] {0};
                    \addplot[domain=8:20,samples=100,smooth,red] {((x-12+4)^2)/4};
                    \addplot[domain=-20:4,samples=100,smooth,red] {-((x-4)^2)/4};
                    %\addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
                    %\addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
                  \end{axis}
            \end{tikzpicture}
            \caption{Für $y_0 = 0$ existieren beliebig viele zusammengesetzte Lösungen.}
        \end{subfigure}
        \caption{Zur Uneindeutigkeit von AWA}
    \end{figure}

    Beobachtung: $f(t,x)$ ist stetig auf $\R \times \R$, aber $f(t,x)$ ist nicht Lipschitz stetig
    in $(t,0)$ $\forall t \in \R$.
\end{bsp}

\end{document}