\documentclass{lecture}

\begin{document}
\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}

\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
\section{Explizite Differentialgleichungen}
Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
\[
    F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  
\] oder
\[
    y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
\]
für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
\begin{align*}
    x_1 &\coloneqq y\\
    x_2 &\coloneqq y'\\
    &\vdots\\
    x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
\end{align*}
also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
\[
    x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
        x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
    \end{pmatrix}
\]
Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form
\[
    x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  
\]
Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)
\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]
        \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}
            y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\
            y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\
            y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}
        \end{align*}
        Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.
        \[
            my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  
        \]
        äquivalent zum System:
        \begin{align*}
            x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\
            x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'
        \end{align*}
        \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
        \begin{align*}
            N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\
            N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\
            N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\
                &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\
            N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\
               & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
        \end{align*}
        \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
        \begin{center}
            \begin{tabular}{ccc}
                succeptible & infected & removed\\
                $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
            \end{tabular}    
        \end{center}
        \begin{align*}
            N &= I + S + R\\
            \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
            \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\
            \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R
        \end{align*}
        Dabei sei
        \begin{align*}
            \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\
            \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\
            \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\
            \beta&
                \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\
            \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}
        \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{bsp}
%\begin{figure}[h]
%    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld
%\end{figure}
\begin{definition}[System erster Ordnung]
    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
    \begin{equation}
        y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
    \end{equation}
    ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.
\end{definition}
Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 
    \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.
\end{enumerate}
\begin{bem}
    $y = \begin{pmatrix}
        y_1\\\vdots\\y_n
    \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}
        f_1\\\vdots\\f_n
    \end{pmatrix}$ Dann ist 
    \begin{align*}
        \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\
        \vdots&\\
        y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)
    \end{align*}
\end{bem}
\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]
    AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:
    \begin{align*}
        y' &= f(t,y),\quad t\in I \\
        y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
    \end{align*}
    Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $\graph(y) \subset D$
        \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
        \item $y(t_0) = y_0$
    \end{enumerate}
\end{definition}
\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]
    Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt
    \[
        y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 
    \]
\end{satz}
\begin{proof}
    "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
    \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
\end{proof}
\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
    Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
    \[
        D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
    \]
    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
\end{satz}
Reminder:
\begin{enumerate}
    \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]
    \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]
    \item Satz von Arzela-Ascoli:
         Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 
         \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 
         \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]
        Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]
    \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 
    \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:
    \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}
        \int_a^by_1(t)\d t\\
        \vdots\\
        \int_a^by_n(t)\d t
    \end{pmatrix}\in \R^n\]
\end{enumerate}
\begin{proof} (Satz von Peano)\\
    Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
    O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
    \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
    Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
        \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
        \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 
    \end{itemize}
    Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
    \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
    \begin{enumerate}[1)]
        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
        \[
            \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  
        \]
        Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:
        \begin{align*}
            y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\
            &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\
            &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
            \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\
            &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
            &= (t-t_0)\cdot M\\
            &\le T\cdot M\\
            &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
            &\le \beta
        \end{align*}
        Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
        \item \begin{enumerate}[(a)]
            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.\begin{itemize}
                \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
                \begin{align*}
                    y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
                        &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\
                    &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
                    \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M
                \end{align*}
                \item $t_j<t_k$: \begin{align*}
                    y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
                    &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                    &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                    &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
                \end{align*}
                Daraus folgt 
                \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
                = |t-t'|M\]
            \end{itemize}
                Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
                \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
                Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
            \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
            \begin{align*}
                \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
                \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
                \\
                &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
                &\le M\cdot T + \norm{y_0}
            \end{align*}
            Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.
        \end{enumerate}
        Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
        \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
        Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
        \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
    \end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}