diff --git a/theo03.tex b/theo03.tex new file mode 100644 index 0000000..8703384 --- /dev/null +++ b/theo03.tex @@ -0,0 +1,326 @@ +\documentclass{lecture} + +\usepackage{tikz-3dplot} +\begin{document} + +\section{Randbedingungen von Feldern auf Oberflächen} +Wir definieren die Oberflächenladung (siehe Abb. \ref{abb:oberflaeche}) als +\[ + \sigma(\vec{r}) \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S} +.\] +\begin{figure}[h] + \label{abb:oberflaeche} +\tdplotsetmaincoords{70}{110} +\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords] + \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle; + \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, 0.5) -- cycle ; + \draw[black, dotted] (-0.5, -0.5, 0) -- (0.5, -0.5, 0) -- (0.5, 0.5, 0) -- (-0.5, 0.5, 0) -- cycle ; + \node at (0, 0.7, 0) {$\Delta S$}; + \node at (0, -0.2, 0) {$\sigma$}; + \node[blue] at (0, 0.7, 0.5) {$\Delta V$}; + \draw[blue] (-0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5) + -- cycle; + \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5); + \draw[blue] (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5); + \draw[blue] (0.5, 0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5); + \draw[blue] (-0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, -0.5); + \draw[->] (0, 0, -1) node[left]{$E_1^{\perp}$} -- (0, 0, 0) ; + \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0, 1) node[below left]{$E_2^{\perp}$}; +\end{tikzpicture} +\centering +\caption{Senkrechte Komponenten eines elektrischen Feldes durch Oberfläche mit Oberflächenladung $\sigma$.} +\end{figure} + +Für das Integrationsvolumen betrachten wir die Divergenz des elektrischen Felds: +\begin{salign*} + \int_{\Delta V}^{} \d[3]{r} \div \vec{E} + &\stackrel{\text{Gauß}}{=} + \int_{\Delta S}^{} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} \\ + &= 4 \pi q \\ + &= 4 \pi \int_{\Delta S}^{} \d S \cdot \sigma \\ + &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Seiten}}{=} \Delta S ( E_2^{\perp} - E_1^{\perp}) + \intertext{Damit folgt} + E_2^{\perp} &= E_1^{\perp} + 4 \pi \sigma +.\end{salign*} + +\begin{figure}[h] + \label{abb:oberflaeche-2} +\tdplotsetmaincoords{70}{110} +\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords] + \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle; + \draw[blue] (0, -0.5, -0.5) -- (0, 0.5, -0.5) -- (0, 0.5, 0.5) -- (0, -0.5, 0.5) -- cycle ; + \node[blue] at (0, 0.7, -0.3) {$\Delta S$}; + \node[blue] at (0, 0, 0.7) {$\Delta r$}; + \draw[->] (-0.5, -1, -1) node[left]{$\vec{E}_1$} -- (0, 0, 0) ; + \draw[dashed] (-0.5, -1, -1) -- (0, -0.8, 0); + \draw[->] (0, -0.8, 0) node[left]{$E_1^{\parallel}$}-- (0, 0, 0); + \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0.8, 0) node[right]{$E_2^{\parallel}$}; + \draw[dashed] (0, 0.8, 0) -- (0.5, 1, 1); + \draw[->] (0, 0, 0) -- (0.5, 1, 1) node[above left]{$\vec{E}_2$}; +\end{tikzpicture} +\centering +\caption{Parallele Komponenten eines elektrisches Feldes durch Oberfläche.} +\end{figure} + +Es liegt Elektrostatik vor. Damit ist $\vec{E} = - \nabla \phi$, also folgt +$\rot \vec{E} = - \rot \nabla \phi = 0$, da die Rotation von Gradientenfeldern verschwindet. + +\begin{salign*} + \int_{\Delta S}^{} \d{\vec{S}} \cdot \rot\vec{E} + &\stackrel{\text{Stokes}}{=} + \int_{\partial \Delta S}^{} \d{\vec{r}} \cdot \vec{E} \\ + &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Höhe}}{=} + \Delta r (E_2^{\parallel} - E_1^{\parallel}) \\ + &= 0 + \intertext{Damit folgt} + E_2^{\parallel} &= E_1^{\parallel} +.\end{salign*} + +Im Vergleich fällt auf, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche einen Sprung macht bei +Durchstoßen der Oberfläche, sobald die Fläche eine Oberflächenladung besitzt. Dahingegen verändert sich +die parallele Komponente nicht. + +\textbf{Wiederholung} + +Elektrisches Feld $\vec{E}$ und elektrostatisches Potential $\phi$. Dann ist +\begin{salign*} + \vec{E}(\vec{r}) &= q_1 \frac{\vec{r} - \vec{r}_1}{| \vec{r} - \vec{r}_1|^{3}} + \intertext{Bei mehreren Ladungen folgt mit Superpositionsprinzip} + \vec{E}(\vec{r}) &= \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^{3}} + \intertext{Im Kontinuumslimes ergibt sich} + \vec{E}(\vec{r}) &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^{3}} + \intertext{Aus 3. Maxwell Gleichung folgt im statischen Fall $\rot \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} = 0$, + d.h. es muss ein Potential $\phi$ geben, mit $\vec{E} = - \nabla \phi$:} + \vec{E}(\vec{r}) &= - \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \nabla \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + = - \nabla \underbrace{\int_{}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}}_{= \phi(\vec{r})} + = - \nabla \phi + \intertext{Aus der 1. Maxwell Gleichung ($\div \vec{E} = 4 \pi \rho$) folgt} + \div \vec{E} &= - \div \nabla \phi = - \Delta \phi = 4 \pi \rho \qquad \text{(Poisson-Gleichung)} +.\end{salign*} + +Die Maxwell-Gleichungen beschreiben eine Kontinuums-Theorie. Wie können dann Punktladungen +in dieser Theorie beschrieben werden? Für Punktladung an der Stelle $\vec{r}'$ ist +\begin{salign*} + \rho(\vec{r}) = q \cdot \underbrace{\delta_D (\vec{r} - \vec{r}')}_{\sim \text{Volumen}^{-1}} +.\end{salign*} + +Wieso hat die Dirac Funktion die Einheit eines reziproken Volumens? Das folgt aus der Normierung +\begin{align*} + \int_{}^{} \d[3]{r} \delta_D | \vec{r} - \vec{r}'| = 1 +\end{align*} +woraus direkt +\begin{align*} + \int_{}^{} \d[3]{r} \rho{\vec{r}} = q +\end{align*} +folgt. + +\textbf{Dirac-Funktion als Kontinuumslimes des Kronecker $\delta$} + +\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} +\begin{itemize} + \item $\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij} = 1$ + \item $\sum_{i=a}^{b} \delta_{ij} = \begin{cases} + 1 & \text{falls } a \le j \le b \\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases}$ + \item $\sum_{i=1}^{n} \delta _{ij} A^{i} = A_j$ +\end{itemize} +\end{minipage} +vs. +\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth} +\begin{itemize} + \item $\int_{-\infty}^{\infty} \d x \delta_D(x - x') = 1$ + \item $\int_{a}^{b} \d x \delta_D(x - x') = \begin{cases} + 1 & \text{falls }a \le x' \le b \\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases}$ + \item $\int_{-\infty}^{\infty} \d x \varphi(x) \delta_D(x -x') = \varphi(x')$ (Faltungsintegral) +\end{itemize} +\end{minipage} + +\begin{figure}[h] + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[default 2d plot, xtick={1.2}, xticklabels={$x'$}, ytick={1}, + xlabel=$x$, ylabel=$\varphi(x)$, grid=none, minor tick num=0] + \addplot[domain=0:2,samples=90] {0.5*sin(90*x^2)}; + \draw (1.15, 0) -- (1.15, 0.5) -- (1.25, 0.5) -- (1.25, 0); + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \caption{Gestalt der Dirac Funktion} +\end{figure} + +Verbindung der kontinuierlichen Welt der Maxwell-Gleichungen mit der Intuition der diskreten Punktladungen. + +\begin{salign*} + \vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|^{3}} + = - \nabla \sum_{i} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|} = - \nabla \phi(\vec{r}) +.\end{salign*} +Wie wird nun $\div \vec{E} = - \nabla \phi$ berechnet? +\begin{salign*} + \Delta \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}'|} = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') +.\end{salign*} +Die $\delta_D$ Funktion ist die Kontinuumsbeschreibung von Punktladungen. + +\section{Differentialoperatoren und Green-Funktionen} + +Nach Poisson-Gleichung ist +\begin{salign*} + \Delta \phi(\vec{r}) &= - 4 \pi \rho (\vec{r}) \text{, gelöst von } \phi(\vec{r}) = \int_{}^{} + \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\ + \Delta \phi &= \Delta \int_{}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + = \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + = \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \cdot (-4 \pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho(\vec{r}) +.\end{salign*} +Interpretation von links nach rechts: $\Delta \phi = - 4 \pi \rho$: Lokalisierung von Ladungen aus $\phi$ +heraus. + +\begin{figure}[h] + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \begin{tikzpicture} + \draw (0,0) circle (2cm); + \node at (2,2) {$\phi = \text{const}$}; + \foreach \a in {0,60,...,300} {\draw[->] (\a:2) -- (\a:1.5); }; + \draw[fill] (0,0) circle (0.1cm); + \end{tikzpicture} + \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho \neq 0 $} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \begin{tikzpicture} + \draw (0,0) .. controls (1.5,1) .. (4,1.5); + \draw (0,-1) .. controls (1.8,0) .. (4,0) coordinate (line2); + \node at (4,2) {$\phi = \text{const}$}; + \draw[->] (2.5, 1.3) -- (2.2, 1.9); + \draw[->] (2.0, 1.1) -- (1.7, 1.7); + \draw[->] (2.5, 0.1) -- (2.2, 0.7); + \draw[->] (2.0, -0.1) -- (1.7, 0.5); + \end{tikzpicture} + \centering + \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho = 0$} + \end{subfigure} +\end{figure} + +Interpretation von rechts nach links: Achtung: Gefährlicher Unfug: +\begin{salign*} + \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad \mid \Delta^{-1} \text{ ,,inverser Differentialoperator''} \\ + \implies \phi &= \Delta^{-1} \left[ - 4 \pi \rho \right] = \int_{}^{} \d[3]{r'} + \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} +.\end{salign*} +$\int_{}^{} \d[3]{r}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \left[ \ldots \right]$ ist die inverse +Operation zu $\Delta [ \ldots ]$. In Worten der Funktionalanalysis heißt dann + +$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ die Green-Funktion des Differentialoperators $\Delta$. Für uns +Green-Funktion immer gleich dem Potential einer Punktladung. + +\chapter{Potentialtheorie} + +Ziel: Lösen von Poisson-Problemen. + +\section{Green-Theoreme} + +Seien $\varphi, \psi$ zwei skalare Felder. Dann ist +\begin{align*} + \vec{A}(\vec{r}') &= \varphi(\vec{r}') \cdot \nabla'\psi(\vec{r}') \\ + \div' A (\vec{r}') &= \nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi + \phi \Delta'\psi \text{ (Produktregel)} \\ + \intertext{Mit Satz von Gauß folgt dann} + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') &= \int_{\partial V}^{} \d{\vec{S}'} \cdot \vec{A}(\vec{r}') + \qquad \d{\vec{S}} = \vec{n} \cdot \d s +.\end{align*} + +Damit folgen die Green-Theoreme: + +\begin{satz}[1. Green-Theorem] + \begin{align*} + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') + = \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div'(\varphi \nabla' \psi) + &= \int_{V}^{} \d[3]{r'} \left[ \nabla'\varphi \cdot \nabla ' \psi + \varphi \Delta'\psi \right] \\ + &= \int_{\partial V}^{} \d{S'} \varphi \cdot \underbrace{\nabla' \psi \cdot \vec{n}'}_{\frac{\partial \psi}{\partial n'}} + .\end{align*} +\end{satz} + +Vertausche nun $\varphi$ und $\psi$ und subtrahiere zwei Kopien des ersten Green-Theorems. Dabei +fällt $\nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi$ heraus. + +\begin{satz}[2. Green-Theorem] + \begin{align*} + \int_{V}^{} \d[3]r' \left[ \varphi \cdot \nabla'\psi - \psi \nabla ' \varphi \right] + = \int_{\partial V}^{} \d S' \left[ \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n'} \right] + .\end{align*} +\end{satz} + +Nun Anwendung durch Wahl der Felder: $\psi = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$, damit +$\Delta' \psi = - 4 \pi \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')$. Weiter sei +$\varphi = \phi$ Potential, also $\nabla' \phi = - 4 \pi \rho(\vec{r}')$ (Poisson-Gleichung). + +Substitution in das 2. Green-Theorem: +\begin{align*} + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ \underbrace{\phi(\vec{r}')}_{\varphi} \cdot \underbrace{(-4 \pi) \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')}_{\Delta \psi} + + \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}_{\psi} \underbrace{4 \pi \rho(\vec{r}')}_{\Delta \phi} \Big] + &= - 4 \pi \phi(\vec{r}) + 4 \pi \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\ + &= \int_{\partial V}^{} \d{S'} \Big[ \phi(\vec{r}') \cdot \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{\partial}{\partial n'} \phi(\vec{r}') \Big] +.\end{align*} + +Auflösen nach $\phi$ ergibt + +\begin{align*} + \phi(\vec{r}) = + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + + \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V}^{} \d{S'} + \Big[ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'} \phi} + _{ \substack{\text{Neumann-Randbedingung} \\\nabla \phi \text{ auf } \partial V}} + - \underbrace{\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}} + _{\substack{\text{Dirichlet-Randbedingung} \\ \phi \text{ auf } \partial V}} + \Big] +.\end{align*} +Falls $\partial V$ unendlich weit weg ist, bleibt nur der erste Term übrig. Bei der Festlegung der +Randbedingungen, darf jeweils auf einem Flächenelement nur eine Neumann-Randbedingung oder eine +Dirichlet-Randbedingung festgelegt werden, da sonst Probleme bezüglich der Bestimmtheit des Potentialproblems +entstehen. + +\section{Eindeutigkeit der Potentiale} + +Seien $\phi_1, \phi_2$ Potentiale und Lösungen der Poisson-Gleichung, +also +\begin{align*} + \Delta \phi_1 = - 4\pi\rho = \Delta \phi_2 \implies \Delta (\underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{=u}) = 0 +.\end{align*} +Mit 1. Green-Theorem folgt +\begin{align*} + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ u \underbrace{\Delta' u}_{=0} - (\nabla' u)^2 \Big] + = \int_{\partial V}^{} \d{S'} u \frac{\partial u}{\partial u'} +.\end{align*} +Fallunterscheidung nach Wahl der Randbedingung für Potentialproblem: +\begin{itemize} + \item Neumann-Randbedingungen: $\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = \frac{\partial \phi_2}{\partial n} + \implies \frac{\partial u}{\partial n} = 0$ auf $\partial V$. + \item Dirichlet-Randbedingungen: $\phi_1 = \phi_2 \implies u = 0$ auf $\partial V$. +\end{itemize} +Damit verschwindet die rechte Seite immer und es folgt +\begin{align*} + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \underbrace{(\nabla ' u)^2}_{\ge 0} = 0 +.\end{align*} +Also folgt bereits $\nabla' u = 0$, also $\phi_2 = \phi_1 + \text{const}$. +Bei Dirichlet-Randbedingungen folgt damit, wegen $u = 0$ auf $\partial V$, dass $\phi_1 = \phi_2$. + +\section{Green-Funktionen} + +\begin{align*} + \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \text{ mit } + G(\vec{r} - \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + F(\vec{r}, \vec{r}') +.\end{align*} + +$F(\vec{r}, \vec{r}')$ hat die Eigenschaft $\Delta F(\vec{r}, \vec{r}') = 0$: Vakuum. Erfüllen +von Randbedingungen (,,Spiegelladungen''). + +\begin{align*} + \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') &= - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad + \mid \cdot \rho(\vec{r}), \int_{V}^{} \d[3]{r'} \\ + \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') \cdot \rho(\vec{r}') + &= \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \Delta \phi \\ + &= -4 \pi \int_{V}^{} \d[3]{r'} \rho (\vec{r}') \cdot \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho +.\end{align*} + +Green-Funktionen sind für lineare Feldgleichungen $\implies$ Superpositionsprinzip. + +\end{document} diff --git a/theo04.tex b/theo04.tex new file mode 100644 index 0000000..1291fa3 --- /dev/null +++ b/theo04.tex @@ -0,0 +1,223 @@ +\documentclass{lecture} + +\usepackage{tikz-cd} +\usetikzlibrary{quotes,angles,babel} + +\begin{document} + +\newcommand\irregularcircle[2]{% radius, irregularity + \pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}} + +(0:\len pt) + \foreach \a in {10,20,...,350}{ + \pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}} + -- +(\a:\len pt) + } -- cycle +} + +\section{Systematische Konstruktion von Green-Funktionen} + +\begin{salign*} + \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= (-4\pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad + \mid \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \\ + \intertext{Durch Superposition der Coulomb-Felder der Einzelladungen folgt damit} + \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + &= \Delta \phi = -4 \pi \int_{V}^{} \d[3]r' \rho(\vec{r}') \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') + = - 4 \pi \rho(\vec{r}) +.\end{salign*} +Jetzt: Green-Funktionen für andere Differentialoperatoren, z.B.: $\Delta - m^2$ oder +$\square = \partial_{ct}^2 - \Delta$. + +\begin{enumerate}[(1)] + \item Lösung der Feldgleichung: algebraisch statt differentiell. Dafür: Fourier-Transformation + \begin{align*} + \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad \text{Poisson-Gleichung} \\ + \rho(\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \rho(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r}) + \xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} + \rho(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \rho(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \\ + \phi(\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r}) + \xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}} + \phi(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \phi(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r}) + \intertext{Die Fouriertransformation angewendet auf die Poisson-Gleichung ergibt dann} + \Delta \phi(\vec{r}) &= \Delta \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k}) + \exp(i \vec{k} \vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})(ik)^2 + \exp(i \vec{k}\vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} (-4\pi) \rho(\vec{k}) + \exp(i \vec{k} \vec{r}) + .\end{align*} + Durch Integrandenvergleich folgt + \begin{align*} + \Delta \phi = - 4 \pi \rho \text{ im Fourier-Raum: } -k^2 \phi(\vec{k}) = - 4 \pi \rho(\vec{k}) + .\end{align*} + Wir erhalten also eine algebraische Gleichung im Fourier-Raum, die sehr leicht gelöst werden kann: + \begin{align*} + \phi(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}\rho(\vec{k}) + .\end{align*} + Damit ergibt sich folgendes Diagramm + \[ + \begin{tikzcd} + \phi(\vec{k}) \arrow{r}{\cdot \frac{k^2}{4\pi}} \arrow[swap]{d}{\mathcal{F}^{-1}} + & \rho(\vec{k}) \\ + \phi(\vec{r}) \arrow{r}{\Delta } & \arrow{u}{\mathcal{F}} \rho(\vec{r}) +\end{tikzcd} + .\] Damit folgt als Lösung der Poisson-Gleichung: + \[ + \phi(\vec{r}) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{4\pi}{k^2} \mathcal{F}[ \rho(\vec{r})] \right] + .\] + Fourier-Transformationen sind numerisch extrem effizient berechenbar mithilfe von + ,,fast Fourier-transform''. + \item Faltungen im Realraum sind Produkte im Fourier-Raum. + \begin{align*} + \varphi \otimes \psi (\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} + \left[ \varphi(\vec{k}) \cdot \psi(\vec{k}) \right] \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\ + &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} + \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \exp(- i \vec{k} \vec{r}') + \int_{}^{} \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'') \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\ + &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') + \int_{}^{} \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'') + \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \exp[i \vec{k}(\vec{r} - \vec{r}' - \vec{r}'')] + \intertext{In einer ebenen Welle ist nur eine Frequenz enthalten, deren Spektrum aufgrund + von Normierung divergieren muss. Die Fouriertransformierte der ebenen Welle ist also + wieder die Dirac-Funktion} + &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') + \int_{}^{} \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'') + \delta_D((\vec{r} - \vec{r}') - \vec{r}'') \\ + &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \psi(\vec{r} - \vec{r}') + .\end{align*} + Wir erhalten also tatsächlich eine Faltung zwischen $\varphi$ und $\psi$. + \item Berechnung der Fourier-Transformierten der Green-Funktion + Idee: $\frac{4\pi}{k^2}$ ist die Green-Funktion von $\Delta (\sim -k^2)$ im Fourier-Raum. + \begin{align*} + \phi(\vec{r}) = \underbrace{\int_{}^{} \d[3]{r'} G(\vec{r}, \vec{r}') \rho(\vec{r}')}_{\text{Faltung}} + \xrightarrow{\text{Fourier}} + \phi(\vec{k}) = \underbrace{G(\vec{k}) \cdot \rho(\vec{k})}_{\text{Produkt}} + .\end{align*} + Zu zeigen: + \begin{align*} + G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \xleftarrow{\mathcal{F}^{-1}} + G(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2} + .\end{align*} + Es ist + \begin{align*} + G &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} G(\vec{k}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\ + \intertext{Da $G(\vec{k})$ sphärisch symmetrisch, verwenden wir Kugelkoordinaten. Mit + $\mu \coloneqq \cos \sphericalangle(\vec{k}, \vec{r})$ ist $\vec{k} \cdot \vec{r} = kr \mu$. + Damit folgt:} + G &= \int_{0}^{\infty}\frac{k^2 \d k}{(2\pi)^{3}} \int_{-1}^{1} \d{\mu} + \underbrace{\int_{0}^{2\pi} \d{\varphi}}_{=2\pi} \frac{4\pi}{k^2}\exp(ikr\mu) \\ + &= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \int_{-1}^{1} \d \mu \exp(-ikr \mu) \\ + &= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \frac{\exp(-ikr) - \exp(ikr)}{-ikr} \\ + &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \d k \frac{\sin(kr)}{kr} \\ + &= \frac{2}{\pi} \frac{1}{r} \underbrace{\int_{0}^{\infty} \d{(kr)} \frac{\sin(kr)}{kr}}_{= \frac{\pi}{2} \text{ siehe Funktheo}} + .\end{align*} +\end{enumerate} + +\section{Multipolentwicklung} + +Betrachte eine komplizierte Ladungsverteilung. Von sehr weit weg, geht das elektrische Feld in ein +Coulomb-Feld über, das heißt Details in der Ladungsverteilung werden weniger relevant. + +\begin{figure}[h] + \begin{tikzpicture} + \draw (1, 2) \irregularcircle{1cm}{3mm}; + \node at (2.7,3) {$\rho \neq 0$}; + \draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}'$}; + \draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r}$}; + \pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1}; + \node at (3, 0.1) {$\mu \coloneqq \cos \alpha$}; + \end{tikzpicture} + \centering + \caption{Komplizierte Ladungsverteilung} +\end{figure} + +\begin{align*} + \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \frac{1}{\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}'})^2} + = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2r r' \mu + r'^2} } = \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \frac{r'}{r} \mu + \left( \frac{r'}{r} \right)^2} } + \intertext{Annahme, dass $r \gg r' \sim $ Beobachter weit weg im Vergleich zur Ausdehnung von $\rho$.} + \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= + \frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{r'}{r} \right)^{l} \underbrace{P_l(\mu)}_{\text{Legendre-Polynome}} + = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}} P_l(\mu) +.\end{align*} +Für die Legendre-Polynome gilt: +\[ + \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \mu x + x^2} } = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(\mu) x^{l} +.\] Durch die Operation $\frac{\d[l]{}}{\d{x^l}}$ und anschließendes Setzen von $x=0$ erhalten wir das +$l$-te Legendre Polynom. Damit folgt +\begin{align*} + P_0(\mu) = 1, P_1(\mu) = \mu, P_2(\mu) = \frac{1}{3} (3 \mu^2 -1), P_3(\mu) = \frac{1}{2} (5\mu^{3} - 3\mu^2) +.\end{align*} +alternativ Formel von Rodriguez: +\[ + P_l(\mu) = \frac{1}{2^{l}l!} \frac{\d[l]{}}{\d \mu^{l}}(\mu^2 -1)^{l} +.\] + +Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}(\theta, \varphi) \xrightarrow{} P_l(\cos \alpha)$ Legendre-Polynome. +\begin{align*} + P_l(\mu) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi') + \qquad \text{(Additionstheorem)} +.\end{align*} + +\begin{figure}[h] + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}' = (r', \theta', \varphi')$}; + \draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r} = (r, \theta, \varphi)$}; + \pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1}; + \end{tikzpicture} + \centering + \caption{Situation} +\end{figure} + +Damit erhalten wir +\begin{align*} + \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}} + \cdot Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi') + \intertext{Damit folgt} + \phi(\vec{r}) &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm} (\theta, \varphi) \cdot + \underbrace{\int_{}^{} \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r'}) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')} + _{= q_{lm} \text{ Multipolmomente}} \\ + \phi(\vec{r}) &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm}(\theta, \phi) \cdot q_{lm} +.\end{align*} +Mutipolmomente +\begin{enumerate}[(1)] + \item Information über die Ladungsverteilung: Größe, Stärke und Form + \item Einfluss nimmt mit $\frac{1}{r^{l+1}}$ ab. Dominierender Term $\frac{1}{r}$-Term bei großem + Abstand +\end{enumerate} + +Monopol $l=0$, also nur $1$ Koeffizient, $m = 0$ $\sim $ Gesamtladung. +\begin{align*} + q_{00} = \int \d[3]{r'} r'^{0} \rho(\vec{r}') \cdot \underbrace{Y_{00}^{*}(\theta, \varphi)}_{\frac{1}{\sqrt{4\pi} }} = \frac{q}{\sqrt{4\pi} } +.\end{align*} + +Dipol $l=1$, also $3$ Koeffizienten, $m \in \{-1, 0, 1\} $. +\begin{align*} + q_{1m} = \int_{}^{} \d[3]{r'}\rho(\vec{r}') r' Y_{1m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times + \text{ Abstand} +.\end{align*} + +Quadrupol $l=2$, also $5$ Koeffizienten, $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} $. +\begin{align*} + q_{2m} = \int \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') r'^2 Y_{2m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times \text{ Fläche} +.\end{align*} +Oktupol $l=3$\\ +Hexadekupol $l=4$ + +Hermitizität: +\begin{align*} + Y_{lm}^{*}(\theta, \varphi) &= (-1)^{m} Y_{l,-m}(\theta, \varphi) + \intertext{Damit folgt} + q_{lm}^{*} &= \int_{}^{} \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi') + = (-1)^{m} \int_{}^{} \d[3]{r'}r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{l, -m}(\theta', \varphi') \\ + &= (-1)^{m} q_{l, -m} +.\end{align*} +Für reelle Ladungsverteilungen existieren also $(l+1)$ unabhängige Multipole. + +\section{Kugelflächenfunktionen: sphärisch harmonische Funktionen} + +\begin{align*} + \Delta \exp(- i \vec{k} \vec{r}) &= - k^2 \exp(\pm i\vec{k}\vec{r}) + \implies (\Delta + k^2) \exp(\pm i\vec{k}\vec{r}) = 0 \qquad (\text{ Helmholtz-Differentialgleichung}) \\ + \Delta_{\theta, \varphi} Y_{lm}(\theta, \varphi) &= - l(l+1) Y_{lm}(\theta, \varphi) \implies + (\Delta_{\theta, \varphi} + l(l+1)) Y_{lm}(\theta, \varphi) = 0 +.\end{align*} + +\end{document} diff --git a/theoIII.pdf b/theoIII.pdf index 24cca9e..de40b3c 100644 Binary files a/theoIII.pdf and b/theoIII.pdf differ diff --git a/theoIII.tex b/theoIII.tex index 12118ce..823425b 100644 --- a/theoIII.tex +++ b/theoIII.tex @@ -3,6 +3,9 @@ \usepackage{standalone} \usepackage{tikz} \usepackage{subcaption} +\usepackage{tikz-cd} +\usepackage{tikz-3dplot} +\usetikzlibrary{quotes,angles,babel} \title{Theoretische Physik 3: Elektrodynamik} \author{Prof. Dr. Bjoern Malte Schäfer\\[5mm] @@ -24,5 +27,7 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel \input{theo01.tex} \input{theo02.tex} +\input{theo03.tex} +\input{theo04.tex} \end{document}