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theo02.tex

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+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Elektrodynamik in Materie}
+Elektrodynamik in Materie ist im Allgemeinen sehr kompliziert.
+Im einfachsten Fall ist die Wirkung
+\begin{enumerate}
+    \item linear
+    \item isotrop
+    \item instantan
+\end{enumerate}
+Dann existiert eine effektive Beschreibung mithilfe von nur zwei Konstanten. Als erstes benötigen wir die Dieelektrizitätskonstante $e$ und die Permeabilitätskonstante $\mu$. Es gilt
+\begin{align*}
+    \vec D &= e\cdot \vec E\\
+    \vec B &= \mu \cdot H
+\end{align*}
+\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
+    \centering
+    im Vakuum (in diesem Fall $e = \mu = 1$)
+    \begin{align*}
+        \div \vec E &= 4\pi \rho\\
+        \div \vec B &= 0\\
+        \rot \vec E &= - \partial_{ct} \vec B\\
+        \rot \vec B &= + \partial_{ct} \frac{4\pi}{c} \vec \jmath
+    \end{align*}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+    \centering
+    in Materie
+    \begin{align*}
+        \div \vec D &= 4\pi \rho\\
+        \div \vec B &= 0\\
+        \rot \vec E &= -\partial_{ct} \vec B\\
+        \rot \vec H &= +\partial_{ct} \vec D + \frac{4\pi}{c}\vec \jmath
+    \end{align*}
+\end{minipage}
+\section{elektrostatisches Potenzial}
+Dabei bedeutet elektrostatisch, dass alle Zeitableitungen 0 sind.
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[fill = black, shape = circle, inner sep = 3pt, label = $q_1$] (q1) at (0,2) {};
+        \draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, left] {$\vec r_1$} (0,2);
+        \draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, below right] {$\vec r$} (2,1);
+        \draw[dashed, ->] (0,2) -- node[pos=.5, above right]{$\vec r - \vec r_1$} (2,1);
+        \node[text width = 2cm] (beobachter) at (3.5,1) {Beobachter mit positiver Probeladung};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Elektrisches Feld}
+    \label{efeld}
+\end{figure}
+Für das elektrische Feld aus Abbildung~\ref{efeld} gilt daher
+\[
+    \vec E(\vec r) = \frac{q_1}{|\vec r - \vec r_1|}  \cdot \vec e_{\vec r - \vec r_1} = q_1 \cdot \frac{\vec r - \vec r_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.
+\]
+Bei vielen felderzeugenden Ladungen berechnen wir einfach die Superposition
+\[
+    \vec E (\vec r) = \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec r - \vec r_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.  
+\]
+Da es sich bei der Elektrodynamik um eine Kontinuumstheorie handelt, gehen wir von $q$ zu $\rho$ über. Im Kontinuumslimes erhalten wir also
+\[
+    \vec E(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}. 
+\]
+Im folgenden wirke $\nabla$ auf $r$ und $\nabla'$ auf $r'$. Es gilt
+\[
+    \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}   = -\nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = \nabla' \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
+\]
+Eingesetzt in die Gleichung von oben erhalten wir
+\begin{align*}
+    \vec E(\vec r) &= \int \d[3]{r'} \rho(r') \cdot \nabla'\frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+    &= - \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+    &= -\nabla \underbrace{\int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{\eqqcolon \phi(\vec r)}\\
+    \to \vec E(\vec r) &= -\nabla \phi(\vec r)
+\end{align*}
+\begin{definition}
+   Das elektrostatische Potenzial $\phi$ ist gegeben durch 
+   \[\phi(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
+   \]
+\end{definition}
+Für die Elektrostatik gilt also $\rot \vec E = - \rot \vec \phi = 0$. Aus den Maxwell-Gleichungen erhalten wir konsistenterweise $\rot \vec E = -\partial_{ct} \vec B = 0$. 
+\begin{align*}
+    W_{AB} &= q \int_A^B \d{\vec S} \cdot \vec E\;\sim \text{ Verschiebearbeit}\\
+    &= q\cdot \left| \phi(\vec r_B) - \phi(\vec r_A)\right|\; \sim \text{Interpretation von $\phi$ als potentielle Energie}
+\end{align*}
+Aus
+\begin{align*}
+    \vec E(\vec r) &= - \nabla \phi(\vec r)\\
+    \intertext{und dem Gauß-Gesetz}
+    \div \vec E &= 4 \pi \rho
+    \intertext{erhalten wir}  
+    - \div \nabla \phi &= -\Delta \phi =  4\pi \rho 
+\end{align*}
+\begin{definition}[Laplace-Operator]
+    \[
+        \Delta = \div \nabla = \delta^{ij}\partial_i\partial_j  
+    \]
+\end{definition}
+\begin{satz}[Poisson-Gleichung]
+    Es gilt
+    \[
+      \Delta \phi = - 4\pi \rho  
+    \] beziehungsweise im Vakuum
+    \[
+        \Delta \phi = 0
+    \]
+\end{satz}
+%figure äquipotentiallinien, kästchen mit fluss rein oder raus
+Wir berechnen nun $\Delta \phi$ an einem Ort $\neq 0$ im Feld einer Punktladung.
+\begin{align*}
+    \phi(\vec r) &= \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} &&\text{Potenzial einer Punktladung }\vec r'\\
+    \Delta \phi &= \Delta \frac{1}{r}\\
+    &= \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\underbrace{\left(r \cdot \frac{1}{r}\right)}_{= \text{const}}\\
+    &= 0
+\end{align*}
+Nun möchten wir $\Delta \phi$ bei der Punktladung berechnen. Wir erhalten
+\begin{salign*}
+    \int_V \d[3]{r} \Delta \phi &\stackrel{\Delta = \div \nabla}{=} \int_{V} \d[3]{r}\div \nabla \phi\\
+    &\stackrel{\text{Gauss}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \nabla \phi\\
+    &\stackrel{\text{sph. Symmetrie}}{=} \int_{\partial V} r^2\d{\Omega} \cdot \underbrace{\frac{\partial \phi}{\partial r}}_{-\frac{1}{r^2}}\\
+    &= -\int_{\partial V}\d{\Omega}\\
+    &= -4\pi
+\end{salign*}
+
+Die Gleichung
+\[
+    \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = -4\pi \delta_D \left|\vec r - \vec r'\right|
+\]
+kombiniert beide Fälle. Dabei ist $\delta_D$ die Dirac-Funktion.
+\section{Dirac $\delta_D$-Funktion}
+Möchte man von der Ladungsdichte $\rho(\vec r)$ auf die  Ladung im Volumen $V$ schließen, berechnet man einfach
+\[q = \int_V \d[3]{r}\rho(\vec r).\]
+In die andere Richtung ist es nicht offensichtlich, hier gilt
+\[
+    \rho(\vec r) = q\delta_D (\vec r - \vec r')  
+\]
+wenn $q$ bei $\vec r'$ liegt.
+\begin{enumerate}
+    \item Für das Potenzial gilt
+    \begin{salign*}
+        \phi(\vec r) &= \int_V \d[3]{R'} \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'},\quad \rho \to 0.
+    \intertext{Dann erhalten wir}
+    \Delta \phi &= \int_V \d[3]{r'} \Delta \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}\\
+    &= -4\pi  \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \delta_D(\vec r - \vec r')
+    \intertext{Es gilt $\int_V \d[3]{r'}\varphi(\vec r') \delta_D(\vec r - \vec r') = \varphi(\vec r)$ und $\int \d[3]{r'} \delta_D(\vec r - \vec r') = 1$}
+    &= - 4\pi \rho(\vec r)
+    \end{salign*}
+    Man kann sich die Dirac $\delta$-Funktion vorstellen als 
+    \[
+        \lim\limits_{\sigma^2 \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right).
+    \]
+    \item Für diskrete Ladungen gilt
+    \begin{salign*}
+        \phi(\vec r) &= \sum_{i} \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+        \Delta \phi(\vec r) &= \sum_{i} q_i \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+        &= \sum_{i} q_i(-4\pi)\delta_D (\vec r - \vec r_i)\\
+        &= -4\pi \rho(\vec r)\\
+        &= \sum_{i}q_i \delta_D(\vec r - \vec r_i)
+    \end{salign*} 
+\end{enumerate}
+\section{Eigenschaften der Dirac $\delta_D$-Funktion}
+\begin{enumerate}
+    \item Normierung $\int_-\infty^\infty\d{x} \delta_D(x) = 1$
+    \item Verschiebung $\int_{-\infty}^\infty\d{x}\varphi(x) \delta_D(x-a) = \varphi(a)$
+    \item Skalierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(ax) = \int_{-\infty}^\infty \d{y}\delta_D(y)$
+    \item Ableitung $\int_{-\infty}^\infty \d{x} \varphi(x) \delta_D'(x-a) = \underbrace{\varphi(x) \delta_D(x-a)\bigg|_{-\infty}^{+\infty}}_{\to 0} - \int_{-\infty}^\infty\d{x} \varphi'(x)\delta_D(x-a) = \varphi'(a)$.
+\end{enumerate}
+\section{Potenzielle Energie einer Ladungsverteilung}
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Bei einer Ladung $q_1$ an der Stelle $\vec r_1$ erhalten wir das Potenzial $\phi_1 = \frac{q_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}$.
+    \item Nun schieben wir eine Ladung $q_2$ aus dem Unendlichen an die Stelle $\vec r_2$. Dabei verrichten wir eine Arbeit $W_2 = q_2\phi_1(\vec r_2)$.
+    \item Wir schieben eine dritte Ladung $q_3$ an die Stelle $\vec r_3$ und verrichten die Arbeit $W_3 = q_3(\phi_1(\vec r_3) + \phi_2(\vec r_3))$.\\
+    $\vdots$
+    \item[(n)] Schließlich schieben wir die Ladung $q_n$ an die Stelle $\vec r_n$ und verrichten die Arbeit $W_n = q_n\sum_{i = 1}^{n-1} \phi_i(\vec r_n)$  
+\end{enumerate}
+Als Gesamtenergie ergibt sich daher
+\begin{salign*}
+    W_\text{ges} &= \sum_{n = 1}^{N} W_n\\
+    &= \sum_{n = 1}^{N} q_n \sum_{i = 1}^{n-1}  \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}\\
+    &\stackrel{\text{Doppelzählung}}{=} \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_iq_n}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}
+\end{salign*}
+Gehen wir nun zum Kontinuum über, so erhalten wir
+\begin{salign*}
+  W &= \frac{1}{2}\int \d[3]{r} \int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r)\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+    &= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot \underbrace{\int \d[3]{4'} \frac{\rho(\vec r)}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{= \phi(\vec r)}\\
+    &= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot\phi(\vec r)\\
+    &\stackrel{\Delta \phi = -4\pi\rho}{=} - \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} \Delta \phi \cdot \phi
+    \intertext{Es gilt die Produktregel $\phi \nabla \phi = \phi \div \nabla \phi = \div (\phi \nabla \phi) - \nabla\phi \cdot \nabla\phi$}
+    &= -\frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \div (\phi\nabla \phi) + \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} (\nabla \phi)^2\\
+    &= \frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \left|\vec E\right|^2\\
+    &= \int \d[3]{r} W_{\mathrm{el}}
+\end{salign*}
+\begin{definition}[Energiedichte]
+    Wir definieren die Energiedichte $W_{\mathrm{el}} = \frac{1}{8\pi} |\vec E|^2$.
+\end{definition}
+\end{document}

theoIII.tex

@@ -23,5 +23,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \tableofcontents
 
 \input{theo01.tex}
+\input{theo02.tex}
 
 \end{document}