\documentclass{lecture}

\begin{document}

\section{Elektrodynamik in Materie}
Elektrodynamik in Materie ist im Allgemeinen sehr kompliziert.
Im einfachsten Fall ist die Wirkung
\begin{enumerate}
    \item linear
    \item isotrop
    \item instantan
\end{enumerate}
Dann existiert eine effektive Beschreibung mithilfe von nur zwei Konstanten. Als erstes benötigen wir die Dieelektrizitätskonstante $e$ und die Permeabilitätskonstante $\mu$. Es gilt
\begin{align*}
    \vec D &= e\cdot \vec E\\
    \vec B &= \mu \cdot H
\end{align*}
\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
    \centering
    im Vakuum (in diesem Fall $e = \mu = 1$)
    \begin{align*}
        \div \vec E &= 4\pi \rho\\
        \div \vec B &= 0\\
        \rot \vec E &= - \partial_{ct} \vec B\\
        \rot \vec B &= + \partial_{ct} \frac{4\pi}{c} \vec \jmath
    \end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
    \centering
    in Materie
    \begin{align*}
        \div \vec D &= 4\pi \rho\\
        \div \vec B &= 0\\
        \rot \vec E &= -\partial_{ct} \vec B\\
        \rot \vec H &= +\partial_{ct} \vec D + \frac{4\pi}{c}\vec \jmath
    \end{align*}
\end{minipage}
\section{elektrostatisches Potenzial}
Dabei bedeutet elektrostatisch, dass alle Zeitableitungen 0 sind.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \node[fill = black, shape = circle, inner sep = 3pt, label = $q_1$] (q1) at (0,2) {};
        \draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, left] {$\vec r_1$} (0,2);
        \draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, below right] {$\vec r$} (2,1);
        \draw[dashed, ->] (0,2) -- node[pos=.5, above right]{$\vec r - \vec r_1$} (2,1);
        \node[text width = 2cm] (beobachter) at (3.5,1) {Beobachter mit positiver Probeladung};
    \end{tikzpicture}
    \caption{Elektrisches Feld}
    \label{efeld}
\end{figure}
Für das elektrische Feld aus Abbildung~\ref{efeld} gilt daher
\[
    \vec E(\vec r) = \frac{q_1}{|\vec r - \vec r_1|}  \cdot \vec e_{\vec r - \vec r_1} = q_1 \cdot \frac{\vec r - \vec r_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.
\]
Bei vielen felderzeugenden Ladungen berechnen wir einfach die Superposition
\[
    \vec E (\vec r) = \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec r - \vec r_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.  
\]
Da es sich bei der Elektrodynamik um eine Kontinuumstheorie handelt, gehen wir von $q$ zu $\rho$ über. Im Kontinuumslimes erhalten wir also
\[
    \vec E(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}. 
\]
Im folgenden wirke $\nabla$ auf $r$ und $\nabla'$ auf $r'$. Es gilt
\[
    \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}   = -\nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = \nabla' \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
\]
Eingesetzt in die Gleichung von oben erhalten wir
\begin{align*}
    \vec E(\vec r) &= \int \d[3]{r'} \rho(r') \cdot \nabla'\frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
    &= - \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
    &= -\nabla \underbrace{\int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{\eqqcolon \phi(\vec r)}\\
    \to \vec E(\vec r) &= -\nabla \phi(\vec r)
\end{align*}
\begin{definition}
   Das elektrostatische Potenzial $\phi$ ist gegeben durch 
   \[\phi(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
   \]
\end{definition}
Für die Elektrostatik gilt also $\rot \vec E = - \rot \vec \phi = 0$. Aus den Maxwell-Gleichungen erhalten wir konsistenterweise $\rot \vec E = -\partial_{ct} \vec B = 0$. 
\begin{align*}
    W_{AB} &= q \int_A^B \d{\vec S} \cdot \vec E\;\sim \text{ Verschiebearbeit}\\
    &= q\cdot \left| \phi(\vec r_B) - \phi(\vec r_A)\right|\; \sim \text{Interpretation von $\phi$ als potentielle Energie}
\end{align*}
Aus
\begin{align*}
    \vec E(\vec r) &= - \nabla \phi(\vec r)\\
    \intertext{und dem Gauß-Gesetz}
    \div \vec E &= 4 \pi \rho
    \intertext{erhalten wir}  
    - \div \nabla \phi &= -\Delta \phi =  4\pi \rho 
\end{align*}
\begin{definition}[Laplace-Operator]
    \[
        \Delta = \div \nabla = \delta^{ij}\partial_i\partial_j  
    \]
\end{definition}
\begin{satz}[Poisson-Gleichung]
    Es gilt
    \[
      \Delta \phi = - 4\pi \rho  
    \] beziehungsweise im Vakuum
    \[
        \Delta \phi = 0
    \]
\end{satz}
%figure äquipotentiallinien, kästchen mit fluss rein oder raus
Wir berechnen nun $\Delta \phi$ an einem Ort $\neq 0$ im Feld einer Punktladung.
\begin{align*}
    \phi(\vec r) &= \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} &&\text{Potenzial einer Punktladung }\vec r'\\
    \Delta \phi &= \Delta \frac{1}{r}\\
    &= \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\underbrace{\left(r \cdot \frac{1}{r}\right)}_{= \text{const}}\\
    &= 0
\end{align*}
Nun möchten wir $\Delta \phi$ bei der Punktladung berechnen. Wir erhalten
\begin{salign*}
    \int_V \d[3]{r} \Delta \phi &\stackrel{\Delta = \div \nabla}{=} \int_{V} \d[3]{r}\div \nabla \phi\\
    &\stackrel{\text{Gauss}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \nabla \phi\\
    &\stackrel{\text{sph. Symmetrie}}{=} \int_{\partial V} r^2\d{\Omega} \cdot \underbrace{\frac{\partial \phi}{\partial r}}_{-\frac{1}{r^2}}\\
    &= -\int_{\partial V}\d{\Omega}\\
    &= -4\pi
\end{salign*}

Die Gleichung
\[
    \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = -4\pi \delta_D \left|\vec r - \vec r'\right|
\]
kombiniert beide Fälle. Dabei ist $\delta_D$ die Dirac-Funktion.
\section{Dirac $\delta_D$-Funktion}
Möchte man von der Ladungsdichte $\rho(\vec r)$ auf die  Ladung im Volumen $V$ schließen, berechnet man einfach
\[q = \int_V \d[3]{r}\rho(\vec r).\]
In die andere Richtung ist es nicht offensichtlich, hier gilt
\[
    \rho(\vec r) = q\delta_D (\vec r - \vec r')  
\]
wenn $q$ bei $\vec r'$ liegt.
\begin{enumerate}
    \item Für das Potenzial gilt
    \begin{salign*}
        \phi(\vec r) &= \int_V \d[3]{R'} \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'},\quad \rho \to 0.
    \intertext{Dann erhalten wir}
    \Delta \phi &= \int_V \d[3]{r'} \Delta \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}\\
    &= -4\pi  \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \delta_D(\vec r - \vec r')
    \intertext{Es gilt $\int_V \d[3]{r'}\varphi(\vec r') \delta_D(\vec r - \vec r') = \varphi(\vec r)$ und $\int \d[3]{r'} \delta_D(\vec r - \vec r') = 1$}
    &= - 4\pi \rho(\vec r)
    \end{salign*}
    Man kann sich die Dirac $\delta$-Funktion vorstellen als 
    \[
        \lim\limits_{\sigma^2 \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right).
    \]
    \item Für diskrete Ladungen gilt
    \begin{salign*}
        \phi(\vec r) &= \sum_{i} \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
        \Delta \phi(\vec r) &= \sum_{i} q_i \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
        &= \sum_{i} q_i(-4\pi)\delta_D (\vec r - \vec r_i)\\
        &= -4\pi \rho(\vec r)\\
        &= \sum_{i}q_i \delta_D(\vec r - \vec r_i)
    \end{salign*} 
\end{enumerate}
\section{Eigenschaften der Dirac $\delta_D$-Funktion}
\begin{enumerate}
    \item Normierung $\int_-\infty^\infty\d{x} \delta_D(x) = 1$
    \item Verschiebung $\int_{-\infty}^\infty\d{x}\varphi(x) \delta_D(x-a) = \varphi(a)$
    \item Skalierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(ax) = \int_{-\infty}^\infty \d{y}\delta_D(y)$
    \item Ableitung $\int_{-\infty}^\infty \d{x} \varphi(x) \delta_D'(x-a) = \underbrace{\varphi(x) \delta_D(x-a)\bigg|_{-\infty}^{+\infty}}_{\to 0} - \int_{-\infty}^\infty\d{x} \varphi'(x)\delta_D(x-a) = \varphi'(a)$.
\end{enumerate}
\section{Potenzielle Energie einer Ladungsverteilung}
\begin{enumerate}[(1)]
    \item Bei einer Ladung $q_1$ an der Stelle $\vec r_1$ erhalten wir das Potenzial $\phi_1 = \frac{q_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}$.
    \item Nun schieben wir eine Ladung $q_2$ aus dem Unendlichen an die Stelle $\vec r_2$. Dabei verrichten wir eine Arbeit $W_2 = q_2\phi_1(\vec r_2)$.
    \item Wir schieben eine dritte Ladung $q_3$ an die Stelle $\vec r_3$ und verrichten die Arbeit $W_3 = q_3(\phi_1(\vec r_3) + \phi_2(\vec r_3))$.\\
    $\vdots$
    \item[(n)] Schließlich schieben wir die Ladung $q_n$ an die Stelle $\vec r_n$ und verrichten die Arbeit $W_n = q_n\sum_{i = 1}^{n-1} \phi_i(\vec r_n)$  
\end{enumerate}
Als Gesamtenergie ergibt sich daher
\begin{salign*}
    W_\text{ges} &= \sum_{n = 1}^{N} W_n\\
    &= \sum_{n = 1}^{N} q_n \sum_{i = 1}^{n-1}  \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}\\
    &\stackrel{\text{Doppelzählung}}{=} \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_iq_n}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}
\end{salign*}
Gehen wir nun zum Kontinuum über, so erhalten wir
\begin{salign*}
  W &= \frac{1}{2}\int \d[3]{r} \int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r)\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
    &= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot \underbrace{\int \d[3]{4'} \frac{\rho(\vec r)}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{= \phi(\vec r)}\\
    &= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot\phi(\vec r)\\
    &\stackrel{\Delta \phi = -4\pi\rho}{=} - \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} \Delta \phi \cdot \phi
    \intertext{Es gilt die Produktregel $\phi \nabla \phi = \phi \div \nabla \phi = \div (\phi \nabla \phi) - \nabla\phi \cdot \nabla\phi$}
    &= -\frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \div (\phi\nabla \phi) + \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} (\nabla \phi)^2\\
    &= \frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \left|\vec E\right|^2\\
    &= \int \d[3]{r} W_{\mathrm{el}}
\end{salign*}
\begin{definition}[Energiedichte]
    Wir definieren die Energiedichte $W_{\mathrm{el}} = \frac{1}{8\pi} |\vec E|^2$.
\end{definition}
\end{document}