added figures and some more text

lecture.cls

@@ -76,7 +76,8 @@
 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
 \renewcommand{\C}{\mathbb{C}}
-
+\newcommand{\rot}{\operatorname{rot}}
+\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}
 % HEADERS
 
 %\newpagestyle{main}[\small]{

theo01.tex

@@ -0,0 +1,195 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}
+
+\section{Elektrisches Feld}
+
+\begin{satz}[Coulomb Gesetz]
+    Kraft zwischen zwei Ladungen
+    \[
+        F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
+    .\] 
+    Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
+    $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
+    \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.
+
+    Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
+\end{satz}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+\begin{tikzpicture}
+    \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
+    \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Zwei Ladungen}
+\end{figure}
+
+\section{Elektrische Feldstärke}
+
+\begin{satz}[Coulomb Kraft]
+    \[
+        \vec{F} = q \vec{E}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Lorentz Kraft]
+    \[
+        \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\section{Maxwell-Gleichungen}
+
+Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
+$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
+in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+        \item $\div \vec{E} = \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^i = 4\pi \rho$. Mithilfe der 1. Maxwell-Gleichung kann aus dem elektrischen Feld die Ladung bestimmt werden oder aus der Ladungsverteilung auf ein elektrisches Feld geschlossen werden.
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                \node[fill = black, shape=circle, label=$\rho > 0$] (q) at (0,0) {}; 
+                \foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[->] (\a:1.5) -- (\a:2.5);}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 1. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        \[
+            \int_V \d[3]{r} \div \vec{E} \overset{\text{Gauß}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underset{\text{el. Fluss}}{\Psi} = \int_V \d[3]{r} 4\pi \rho = 4\pi q
+        \]
+        Setzen wir eine sphärische Symmetrie voraus, so erhalten wir
+        \[
+            \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot |\vec E(r)| = 4\pi q \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}.
+        \]
+        Damit haben wir also das Coulomb-Gesetz in Zusammenhang zu den Maxwell-Gleichungen gesetzt.
+        \item $\div \vec{B} = \nabla \times \vec{B} = \partial_i B^i = 0$
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                \node[fill=black,label=$\rho_{\mathrm{mag}}\text{?}$, shape=circle] (q) at (0,0) {};
+                \draw[->] (-2.5, 0) -- (-1.5, 0);
+                \draw[->] (210:2.5) -- (210:1.5);
+                \draw[->] (1.5,0) -- (2.5,0);
+                \draw[->] (30:1.5) -- (30:2.5);
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 2. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        \[
+            \d[3]{r} \div \vec{B} = \int_{ \partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} = \underset{\text{mag. Fluß}}{\Phi} = 0
+        \]
+        Es gibt keine magnetische Ladung (elektromagnetische Dualität)
+        \item $\rot \vec{E} = \nabla \times \vec E = -\partial_{ct} \vec B$. Die 3. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Induktionsgesetz von Faraday und stellt eine Verbindung her zwischen magnetischem Fluss durch eine Fläche und induzierter Spannung auf dem Rand der Fläche. Das $-$ auf der rechten Seite führt zur Lenz-Regel.
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
+                \node (B) at (7,2) {$\vec B, \dot{ \vec{B}} \neq 0$};
+                \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
+                \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
+                \draw[->] (1.9,4) -- (3,4.2);
+                \draw[->] (1.1,3.2) -- (1.3,3.9);
+                \draw[->] (1.3, 1.4) -- (0.8, 2.3);
+                \draw[->] (1.9,1) -- (1, 1.2);
+                \node (E) at (2.8,4.5) {$\vec E$};
+                \node (S) at (2,1.3) {$S$};
+                \node (dS) at (2,.8) {$\d{S}$};
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 3. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        \[
+            \int_S \d{S} \cdot \rot \vec E \overset{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec E = \underset{\text{Spannung}}{U} = -\underbrace{\frac{\d}{\d{(ct)}}}_{\frac{1}{c}\frac{\d}{\d t}} \int \d{\vec S} \cdot \vec B = -\frac{\d}{\d{(ct)}} \Phi
+        \]
+        \item $\rot \vec B = \nabla \times \vec B = \partial_{ct} \vec E + \frac{4\pi}{c} \vec \jmath$. Die 4. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Ampere-Gesetz und stellt eine Verbindung her zwischen elektrischen Fluss oder sich änderndem $\vec E$-Feld und einem magnetischen Feld auf dem Rand der Fläche. 
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
+                \node (E) at (7,2) {$\vec E, \dot{\vec{E}} \neq 0$};
+                \node (j) at (7, 3) {$\vec \jmath$};
+                \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
+                \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
+                \draw[->] (1.9,4) -- (.8,3.8);
+                \draw[->] (1.1,3.2) -- (.9,2.5);
+                \draw[->] (1.1, 1.8) -- (1.6, .9);
+                \draw[->] (1.9,1) -- (2.8, .9);
+                \node (B) at (1,4.1) {$\vec B$};
+                \node (S) at (2,3.8) {$S$};
+                \node (dS) at (2,4.2) {$\d{S}$};
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 4. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        In integraler Form gilt also
+        \[
+            \int_S \d{\vec S}\cdot \rot \vec B 
+            \overset{\text{Stokes}}{=} 
+            \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B 
+            = 
+            \frac{\d{}}{\d{(ct)}} \int_S \underbrace{\d{\vec S} \cdot \vec E}_{=\Psi} + \frac{4\pi}{c}\underbrace{\int \d{\vec S} \cdot \vec \jmath}_{= I \text{ Strom}}.
+        \]
+        Setzen wir zylindrische Symmetrie voraus, so erhalten wir
+        \[
+            \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B = 4\pi r \left|\vec B(r)\right| = \frac{4\pi}{c} I \implies \left|\vec B\right| \sim \frac{1}{r}.
+        \]
+\end{enumerate}
+
+\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}
+
+\begin{itemize}
+    \item Die Maxwell-Gleichungen sind lineare ($\to$ Superposition),
+    \item partielle (Ableitungen in $x^i$ und $ct$ $\to \nabla, \partial_{ct}$),
+    \item hyperbolische Differenzialgleichungen (wird später noch erklärt).
+    \begin{tikzpicture}
+        \node (q) at (0,0) {$\rho, \vec \jmath$};
+        \node (E) at (3,0) {$\vec E, \vec B$};
+        \draw[->] (q) to[out = 30, in=150] node[above] {Quelle} (E);
+        \draw[->] (E) to[out = -150, in=-30] node[below] {Lokalisierung} (q);
+    \end{tikzpicture}
+    \item Die Maxwell-Gleichungen ergeben nur Sinn in einem Bezugssystem, wir legen also ein Inertialsystem fest.
+    \item Wir haben 2 $\div$-Gleichungen und 2 $\rot$-Gleichungen, also effektiv $1 + 1 + 3 + 3 = 8$ Gleichungen, wir untersuchen aber nur die Dynamik von $\vec E$- und $\vec B$-Feld ($3 + 3 = 6$ Komponenten). Sind die Maxwell-Gleichungen daher überbestimmt?
+\end{itemize}
+
+\section{Erhaltung der elektrischen Ladung}
+
+Betrachte Maxwell (1) und (4):
+
+\begin{salign*}
+    \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\
+    \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }
+    \intertext{Damit folgt}
+        \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
+        \vec{\jmath} \\
+        &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
+    \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
+    \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
+.\end{salign*}
+In Integralform ergibt sich daraus:
+\begin{salign*}
+    \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }
+    \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 
+.\end{salign*}
+Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.
+
+\section{Elektromagnetische Dualität}
+
+Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\text{div } \vec{E} = 0$
+    \item $\text{div } \vec{B} = 0$
+    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
+    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
+\end{enumerate}
+Vertauschen wir $\vec E \to \vec B,\quad \vec B \to -\vec E$, so ändert sich an den Maxwell-Gleichungen im Vakuum nichts (Dualität).
+Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
+    \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
+    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
+    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
+\end{enumerate}
+Es folgt also, analog zu \ref{eq:cont}, eine Kontinuitätsgleichung für die magnetische Ladung \[\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0.\]
+\end{document}

theo1.tex

@@ -1,147 +0,0 @@
-\documentclass{lecture}
-
-\begin{document}
-
-\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}
-
-\section{Elektrisches Feld}
-
-\begin{satz}[Colomb Gesetz]
-    Kraft zwischen zwei Ladungen
-    \[
-        F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
-    .\] 
-    Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
-    $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
-    \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.
-
-    Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
-\end{satz}
-
-\begin{figure}[h]
-    \centering
-\begin{tikzpicture}
-    \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
-    \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
-\end{tikzpicture}
-\caption{Zwei Ladungen}
-\end{figure}
-
-\section{Elektrische Feldstärke}
-
-\begin{satz}[Coulomb Kraft]
-    \[
-        \vec{F} = q \vec{E}
-    .\] 
-\end{satz}
-
-\begin{satz}[Lorentz Kraft]
-    \[
-        \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
-    .\] 
-\end{satz}
-
-\section{Maxwell-Gleichungen}
-
-Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
-$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
-in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).
-
-\begin{enumerate}[(1)]
-    \item
-        \begin{salign*}
-            \text{div } \vec{E} &= \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^{i} = 4 \pi \rho
-            \intertext{Integralform}
-            \int_{V}^{} \text{div } \vec{E} \d[3]{x} &\stackrel{\text{Gauß}}{=}
-            \int_{\partial V}^{} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underbrace{\Psi}_{\text{elektrischer Fluss}}
-            = \int_{V}^{} 4 \pi\rho \d[3]{r}  = \underbrace{4 \pi q}_{\text{Ladung}}
-            \intertext{Im Fall von sphärischer Symmetrie gilt}
-            \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} &= 4 \pi r^2 | \vec{E}(r) | = 4 \pi q 
-            \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}
-        .\end{salign*}
-    \item
-        \begin{salign*}
-            \text{div } \vec{B} &= \nabla \times \vec{B} = \partial_i B^{i} = 0
-            \intertext{Integralform}
-            \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div } \vec{B} &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{B}
-            = \underbrace{\Phi}_{\text{magnetischer Fluss}} = 0
-        .\end{salign*}
-        Es gibt keine magnetische Ladung, es gilt also immer $\rho_m = 0$. Elektromagnetische Dualität.
-    \item Faraday-Induktionsgesetz
-        \begin{salign*}
-            \text{rot } \vec{E} &= \nabla \times \vec{E} = \underbrace{-}_{\text{Lenz-Regel}} \partial_{ct} \vec{B}
-            \intertext{Integralform}
-            \int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \text{rot } \vec{E}
-            &\stackrel{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E}
-            = \underbrace{U}_{\text{Spannung}}
-            = - \frac{\d}{\d (ct)} \int_{}^{}  \d{\vec{S}} \cdot  \vec{B} = - \frac{\d}{\d (ct)} \Phi 
-        .\end{salign*}
-    \item Ampère-Gesetz
-        \begin{salign*}
-            \text{rot } \vec{B} &= \nabla \times \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}
-            \intertext{Integralform}
-            \int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} &\stackrel{\text{Stokes}}{=}
-            \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{B}
-            = \frac{\d }{\d ct} \underbrace{\int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E}  }_{\Psi}
-            + \frac{4\pi}{c} \underbrace{\int_{}^{}  \d{\vec{S}}  \cdot  \vec{\jmath}}_{I \text{ Strom}}
-            \intertext{Im Fall von zylindrischer Symmetrie gilt:}
-            \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{B} &=
-            4 \pi r | \vec{B}(r)| = \frac{4 \pi}{c} I \implies | \vec{B} | \sim \frac{1}{r}
-        .\end{salign*}
-\end{enumerate}
-
-\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}
-
-\begin{itemize}
-    \item linear ($\to$ Superposition)
-    \item partiell
-    \item hyperbolisch
-    \item Inertialsystem
-    \item Überbestimmtheit?
-\end{itemize}
-
-\section{Erhaltung aus elektrischer Ladung}
-
-Betrachte Maxwell (1) und (4):
-
-\begin{salign*}
-    \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\
-    \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }
-    \intertext{Damit folgt}
-        \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
-        \vec{\jmath} \\
-        &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
-    \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
-    \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
-.\end{salign*}
-In Integralform ergibt sich daraus:
-\begin{salign*}
-    \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }
-    \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 
-.\end{salign*}
-Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.
-
-\section{Elektromagnetische Dualität}
-
-Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
-\begin{enumerate}[(1)]
-    \item $\text{div } \vec{E} = 0$
-    \item $\text{div } \vec{B} = 0$
-    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
-    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
-\end{enumerate}
-
-Vertauschung $\vec{E} \longrightarrow \vec{B}$, $\vec{B} \longrightarrow - \vec{E}$: Dualität
-
-Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?
-
-\begin{enumerate}[(1)]
-    \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
-    \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
-    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
-    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
-\end{enumerate}
-
-Es folgt also direkt $\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0$ analog zu \ref{eq:cont}.
-
-\end{document}

theoIII.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ Christian Merten (\href{mailto:christian.merten@stud.uni-heidelberg.de}{christia
 Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidelberg.de})\\
 }
 \date{Wintersemester 2020/21}
-
+\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}
 \begin{document}
 
 \newgeometry{right=15mm, left=15mm}