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Raaka Pysyvä linkki Blame Historia 

  1. \documentclass{lecture}

  2. 

  3. \usetikzlibrary{math}

  4. \begin{document}

  5. \newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}

  6. \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}

  7. 

  8. \chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}

  9. \section{Explizite Differentialgleichungen}

  10. Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form

  11. \[

  12.     F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  

  13. \] oder

  14. \[

  15.     y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}

  16. \]

  17. für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.

  18. Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:

  19. \begin{align*}

  20.     x_1 &\coloneqq y\\

  21.     x_2 &\coloneqq y'\\

  22.     &\vdots\\

  23.     x_n &\coloneqq y^{(n-1)},

  24. \end{align*}

  25. also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann

  26. \[

  27.     x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}

  28.         x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)

  29.     \end{pmatrix}

  30. \]

  31. Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form

  32. \[

  33.     x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  

  34. \]

  35. Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)

  36. \begin{bsp}

  37.     \begin{enumerate}

  38.         \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]

  39.         \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}

  40.             y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\

  41.             y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\

  42.             y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}

  43.         \end{align*}

  44.         Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.

  45.         \[

  46.             my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  

  47.         \]

  48.         äquivalent zum System:

  49.         \begin{align*}

  50.             x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\

  51.             x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'

  52.         \end{align*}

  53.         \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)

  54.         \begin{align*}

  55.             N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\

  56.             N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\

  57.             N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\

  58.                 &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\

  59.             N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\

  60.                & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}

  61.         \end{align*}

  62.         \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):

  63.         \begin{center}

  64.             \begin{tabular}{ccc}

  65.                 succeptible & infected & removed\\

  66.                 $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$

  67.             \end{tabular}    

  68.         \end{center}

  69.         \begin{align*}

  70.             N &= I + S + R\\

  71.             \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\

  72.             \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\

  73.             \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R

  74.         \end{align*}

  75.         Dabei sei

  76.         \begin{align*}

  77.             \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\

  78.             \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\

  79.             \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\

  80.             \beta&

  81.                 \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\

  82.             \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}

  83.         \end{align*}

  84.     \end{enumerate}

  85. \end{bsp}

  86. 

  87. \begin{figure}[h]

  88.     \centering

  89.     \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]

  90.         \begin{axis}%

  91.             [%minor tick num=4,

  92.              %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  93.              %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  94.              axis lines=middle,

  95.              %enlargelimits={abs=0.2},

  96.              %ymax=5,

  97.              %ymin=0

  98.              width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot

  99.              axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length

  100.              view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up

  101.              xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits

  102.              ymin=0, ymax=1.1,

  103.              domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions

  104.              xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks

  105.              xticklabels={$t_0$},

  106.              yticklabels={$y_0$},

  107.              xlabel=$t$,

  108.              ylabel=$y$,

  109.              samples=11, % How many arrows?

  110.              cycle list={    % Plot styles

  111.                      gray,

  112.                      quiver={

  113.                          u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows

  114.                          scale arrows=0.075,

  115.                          every arrow/.append style={

  116.                              -latex % Arrow tip

  117.                          },

  118.                      }\\

  119.                      red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function

  120.                 }

  121.             ]

  122.             \addplot3 (x,y,0);

  123.             \addlegendentry{$f(t,y)$}

  124.             \addplot{(x-0.25)^2+0.15};

  125.             \addlegendentry{$y(t)$}

  126.           \end{axis}

  127.     \end{tikzpicture}

  128.     \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$}

  129. \end{figure}

  130. 

  131. \begin{definition}[System erster Ordnung]

  132.     Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 

  133.     \begin{equation}

  134.         y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}

  135.     \end{equation}

  136.     ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.

  137. \end{definition}

  138. Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 

  139. \begin{enumerate}[(a)]

  140.     \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 

  141.     \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.

  142. \end{enumerate}

  143. \begin{bem}

  144.     $y = \begin{pmatrix}

  145.         y_1\\\vdots\\y_n

  146.     \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}

  147.         f_1\\\vdots\\f_n

  148.     \end{pmatrix}$ Dann ist 

  149.     \begin{align*}

  150.         \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\

  151.         \vdots&\\

  152.         y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)

  153.     \end{align*}

  154. \end{bem}

  155. \begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]

  156.     AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:

  157.     \begin{align*}

  158.         y' &= f(t,y),\quad t\in I \\

  159.         y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}

  160.     \end{align*}

  161.     Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 

  162.     \begin{enumerate}[(a)]

  163.         \item $\graph(y) \subset D$

  164.         \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$

  165.         \item $y(t_0) = y_0$

  166.     \end{enumerate}

  167. \end{definition}

  168. \begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]

  169.     Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt

  170.     \[

  171.         y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 

  172.     \]

  173. \end{satz}

  174. \begin{proof}

  175.     "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.

  176.     \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]

  177.     "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.

  178. \end{proof}

  179. \section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}

  180. \begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\

  181.     Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder

  182.     \[

  183.         D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}

  184.     \]

  185.     Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]

  186. \end{satz}

  187. %\begin{figure}[h]

  188. %    \begin{tikzpicture}

  189. %        \begin{axis}%

  190. %            [grid=none,

  191. %             minor tick num=4,

  192. %             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  193. %             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  194. %             axis lines=middle,

  195. %             %enlargelimits={abs=0.2},

  196. %             ymax=5, ymin=-1.5,

  197. %             xmin=2, xmax=7,

  198. %             xtick={5}, ytick={2},

  199. %             xticklabels={$t_0$},

  200. %             yticklabels={$y_0$},

  201. %             xlabel=$t$,

  202. %             ylabel=$x$,

  203. %            ]

  204. %            \draw (4,1) rectangle (6,3);

  205. %            \node at (5.8,1.3) {$D$};

  206. %            \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};

  207. %            \addlegendentry{$y(t)$}

  208. %          \end{axis}

  209. %    \end{tikzpicture}

  210. %\end{figure}

  211. Reminder:

  212. \begin{enumerate}

  213.     \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]

  214.     \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]

  215.     \item Satz von Arzela-Ascoli:

  216.          Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 

  217.          \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 

  218.          \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]

  219.         Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]

  220.     \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 

  221.     \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:

  222.     \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}

  223.         \int_a^by_1(t)\d t\\

  224.         \vdots\\

  225.         \int_a^by_n(t)\d t

  226.     \end{pmatrix}\in \R^n\]

  227. \end{enumerate}

  228. \begin{proof} (Satz von Peano)\\

  229.     Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\

  230.     O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.

  231.     \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]

  232.     Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}

  233.         \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.

  234.         \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 

  235.     \end{itemize}

  236.     Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$

  237.     \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]

  238.     \begin{figure}[h]

  239.         \centering

  240.         \begin{tikzpicture}[declare function={

  241.                     g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t)

  242.                     f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative

  243.                     %g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t)

  244.                     %f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative

  245.                 }]

  246.             \def\h{1} % step length (accuracy of approximation)

  247.             \def\torig{2} % y_0

  248.             \def\yorig{1} % t_0

  249.             \begin{axis}%

  250.                 [grid=none,

  251.                  grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  252.                  major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  253.                  axis lines=middle,

  254.                  ymax=10, ymin=-1.5,

  255.                  restrict y to domain=-2:12,

  256.                  xmin=-1, xmax=7,

  257.                  xtick={2,3,4,5},

  258.                  ytick=\empty,

  259.                  xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},

  260.                  xlabel=$t$,

  261.                  ylabel=$y$,

  262.                  legend pos=outer north east

  263.                 ]

  264.                 \def\d{0}

  265.                 \def\t{0}

  266.                 \foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig),

  267.                                      remember=\t as \tlast (initially \torig)]

  268.                                     in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} {

  269.                     \tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);}

  270.                     \colour

  271.                     \edef\temp{\noexpand

  272.                         \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)};

  273.                     }

  274.                     \temp

  275.                     \if\i3

  276.                         \edef\temp{\noexpand

  277.                             \draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) 

  278.                                 -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)});

  279.                         }

  280.                     \else

  281.                         \edef\temp{\noexpand

  282.                             \draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  283.                                 -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};

  284.                         }

  285.                     \fi

  286.                     \temp

  287.                     \edef\temp{\noexpand

  288.                         \draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){};

  289.                     }

  290.                     \temp

  291.                     \edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};}

  292.                     \temp

  293.                 }

  294.               \end{axis}

  295.         \end{tikzpicture}

  296.         \caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f(t,y)$}

  297.     \end{figure}

  298.     \begin{enumerate}[1)]

  299.         \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 

  300.         \[

  301.             \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  

  302.         \]

  303.         Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:

  304.         \begin{align*}

  305.             y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\

  306.             &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\

  307.             &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  308.             \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\

  309.             &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\

  310.             &= (t-t_0)\cdot M\\

  311.             &\le T\cdot M\\

  312.             &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\

  313.             &\le \beta

  314.         \end{align*}

  315.         Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.

  316.         \item \begin{enumerate}[(a)]

  317.             \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.

  318.                 \begin{figure}[h]

  319.                     \centering

  320.                     \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);

  321.                         f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);

  322.                         f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);

  323.                         f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]

  324.                         \begin{axis}%

  325.                             [grid=none,

  326.                              %minor tick num=4,

  327.                              grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  328.                              major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  329.                              axis lines=middle,

  330.                              %enlargelimits={abs=0.2},

  331.                              ymax=10, ymin=-1.5,

  332.                              xmin=1, xmax=6,

  333.                              xtick={2,3,4,5},

  334.                              ytick={1},

  335.                              xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},

  336.                              yticklabels={$y_0$},

  337.                              xlabel=$t$,

  338.                              ylabel=$x$,

  339.                             ]

  340.                             \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};

  341.                             \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  342.                                 (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  343.                                 (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  344.                                 (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};

  345.                             \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)

  346.                                 node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};

  347.                             \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)

  348.                                 node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};

  349.                             \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)

  350.                                 node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};

  351.                             \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)

  352.                                 node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};

  353.                             \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})

  354.                                 node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};

  355.                             %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};

  356.                             %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};

  357.                             %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};

  358.                           \end{axis}

  359.                     \end{tikzpicture}

  360.                     \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}

  361.                 \end{figure}

  362.             \begin{itemize}

  363.                 \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:

  364.                 \begin{align*}

  365.                     y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\

  366.                         &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\

  367.                     &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\

  368.                     \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M

  369.                 \end{align*}

  370.                 \item $t_j<t_k$: \begin{align*}

  371.                     y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\

  372.                     &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\

  373.                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  374.                     &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\

  375.                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  376.                     &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\

  377.                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  378.                     &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)

  379.                 \end{align*}

  380.                 Daraus folgt 

  381.                 \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\

  382.                 = |t-t'|M\]

  383.             \end{itemize}

  384.                 Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 

  385.                 \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]

  386.                 Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).

  387.             \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$

  388.             \begin{align*}

  389.                 \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}

  390.                 \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}

  391.                 \\

  392.                 &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\

  393.                 &\le M\cdot T + \norm{y_0}

  394.             \end{align*}

  395.             Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.

  396.         \end{enumerate}

  397.         Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass

  398.         \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]

  399.         Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.

  400.         \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]

  401. 

  402.             Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für

  403.             ein $i$ gilt

  404.             \begin{salign*}

  405.                 y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\

  406.                          =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i})

  407.                          + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\

  408.                         \vdots \; & \\

  409.                          =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})

  410.                          + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\

  411.                          =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s

  412.                          + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\

  413.                          &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\

  414.                          =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})

  415.                          - f(s, y^{i}(s)) \d s \\

  416.                          &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s

  417.                          + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s

  418.                          \tageq \label{eq:peano:1}

  419.             .\end{salign*}

  420.             Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h.

  421.             $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d.

  422.             \[

  423.                 |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'

  424.             .\]

  425.             Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt

  426.             $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d.

  427.             \[

  428.                 |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'

  429.                 \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon

  430.             .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$

  431.             \[

  432.                 \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon

  433.                 \tageq \label{eq:peano:2}

  434.             .\] Damit folgt

  435.             \begin{salign*}

  436.                 \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert

  437.                 \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}&

  438.                 \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j}

  439.                 \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right)  \d s \\

  440.                 &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s

  441.                 \Bigg\Vert \\

  442.                 \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\

  443.                 &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\

  444.                 \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j}  \d s

  445.                 + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t}  \d s \\

  446.                 =& \epsilon |t - t_0|

  447.                 \intertext{Damit folgt}

  448.                 \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0

  449.                 - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s

  450.                 \Bigg\Vert

  451.                 \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0|

  452.                 \intertext{Also folgt}

  453.                 \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0|

  454.             .\end{salign*}

  455.             Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit

  456.             \[

  457.                 y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s 

  458.             .\] 

  459.     \end{enumerate}

  460. \end{proof}

  461. 

  462. \end{document}