\documentclass{lecture} \begin{document} \begin{lemma}[Störungssatz] Sei $\Vert \cdot \Vert$ beliebige natürliche Matrixnorm auf $\mathbb{K}^{n \times n}$. Die Störungsmatrix $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ hat $\Vert B \Vert < 1$. Dann ist die Matrix $\mathbb{I} + B$ regulär und es gilt \[ \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert} .\] \label{lemma:stoerung} \end{lemma} \begin{proof} Sei $x \in \mathbb{K}^{n}$. Dann ist \begin{salign*} \Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert &= \Vert x + B x\Vert \\ &\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge } \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\ &\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge } \Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\ &= ( \underbrace{1 - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert \intertext{Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär. Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$. Es gilt} 1 &= \Vert \mathbb{I}\Vert \\ &= \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\ &= \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\ &\stackrel{\text{Dreicksungl.}}{\ge } \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\ &\ge \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\ &= (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert .\end{salign*} Damit folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{korollar} \label{kor:stoerung} Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann ist $\tilde A$ regulär. \end{korollar} \begin{proof} Es ist $\tilde A = \tilde A + A - A = (\tilde A - A) + A = A (\underbrace{A^{-1} (\tilde A - A) }_{=:B} + \mathbb{I})$. Damit folgt $\Vert B \Vert = \Vert A^{-1} (\tilde A - A) \Vert \le \Vert A^{-1} \Vert \cdot \Vert \tilde A - A \Vert < 1$. Mit \ref{lemma:stoerung} folgt $\mathbb{I} + A^{-1}(\tilde A - A)$ regulär. Da A regulär nach Vorraussetzung, folgt $\tilde A = A (\mathbb{I} + A^{-1} (\tilde A - A))$ regulär. \end{proof} \chapter{Funktionen mehrerer Variablen} Wir betrachten im Folgenden Funktionen $f\colon D \to \mathbb{K}$, mit $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $D \neq \emptyset$ und Bildbereich $B_f \subseteq \mathbb{K}$. Zur Erinnerung: \begin{itemize} \item \underline{Bild und Urbild}. Seien $M \subseteq D$, $N \subseteq f(D)$ Teilmengen. Dann heißt \begin{align*} f(M) &:= \{y \in \mathbb{K} \mid \exists x \in M\colon y = f(x)\} \intertext{das Bild. Weiter heißt} f^{-1}(N) &:= \{ x \in D \mid \exists y \in N\colon f(x) = y\} .\end{align*} das Urbild. Dann ist $B_f = f(D)$ und $D = f^{-1}(B_f)$ \item \underline{Notation}. $f^{-1}(\cdot )$ meint das Mengen-Urbild, \underline{nicht} eine Umkehrfunktion. \end{itemize} Da alle Normen auf $\mathbb{K}^{n}$ äquivalent sind, sind alle Aussagen unabhängig von der gewählten Norm. Standard ist die euklid. Norm. \section{Stetigkeit} \begin{definition}[Stetigkeit] Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{stetig} in einem Punkt $a \in D$, wenn für alle Folgen $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq D$ mit $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} a$ gilt \[ f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} f(a) .\] Die Funktion $f$ heißt \underline{stetig in $D$}, wenn sie für alle $x \in D$ stetig ist. \end{definition} \begin{bem} \begin{itemize} \item Falls $f\colon D \to \mathbb{K}$ stetig, dann ist auch $f\colon M \to \mathbb{K}$, $M \subseteq D$ stetig. \item $f$ stetig $\implies \text{Re } f$, $\text{Im } f$, $|f|$ sind stetig. \end{itemize} \end{bem} \begin{lemma}[$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium der Stetigkeit] $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist stetig in $a \in D$, genau dann wenn $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, s.d. $\forall x \in D$ gilt \[ \Vert x - a \Vert < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon .\] \end{lemma} \begin{proof} wie für $n = 1$. \end{proof} \begin{lemma} Seien $f, g\colon D \to \mathbb{K}$ stetig, dann sind $f + g$, $f \cdot g$ und $\frac{f}{g}$ (falls $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$) stetig. \end{lemma} \begin{proof} wie für $n = 1$. \end{proof} \begin{satz} Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist auf jeder kompakten Menge $K \subseteq D$ beschränkt, d.h. \[ \exists M_K \text{ s.d. } |f(x)| \le M_K \quad \forall x \in K .\] \end{satz} \begin{proof} Ang.: $f(x)$ nicht beschränkt auf $K$. Dann gilt: $\forall k \in \N$, $\exists x^{(k)} \in K$ mit $|f\left(x^{(k)}\right)| > k$, d.h. $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$. Die Folge $(x^{(k)})_{k\in\N}$ besitzt auf der kompakten Menge $K$ eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$. Da $f$ stetig, folgt $|f\left( x^{(k_j)} \right)| \xrightarrow{j \to \infty} |f(x)|$. Widerspruch zu $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$. \end{proof} \begin{satz}[Extremum] Eine stetige Funktion $f\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ nimmt auf jeder nichtleeren kompakten Menge $K \subseteq D$ ihr Maximum und Minimum an, d.h. es ex. $x^{max}$ und $x^{min} \in K$, s.d. \begin{align*} f(x^{max}) &= \sup_{x \in K} f(x) =: \max_{x \in K} f(x) \\ f(x^{min}) &= \inf_{x \in K} f(x) =: \min_{x \in K} f(x) .\end{align*} \label{satz:stetigextremum} \end{satz} \begin{proof} $f$ stetig und deshalb beschränkt auf $K$, d.h. es ex. obere Schranke $\displaystyle M := \sup_{x \in K} f(x)$. Außerdem existiert eine Folge $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq K$, s.d. $f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} M$. Da $K$ kompakt, existiert eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} a =: x^{max} \in K$. Wegen der Stetigkeit von $f$, folgt aus $f\left( x^{(k_j)} \right) \xrightarrow{j \to \infty} f\left( x^{max} \right)$: $f(x^{max}) = M$. \end{proof} \begin{bem}[Anwendung von Satz \ref{satz:stetigextremum}] Seien $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $K_1 \neq \emptyset$, $K_2 \neq \emptyset$ kompakt. Dann ist die Menge $K_1 \times K_2$ auch kompakt. Definiere $f(x, y) := \Vert x - y \Vert$, $x \in K_1$, $y \in K_2$. $f(x,y)$ ist stetig, denn \[ |f(x,y) - f(x', y')| = | \Vert x - y \Vert - \Vert x' - y'\Vert | \quad \stackrel{\Delta -\text{ungl.}}{\le} \quad \Vert x - y - x' + y' \Vert \le \Vert x - x' \Vert + \Vert y - y' \Vert .\] $\forall x, x' \in K_1$ und $\forall y, y' \in K_2$ mit $\Vert x - x'\Vert < \delta = \frac{\epsilon}{2}$ und $\Vert y - y'\Vert < \delta = \frac{\epsilon}{2}$ gilt \[ |f(x,y) - f(x', y')| < \epsilon .\] Also ist $f(x,y)$ stetig auf $K_1 \times K_2$. Mit \ref{satz:stetigextremum} folgt damit: $\exists a \in K_1$, $b \in K_2$, s.d. \[ \Vert a - b \Vert = \inf_{x \in K_1 y \in K_2} \Vert x - y \Vert =: d(K_1, K_2) \quad \text{Abstand zwischen Mengen } K_1 \text{ und } K_2 .\] Im Fall $K_1 \cap K_2 = \emptyset$, gilt $d(K_1, K_2) > 0$. Falls $K_1 = \{a\} $, dann heißt $b \in K_2$ die Projektion des Punktes $a$ auf $K_2$ (diese ist im Allg. nicht eindeutig bestimmt). \end{bem} \begin{definition}[Gleichmäßige Stetigkeit] Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist gleichmäßig stetig, wenn $\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0$, s.d. \[ \forall x, y \in D\colon \Vert x - y \Vert < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon .\] \end{definition} \begin{satz} Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist auf einer kompakten Menge $K \subseteq D$ gleichmäßig stetig. \end{satz} \begin{proof} Ang. $f$ nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon > 0$, s.d. $\forall k \in \N$, ex. Punkte $x^{(k)}$ und $y^{(k)} \in K$, s.d. \[ \Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k} \text{ und } \left|f\left( x^{(k)} \right) - f\left( y^{(k)} \right) \right| > \epsilon .\] Da $K$ kompakt, ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ von $(x^{(k)})_{k \in \N}$ mit $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$. Wir haben $\Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k}$, also \[ \Vert x^{(k_j)} - y^{(k_j)} \Vert < \frac{1}{k^{j}} \implies \lim_{j \to \infty} y^{(k_j)} = x = \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} .\] Da $f$ stetig, folgt \[ \left| f\left( x^{(k_j)} \right) - f\left( y^{(k_j)} \right) \right| \xrightarrow{j \to \infty} |f(x) - f(x)| = 0 .\] Widerspruch zu $\left| f\left( x^{(k)}\right) - f\left( y^{(k)} \right) \right| > \epsilon$. \end{proof} \begin{definition}[Konvergenz von Funktionenfolgen] Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$, $k \in \N$. $(f_k)_{k \in \N}$ konvergiert \begin{itemize} \item \underline{punktweise} gegen eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, falls $\forall x \in D$ gilt $f_k(x) \xrightarrow{k \to \infty} f(x)$. \item \underline{gleichmäßig}, falls $\sup_{x \in D} |f_k(x) - f(x)| \xrightarrow{k \to \infty} 0$. \end{itemize} \end{definition} \begin{satz}[Gleichmäßige Konvergenz] Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ stetig, $f_k \xrightarrow{k \to \infty} f$ gleichmäßig mit $f\colon D \to \mathbb{K}$. Dann ist $f$ stetig. \end{satz} \begin{proof} Sei $x \in D$ und $\epsilon > 0$ beliebig. Da $(f_k)_{k\in\N}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, existiert ein $n = n(\epsilon) \in \N$ s.d. $\displaystyle \sup_{y \in D} |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$. Da $f_n$ stetig, ex. $\delta > 0$, s.d. $\forall y \in D$ gilt: $\Vert x - y \Vert < \delta \implies |f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}$. Dann gilt $\forall x, y \in D$ mit $\Vert x - y \Vert < \delta $: \[ |f(x) - f(y)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)| + |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon .\] Also ist $f$ stetig in $x$. \end{proof} \begin{bem} Analoge Sätze gelten allgemein für Funktionen auf kompakten Mengen in normierten $(V, \Vert \cdot \Vert)$ oder metrischen $(X, d(\cdot , \cdot ))$ Räumen. \end{bem} \end{document}