\documentclass{lecture} \begin{document} \chapter{Differenzierbare Funktionen in \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}} Betrachte die Abbildung $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$. Die Stetigkeitsdefinition von $f$ entspricht der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colon I \subseteq \R \to \R$, \[ g'(x_0) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} .\] Für $h \in \R^{n}$ \underline{nicht sinnvoll}. \section{Partielle Differenzierbarkeit} \begin{definition}[Partielle Ableitung] Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$. \begin{itemize} \item $f$ heißt im Punkt $x \in D$ partiell differenzierbar nach $i$-ter Koordinatenrichtung, falls der Grenwert \[ \partial_i f(x) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h} .\] existiert mit $e^{(i)} \coloneqq $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix. Schreibweise auch $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ oder $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$. \item $f$ heißt partiell differenzierbar in $x \in D$, falls $\partial_i f(x)$ für alle $1 \le i \le n$ existieren. \item Sind $\partial_i f(x)$ $\forall i$ stetig, dann heißt $f$ stetig partiell differenzierbar. \item Falls $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{m}$, dann heißt $f$ (stetig) partiell differenzierbar, falls alle Komponentenfunktionen $f_j$ $(1 \le j \le m)$ (stetig) partiell differenzierbar in $x \in D$ sind, d.h. wenn $\partial_i f_j(x)$ $\forall i=1,\ldots,n$, $j = 1,\ldots,m$ existieren. \end{itemize} \end{definition} \begin{bem}[Interpretation als gewöhnliche Ableitung] Sei $f(x) = f(x_1, \ldots, x_n)$. Definiere $\tilde{f}(\xi) = f(x_1, \ldots, x_{i-1}, \xi, x_{i+1}, \ldots, x_n)$, d.h. $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ fest. Dann ist \[ \partial_i f(x) = \frac{\d{\tilde{f}(\xi)}}{\d\xi} .\] D.h. für partielle Ableitungen gelten analoge Regeln, wie für die gewöhnliche Ableitung, insbesondere Produktregel, Quotientenregel und auch Kettenregel. \end{bem} \begin{bsp} Die Funktion \[ r(x) \coloneqq \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} .\] ist in $D = \R^{n} \setminus \{0\} $ stetig partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen \begin{align*} \partial_i r (x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) \quad \qquad \stackrel{\text{gew. Kettenregel}}{=} \quad \qquad \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} } 2x_i = \frac{x_i}{\Vert x \Vert_2} .\end{align*} Sei $F\colon \R_+ \to \R$ beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist $f(x) = F(r(x))$ auf $\R^{n} \setminus \{0\} $ definiert und partiell differenzierbar. \begin{align*} \partial_i f(x) = \frac{\d F(r(x))}{\d y} \partial_i r(x) = F'(r(x)) \frac{x_i}{\Vert x\Vert_{2}} = F'(r(x)) \frac{x_i}{r(x)} .\end{align*} \end{bsp} \begin{bem} Für $n =1$ gilt: $f$ differenzierbar $\implies$ $f$ stetig. Für $n > 1$ und $f$ partiell differenzierbar, folgt i.A. nicht, dass $f$ stetig ist. \end{bem} \begin{satz} Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$. Für $x \in D$ gelte: $\exists K_r(x) \subseteq D$, s.d. die partiellen Ableitungen $\partial_i f(y)$, $i = 1, \ldots, n$ beschränkt sind $\forall y \in K_r(x)$, d.h. \[ \sup_{y \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n .\] Dann gilt $f$ stetig in Punkt $x$. \end{satz} \begin{proof} Sei $n = 2$ und $y = (y_1, y_2) \in K_r(x)$. Es ist \begin{salign*} f(y_1, y_2) - f(x_1, x_2) &= f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) + f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) \intertext{Mit $y_2$ fest, folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \xi = \xi(y_2)$ zwischen $y_1$ und $x_1$, also} f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_1 f(\xi, y_2) (y_1 - x_1) \intertext{Analog für $x_1$ fest und $\eta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$} f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \eta) (y_2 - x_2) \intertext{Dann folgt} |f(y) - f(x)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1| + \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \eta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\ &\le M (|y_1 - x_1| + |y_2 - x_2|) \\ &= M \Vert y - x \Vert_1 .\end{salign*} Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{M}$ \[ \Vert y -x \Vert_1 \le \delta \implies | f(y) - f(y) | \le \epsilon .\] Also $f$ stetig in $x$ und wegen $|f(y) - f(x)| \le M \Vert y - x \Vert_1$ sogar Lipschitz-stetig. Für $n > 2$ analog. \end{proof} \begin{definition} Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R$ partiell differenzierbar mit $\partial_i f \colon D \to \R$. \begin{itemize} \item Falls $\partial_i f$ partiell differenzierbar sind, dann heißt $f$ zweimal partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung \[ \partial_i \partial_j f(x) \coloneqq \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j} \coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right) .\] \item $f$ heißt $k$-mal stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung von $f$ existieren und stetig sind. \end{itemize} \end{definition} \begin{bem} Im Allgemeinen ist $\partial_i \partial_j f(x) \neq \partial_j \partial_i f(x)$! \end{bem} \begin{satz}[Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge] Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung $K_r(x) \subseteq D$ eines Punktes $x \in D$. Dann gilt \[ \partial_i \partial_j f(x) = \partial_j \partial_i f(x), \qquad \forall i,j=1,\ldots,n .\] Allgemein: Für eine $k$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschbar. \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item Sei $n = 2$ und \[ A \coloneqq \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)} - \underbrace{f(x_1, x_2 + h_2) + f(x_1, x_2)}_{= \varphi(x_1)} .\] Definiere $\varphi(x) \coloneqq f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist $A = \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1)$. Mit dem MWS bezügl. $x_1$ folgt \begin{salign*} \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1) &= \varphi'(x_1 + \theta_1) \cdot h_1, \quad \theta_1 \in (0, h_1) \intertext{Für $\varphi'$ gilt} \varphi'(x_1) &= \partial_1 f(x_1, x_2 + h_2) - \partial_1 f(x_1, x_2) \\ &\stackrel{\text{MWS bezügl. } x_2}{=} \partial_2 (\partial_1 f(x_1, x_2 + \theta_1')) \cdot h_2, \quad \theta_1' \in (0, h_2) \intertext{Dann folgt} \varphi'(x_1 + \theta_1) &= \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1')) h_2 .\end{salign*} Und damit ist \begin{salign*} A &= \varphi'(x_1 + \theta_1) h_1 = \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1')) \cdot h_1 \cdot h_2 \intertext{Analog definiere $\psi(x) \coloneqq f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann} A &= \psi(x_2 + h_2) - \psi(x_2) \\ &\stackrel{\text{wie oben}}{=} h_2 \psi'(x_2 + \theta_2) \\ &= h_1 \cdot h_2 \partial_1 (\partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1), \theta_2' \in (0, h_2) .\end{salign*} Also folgt \[ \partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') = \frac{A}{h_1 \cdot h_2} = \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2') .\] Die partiellen Ableitungen $\partial_2 \partial_1 f$ und $\partial_1 \partial_2 f$ sind stetig in $K_r(x)$, also gilt für $h_1, h_2 \to 0$, d.h. $x_1 + \theta_1 \to x_1, x_2 + \theta_1' \to x_2, \ldots$ \begin{salign*} \partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0} \partial_2 \partial_1 f(x) \\ \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2') &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0} \partial_1 \partial_2 f(x) .\end{salign*} Also $\partial_1 \partial_2 f(x) = \partial_2 \partial_1 f(x)$. Für $n > 2$ analog. \item Sei $f$ k-mal stetig differenzierbar. Dann folgt durch Induktion nach $k$ \[ \partial_1 \ldots \partial_k f(x) = \partial_{i_1} \ldots \partial_{i_k} f(x) .\] für jede Permutation ($i_1, \ldots, i_k)$ von $(1 \ldots k)$. \end{enumerate} \end{proof} \begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]\ \begin{itemize} \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor \[ \text{grad} f(x) \coloneqq \nabla f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix} \in \R^{n} \] heißt der Gradient von $f$ in $x \in D$. \item \underline{Hesse-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$ eine zweimal partiell differenzierbare Funktion. Die Matrix \[ H_f(x) \coloneqq \nabla^2 f(x) \coloneqq (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n} \] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$. \item \underline{Jacobi-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R^{m}$ eine partiell differenzierbare Vektorfunktion. Die Matrix \[ J_f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \cdots &\partial_n f_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_1 f_m & \cdots & \partial_n f_m \end{pmatrix} \in \R^{m \times n} .\] heißt Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von $f$ in $x \in D$. Schreibweise: $J_f(x) = f'(x) = \left( \nabla f(x) \right)^{T}$. \end{itemize} \end{definition} \begin{bsp} $r(x) = \Vert x \Vert_2$. \[ \nabla r(x) = \begin{pmatrix} \vdots \\ \partial_i r(x) \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} \in \R^{n} .\] Für die Hesse-Matrix $\nabla ^2 r(x) = \left( \partial_j \frac{x_i}{r(x)} \right)_{i,j=1}^{n}$ folgt \[ \partial_j \left( \frac{x_i}{r(x)}\right) = \begin{cases} \frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^3} & i = j \\ - \frac{x_i \frac{x_j}{r(x)}}{r(x)^2} = - \frac{x_i x_j}{r(x)^{3}} & i \neq j \end{cases} .\] Diese Hesse-Matrix ist die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion $v(x) = \frac{x}{r(x)} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} $. \end{bsp} \end{document}