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Rå Blame Historik 

  1. \documentclass{lecture}

  2. 

  3. \begin{document}

  4. \newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}

  5. \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}

  6. 

  7. \chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}

  8. \section{Explizite Differentialgleichungen}

  9. Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form

  10. \[

  11.     F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  

  12. \] oder

  13. \[

  14.     y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}

  15. \]

  16. für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.

  17. Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:

  18. \begin{align*}

  19.     x_1 &\coloneqq y\\

  20.     x_2 &\coloneqq y'\\

  21.     &\vdots\\

  22.     x_n &\coloneqq y^{(n-1)},

  23. \end{align*}

  24. also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann

  25. \[

  26.     x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}

  27.         x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)

  28.     \end{pmatrix}

  29. \]

  30. Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form

  31. \[

  32.     x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  

  33. \]

  34. Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)

  35. \begin{bsp}

  36.     \begin{enumerate}

  37.         \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]

  38.         \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}

  39.             y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\

  40.             y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\

  41.             y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}

  42.         \end{align*}

  43.         Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.

  44.         \[

  45.             my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  

  46.         \]

  47.         äquivalent zum System:

  48.         \begin{align*}

  49.             x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\

  50.             x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'

  51.         \end{align*}

  52.         \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)

  53.         \begin{align*}

  54.             N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\

  55.             N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\

  56.             N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\

  57.                 &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\

  58.             N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\

  59.                & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}

  60.         \end{align*}

  61.         \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):

  62.         \begin{center}

  63.             \begin{tabular}{ccc}

  64.                 succeptible & infected & removed\\

  65.                 $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$

  66.             \end{tabular}    

  67.         \end{center}

  68.         \begin{align*}

  69.             N &= I + S + R\\

  70.             \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\

  71.             \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\

  72.             \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R

  73.         \end{align*}

  74.         Dabei sei

  75.         \begin{align*}

  76.             \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\

  77.             \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\

  78.             \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\

  79.             \beta&

  80.                 \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\

  81.             \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}

  82.         \end{align*}

  83.     \end{enumerate}

  84. \end{bsp}

  85. 

  86. \begin{figure}[h]

  87.     \centering

  88.     \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]

  89.         \begin{axis}%

  90.             [%minor tick num=4,

  91.              %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  92.              %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  93.              %axis lines=middle,

  94.              %enlargelimits={abs=0.2},

  95.              %ymax=5,

  96.              %ymin=0

  97.              width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot

  98.              axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length

  99.              view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up

  100.              xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits

  101.              ymin=0, ymax=1.1,

  102.              domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions

  103.              xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks

  104.              xticklabels={$t_0$},

  105.              yticklabels={$y_0$},

  106.              xlabel=$t$,

  107.              ylabel=$y$,

  108.              samples=11, % How many arrows?

  109.              cycle list={    % Plot styles

  110.                      gray,

  111.                      quiver={

  112.                          u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows

  113.                          scale arrows=0.075,

  114.                          every arrow/.append style={

  115.                              -latex % Arrow tip

  116.                          },

  117.                      }\\

  118.                      red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function

  119.                 }

  120.             ]

  121.             \addplot3 (x,y,0);

  122.             \addlegendentry{$f'(t,x)$}

  123.             \addplot{(x-0.25)^2+0.15};

  124.             \addlegendentry{$y(t)$}

  125.           \end{axis}

  126.     \end{tikzpicture}

  127.     \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(x)$}

  128. \end{figure}

  129. 

  130. \begin{definition}[System erster Ordnung]

  131.     Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 

  132.     \begin{equation}

  133.         y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}

  134.     \end{equation}

  135.     ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.

  136. \end{definition}

  137. Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 

  138. \begin{enumerate}[(a)]

  139.     \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 

  140.     \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.

  141. \end{enumerate}

  142. \begin{bem}

  143.     $y = \begin{pmatrix}

  144.         y_1\\\vdots\\y_n

  145.     \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}

  146.         f_1\\\vdots\\f_n

  147.     \end{pmatrix}$ Dann ist 

  148.     \begin{align*}

  149.         \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\

  150.         \vdots&\\

  151.         y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)

  152.     \end{align*}

  153. \end{bem}

  154. \begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]

  155.     AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:

  156.     \begin{align*}

  157.         y' &= f(t,y),\quad t\in I \\

  158.         y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}

  159.     \end{align*}

  160.     Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 

  161.     \begin{enumerate}[(a)]

  162.         \item $\graph(y) \subset D$

  163.         \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$

  164.         \item $y(t_0) = y_0$

  165.     \end{enumerate}

  166. \end{definition}

  167. \begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]

  168.     Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt

  169.     \[

  170.         y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 

  171.     \]

  172. \end{satz}

  173. \begin{proof}

  174.     "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.

  175.     \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]

  176.     "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.

  177. \end{proof}

  178. \section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}

  179. \begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\

  180.     Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder

  181.     \[

  182.         D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}

  183.     \]

  184.     Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]

  185. \end{satz}

  186. %\begin{figure}[h]

  187. %    \begin{tikzpicture}

  188. %        \begin{axis}%

  189. %            [grid=none,

  190. %             minor tick num=4,

  191. %             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  192. %             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  193. %             axis lines=middle,

  194. %             %enlargelimits={abs=0.2},

  195. %             ymax=5, ymin=-1.5,

  196. %             xmin=2, xmax=7,

  197. %             xtick={5}, ytick={2},

  198. %             xticklabels={$t_0$},

  199. %             yticklabels={$y_0$},

  200. %             xlabel=$t$,

  201. %             ylabel=$x$,

  202. %            ]

  203. %            \draw (4,1) rectangle (6,3);

  204. %            \node at (5.8,1.3) {$D$};

  205. %            \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};

  206. %            \addlegendentry{$y(t)$}

  207. %          \end{axis}

  208. %    \end{tikzpicture}

  209. %\end{figure}

  210. Reminder:

  211. \begin{enumerate}

  212.     \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]

  213.     \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]

  214.     \item Satz von Arzela-Ascoli:

  215.          Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 

  216.          \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 

  217.          \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]

  218.         Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]

  219.     \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 

  220.     \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:

  221.     \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}

  222.         \int_a^by_1(t)\d t\\

  223.         \vdots\\

  224.         \int_a^by_n(t)\d t

  225.     \end{pmatrix}\in \R^n\]

  226. \end{enumerate}

  227. \begin{proof} (Satz von Peano)\\

  228.     Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\

  229.     O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.

  230.     \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]

  231.     Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}

  232.         \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.

  233.         \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 

  234.     \end{itemize}

  235.     Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$

  236.     \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]

  237.     \begin{figure}[h]

  238.         \centering

  239.         \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);

  240.             f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);

  241.             f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);

  242.             f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]

  243.             \begin{axis}%

  244.                 [grid=none,

  245.                  %minor tick num=4,

  246.                  grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  247.                  major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  248.                  axis lines=middle,

  249.                  %enlargelimits={abs=0.2},

  250.                  ymax=10, ymin=-1.5,

  251.                  xmin=-1, xmax=7,

  252.                  xtick={2,3,4,5},

  253.                  ytick=\empty,

  254.                  xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},

  255.                  %yticklabels={$y_0$, $y_1^{h}$, $y_2^{h}$},

  256.                  xlabel=$t$,

  257.                  ylabel=$x$,

  258.                 ]

  259.                 \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,green] {f1(x)};

  260.                 \addlegendentry{$y(t,t_0,y_0)$};

  261.                 \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,blue] {f2(x)};

  262.                 \addlegendentry{$y(t, t_1, y_1^{h})$};

  263.                 \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,orange] {f3(x)};

  264.                 \addlegendentry{$y(t, t_2, y_2^{h})$};

  265.                 \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,pink] {f4(x)};

  266.                 \addlegendentry{$y(t, t_3, y_3^{h})$};

  267.                 \draw (2,{f1(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  268.                     -- (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  269.                     -- (4, {f3(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  270.                     -- (5, {f4(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};

  271.                 \draw[dashed,green] (2, {f1(2)}) -- (0, {f1(2)}) node[label=left:$y_0$](){};

  272.                 \draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};

  273.                 \draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};

  274.                 \draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};

  275.               \end{axis}

  276.         \end{tikzpicture}

  277.         \caption{Eulersches Polygonzugverfahren}

  278.     \end{figure}

  279.     \begin{enumerate}[1)]

  280.         \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 

  281.         \[

  282.             \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  

  283.         \]

  284.         Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:

  285.         \begin{align*}

  286.             y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\

  287.             &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\

  288.             &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  289.             \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\

  290.             &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\

  291.             &= (t-t_0)\cdot M\\

  292.             &\le T\cdot M\\

  293.             &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\

  294.             &\le \beta

  295.         \end{align*}

  296.         Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.

  297.         \item \begin{enumerate}[(a)]

  298.             \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.

  299.                 \begin{figure}[h]

  300.                     \centering

  301.                     \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);

  302.                         f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);

  303.                         f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);

  304.                         f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]

  305.                         \begin{axis}%

  306.                             [grid=none,

  307.                              %minor tick num=4,

  308.                              grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},

  309.                              major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},

  310.                              axis lines=middle,

  311.                              %enlargelimits={abs=0.2},

  312.                              ymax=10, ymin=-1.5,

  313.                              xmin=1, xmax=6,

  314.                              xtick={2,3,4,5},

  315.                              ytick={1},

  316.                              xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},

  317.                              yticklabels={$y_0$},

  318.                              xlabel=$t$,

  319.                              ylabel=$x$,

  320.                             ]

  321.                             \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};

  322.                             \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  323.                                 (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  324.                                 (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}

  325.                                 (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};

  326.                             \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)

  327.                                 node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};

  328.                             \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)

  329.                                 node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};

  330.                             \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)

  331.                                 node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};

  332.                             \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)

  333.                                 node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};

  334.                             \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})

  335.                                 node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};

  336.                             %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};

  337.                             %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};

  338.                             %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};

  339.                           \end{axis}

  340.                     \end{tikzpicture}

  341.                     \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}

  342.                 \end{figure}

  343.             \begin{itemize}

  344.                 \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:

  345.                 \begin{align*}

  346.                     y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\

  347.                         &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\

  348.                     &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\

  349.                     \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M

  350.                 \end{align*}

  351.                 \item $t_j<t_k$: \begin{align*}

  352.                     y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\

  353.                     &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\

  354.                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  355.                     &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\

  356.                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  357.                     &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\

  358.                     &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\

  359.                     &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)

  360.                 \end{align*}

  361.                 Daraus folgt 

  362.                 \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\

  363.                 = |t-t'|M\]

  364.             \end{itemize}

  365.                 Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 

  366.                 \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]

  367.                 Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).

  368.             \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$

  369.             \begin{align*}

  370.                 \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}

  371.                 \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}

  372.                 \\

  373.                 &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\

  374.                 &\le M\cdot T + \norm{y_0}

  375.             \end{align*}

  376.             Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.

  377.         \end{enumerate}

  378.         Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass

  379.         \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]

  380.         Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.

  381.         \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]

  382.     \end{enumerate}

  383. \end{proof}

  384. \end{document}