\documentclass{lecture}

\begin{document}

\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}

\section{Elektrisches Feld}

\begin{satz}[Colomb Gesetz]
    Kraft zwischen zwei Ladungen
    \[
        F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
    .\] 
    Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
    $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
    \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.

    Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
\end{satz}

\begin{figure}[h]
    \centering
\begin{tikzpicture}
    \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
    \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Zwei Ladungen}
\end{figure}

\section{Elektrische Feldstärke}

\begin{satz}[Coulomb Kraft]
    \[
        \vec{F} = q \vec{E}
    .\] 
\end{satz}

\begin{satz}[Lorentz Kraft]
    \[
        \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
    .\] 
\end{satz}

\section{Maxwell-Gleichungen}

Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).

\begin{enumerate}[(1)]
    \item
        \begin{salign*}
            \text{div } \vec{E} &= \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^{i} = 4 \pi \rho
            \intertext{Integralform}
            \int_{V}^{} \text{div } \vec{E} \d[3]{x} &\stackrel{\text{Gauß}}{=}
            \int_{\partial V}^{} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underbrace{\Psi}_{\text{elektrischer Fluss}}
            = \int_{V}^{} 4 \pi\rho \d[3]{r}  = \underbrace{4 \pi q}_{\text{Ladung}}
            \intertext{Im Fall von sphärischer Symmetrie gilt}
            \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} &= 4 \pi r^2 | \vec{E}(r) | = 4 \pi q 
            \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}
        .\end{salign*}
    \item
        \begin{salign*}
            \text{div } \vec{B} &= \nabla \times \vec{B} = \partial_i B^{i} = 0
            \intertext{Integralform}
            \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div } \vec{B} &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{B}
            = \underbrace{\Phi}_{\text{magnetischer Fluss}} = 0
        .\end{salign*}
        Es gibt keine magnetische Ladung, es gilt also immer $\rho_m = 0$. Elektromagnetische Dualität.
    \item Faraday-Induktionsgesetz
        \begin{salign*}
            \text{rot } \vec{E} &= \nabla \times \vec{E} = \underbrace{-}_{\text{Lenz-Regel}} \partial_{ct} \vec{B}
            \intertext{Integralform}
            \int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \text{rot } \vec{E}
            &\stackrel{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E}
            = \underbrace{U}_{\text{Spannung}}
            = - \frac{\d}{\d (ct)} \int_{}^{}  \d{\vec{S}} \cdot  \vec{B} = - \frac{\d}{\d (ct)} \Phi 
        .\end{salign*}
    \item Ampère-Gesetz
        \begin{salign*}
            \text{rot } \vec{B} &= \nabla \times \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}
            \intertext{Integralform}
            \int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} &\stackrel{\text{Stokes}}{=}
            \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{B}
            = \frac{\d }{\d ct} \underbrace{\int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E}  }_{\Psi}
            + \frac{4\pi}{c} \underbrace{\int_{}^{}  \d{\vec{S}}  \cdot  \vec{\jmath}}_{I \text{ Strom}}
            \intertext{Im Fall von zylindrischer Symmetrie gilt:}
            \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{B} &=
            4 \pi r | \vec{B}(r)| = \frac{4 \pi}{c} I \implies | \vec{B} | \sim \frac{1}{r}
        .\end{salign*}
\end{enumerate}

\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}

\begin{itemize}
    \item linear ($\to$ Superposition)
    \item partiell
    \item hyperbolisch
    \item Inertialsystem
    \item Überbestimmtheit?
\end{itemize}

\section{Erhaltung aus elektrischer Ladung}

Betrachte Maxwell (1) und (4):

\begin{salign*}
    \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\
    \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }
    \intertext{Damit folgt}
        \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
        \vec{\jmath} \\
        &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
    \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
    \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
.\end{salign*}
In Integralform ergibt sich daraus:
\begin{salign*}
    \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }
    \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 
.\end{salign*}
Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.

\section{Elektromagnetische Dualität}

Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
\begin{enumerate}[(1)]
    \item $\text{div } \vec{E} = 0$
    \item $\text{div } \vec{B} = 0$
    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
\end{enumerate}

Vertauschung $\vec{E} \longrightarrow \vec{B}$, $\vec{B} \longrightarrow - \vec{E}$: Dualität

Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?

\begin{enumerate}[(1)]
    \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
    \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
\end{enumerate}

Es folgt also direkt $\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0$ analog zu \ref{eq:cont}.

\end{document}