\documentclass{lecture}

\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}

\section{Randbedingungen von Feldern auf Oberflächen}
Wir definieren die Oberflächenladung (siehe Abb. \ref{abb:oberflaeche}) als
\[
    \sigma(\vec{r}) \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}
.\] 
\begin{figure}[h]
    \label{abb:oberflaeche}
\tdplotsetmaincoords{70}{110}
\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
    \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
    \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, 0.5) -- cycle ;
    \draw[black, dotted] (-0.5, -0.5, 0) -- (0.5, -0.5, 0) -- (0.5, 0.5, 0) -- (-0.5, 0.5, 0) -- cycle ;
    \node at (0, 0.7, 0) {$\Delta S$};
    \node at (0, -0.2, 0) {$\sigma$};
    \node[blue] at (0, 0.7, 0.5) {$\Delta V$};
    \draw[blue] (-0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5)
        -- cycle;
    \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5);
    \draw[blue] (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5);
    \draw[blue] (0.5, 0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5);
    \draw[blue] (-0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, -0.5);
    \draw[->] (0, 0, -1) node[left]{$E_1^{\perp}$} -- (0, 0, 0) ; 
    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0, 1) node[below left]{$E_2^{\perp}$}; 
\end{tikzpicture}
\centering
\caption{Senkrechte Komponenten eines elektrischen Feldes durch Oberfläche mit Oberflächenladung $\sigma$.}
\end{figure}

Für das Integrationsvolumen betrachten wir die Divergenz des elektrischen Felds:
\begin{salign*}
    \int_{\Delta V}^{}  \d[3]{r} \div \vec{E}
    &\stackrel{\text{Gauß}}{=}
    \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} \\
    &= 4 \pi q \\
    &= 4 \pi \int_{\Delta S}^{}  \d S \cdot \sigma \\
    &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Seiten}}{=} \Delta S ( E_2^{\perp} - E_1^{\perp})
    \intertext{Damit folgt}
    E_2^{\perp} &= E_1^{\perp} + 4 \pi \sigma
.\end{salign*}

\begin{figure}[h]
    \label{abb:oberflaeche-2}
\tdplotsetmaincoords{70}{110}
\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
    \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
    \draw[blue] (0, -0.5, -0.5) -- (0, 0.5, -0.5) -- (0, 0.5, 0.5) -- (0, -0.5, 0.5) -- cycle ;
    \node[blue] at (0, 0.7, -0.3) {$\Delta S$};
    \node[blue] at (0, 0, 0.7) {$\Delta r$};
    \draw[->] (-0.5, -1, -1) node[left]{$\vec{E}_1$} -- (0, 0, 0) ; 
    \draw[dashed] (-0.5, -1, -1) -- (0, -0.8, 0);
    \draw[->] (0, -0.8, 0) node[left]{$E_1^{\parallel}$}-- (0, 0, 0);
    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0.8, 0) node[right]{$E_2^{\parallel}$};
    \draw[dashed] (0, 0.8, 0) -- (0.5, 1, 1);
    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0.5, 1, 1) node[above left]{$\vec{E}_2$}; 
\end{tikzpicture}
\centering
\caption{Parallele Komponenten eines elektrisches Feldes durch Oberfläche.}
\end{figure}

Es liegt Elektrostatik vor. Damit ist $\vec{E} = - \nabla \phi$, also folgt
$\rot \vec{E} = - \rot \nabla \phi = 0$, da die Rotation von Gradientenfeldern verschwindet.

\begin{salign*}
    \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \rot\vec{E}
    &\stackrel{\text{Stokes}}{=} 
    \int_{\partial \Delta S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E} \\
    &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Höhe}}{=}
    \Delta r (E_2^{\parallel} - E_1^{\parallel}) \\
    &= 0
    \intertext{Damit folgt}
    E_2^{\parallel} &= E_1^{\parallel}
.\end{salign*}

Im Vergleich fällt auf, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche einen Sprung macht bei
Durchstoßen der Oberfläche, sobald die Fläche eine Oberflächenladung besitzt. Dahingegen verändert sich 
die parallele Komponente nicht.

\textbf{Wiederholung}

Elektrisches Feld $\vec{E}$ und elektrostatisches Potential $\phi$. Dann ist
\begin{salign*}
    \vec{E}(\vec{r}) &= q_1 \frac{\vec{r} - \vec{r}_1}{| \vec{r} - \vec{r}_1|^{3}}
    \intertext{Bei mehreren Ladungen folgt mit Superpositionsprinzip}
    \vec{E}(\vec{r}) &= \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
    \intertext{Im Kontinuumslimes ergibt sich} 
    \vec{E}(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^{3}}
    \intertext{Aus 3. Maxwell Gleichung folgt im statischen Fall $\rot \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} = 0$,
    d.h. es muss ein Potential $\phi$ geben, mit $\vec{E} = - \nabla \phi$:}
    \vec{E}(\vec{r}) &= - \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \nabla \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
    = - \nabla \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}}_{= \phi(\vec{r})}
    = - \nabla \phi
    \intertext{Aus der 1. Maxwell Gleichung ($\div \vec{E} = 4 \pi \rho$) folgt}
    \div \vec{E} &= - \div \nabla \phi = - \Delta \phi = 4 \pi \rho \qquad \text{(Poisson-Gleichung)}
.\end{salign*}

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben eine Kontinuums-Theorie. Wie können dann Punktladungen
in dieser Theorie beschrieben werden? Für Punktladung an der Stelle $\vec{r}'$ ist
\begin{salign*}
    \rho(\vec{r}) = q \cdot \underbrace{\delta_D (\vec{r} - \vec{r}')}_{\sim \text{Volumen}^{-1}}
.\end{salign*}

Wieso hat die Dirac Funktion die Einheit eines reziproken Volumens? Das folgt aus der Normierung
\begin{align*}
    \int_{}^{}  \d[3]{r} \delta_D | \vec{r} - \vec{r}'| = 1
\end{align*}
woraus direkt
\begin{align*}
    \int_{}^{}  \d[3]{r} \rho{\vec{r}} = q
\end{align*}
folgt.

\textbf{Dirac-Funktion als Kontinuumslimes des Kronecker $\delta$}

\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
\begin{itemize}
    \item $\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij} = 1$
    \item $\sum_{i=a}^{b} \delta_{ij} = \begin{cases}
            1 & \text{falls } a \le j \le b \\
            0 & \text{sonst}
    \end{cases}$
    \item $\sum_{i=1}^{n} \delta _{ij} A^{i} = A_j$
\end{itemize}
\end{minipage}
vs.
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
\begin{itemize}
    \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \delta_D(x - x') = 1$
    \item $\int_{a}^{b}  \d x \delta_D(x - x') = \begin{cases}
            1 & \text{falls }a \le x' \le b \\
            0 & \text{sonst}
        \end{cases}$
    \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \varphi(x) \delta_D(x -x') = \varphi(x')$ (Faltungsintegral)
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[default 2d plot, xtick={1.2}, xticklabels={$x'$}, ytick={1},
            xlabel=$x$, ylabel=$\varphi(x)$, grid=none, minor tick num=0]
            \addplot[domain=0:2,samples=90] {0.5*sin(90*x^2)};
            \draw (1.15, 0) -- (1.15, 0.5) -- (1.25, 0.5) -- (1.25, 0);
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Gestalt der Dirac Funktion}
\end{figure}

Verbindung der kontinuierlichen Welt der Maxwell-Gleichungen mit der Intuition der diskreten Punktladungen.

\begin{salign*}
    \vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
    = - \nabla \sum_{i} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|} = - \nabla \phi(\vec{r})
.\end{salign*}
Wie wird nun $\div \vec{E} = - \nabla \phi$ berechnet?
\begin{salign*}
    \Delta \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}'|} = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}')
.\end{salign*}
Die $\delta_D$ Funktion ist die Kontinuumsbeschreibung von Punktladungen.

\section{Differentialoperatoren und Green-Funktionen}

Nach Poisson-Gleichung ist
\begin{salign*}
    \Delta \phi(\vec{r}) &= - 4 \pi \rho (\vec{r}) \text{, gelöst von } \phi(\vec{r}) = \int_{}^{} 
    \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
    \Delta \phi &= \Delta \int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
    = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
    = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \cdot (-4 \pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho(\vec{r})
.\end{salign*}
Interpretation von links nach rechts: $\Delta \phi = - 4 \pi \rho$: Lokalisierung von Ladungen aus $\phi$
heraus.

\begin{figure}[h]
    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}
            \draw (0,0) circle (2cm);
            \node at (2,2) {$\phi = \text{const}$};
            \foreach \a in {0,60,...,300} {\draw[->] (\a:2) -- (\a:1.5); };
            \draw[fill] (0,0) circle (0.1cm);
        \end{tikzpicture}
        \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho \neq 0 $}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
        \begin{tikzpicture}
            \draw (0,0) .. controls (1.5,1) .. (4,1.5);
            \draw (0,-1) .. controls (1.8,0) .. (4,0) coordinate (line2);
            \node at (4,2) {$\phi = \text{const}$};
            \draw[->] (2.5, 1.3) -- (2.2, 1.9);
            \draw[->] (2.0, 1.1) -- (1.7, 1.7);
            \draw[->] (2.5, 0.1) -- (2.2, 0.7);
            \draw[->] (2.0, -0.1) -- (1.7, 0.5);
        \end{tikzpicture}
        \centering
        \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho = 0$}
    \end{subfigure}
\end{figure}

Interpretation von rechts nach links: Achtung: Gefährlicher Unfug:
\begin{salign*}
    \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad  \mid \Delta^{-1} \text{ ,,inverser Differentialoperator''} \\
    \implies \phi &= \Delta^{-1} \left[ - 4 \pi \rho \right] = \int_{}^{}  \d[3]{r'}
    \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
.\end{salign*}
$\int_{}^{}  \d[3]{r}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \left[ \ldots \right]$ ist die inverse
Operation zu $\Delta [ \ldots ]$. In Worten der Funktionalanalysis heißt dann

$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ die Green-Funktion des Differentialoperators $\Delta$. Für uns
Green-Funktion immer gleich dem Potential einer Punktladung.

\chapter{Potentialtheorie}

Ziel: Lösen von Poisson-Problemen.

\section{Green-Theoreme}

Seien $\varphi, \psi$ zwei skalare Felder. Dann ist
\begin{align*}
    \vec{A}(\vec{r}') &= \varphi(\vec{r}') \cdot \nabla'\psi(\vec{r}')  \\
    \div' A (\vec{r}') &= \nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi + \phi \Delta'\psi \text{ (Produktregel)} \\
    \intertext{Mit Satz von Gauß folgt dann}
    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}'} \cdot \vec{A}(\vec{r}')
    \qquad \d{\vec{S}} = \vec{n} \cdot \d s
.\end{align*}

Damit folgen die Green-Theoreme:

\begin{satz}[1. Green-Theorem]
    \begin{align*}
        \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}')
        = \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div'(\varphi \nabla' \psi)
        &= \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \left[ \nabla'\varphi \cdot \nabla ' \psi + \varphi \Delta'\psi \right]  \\
        &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \varphi \cdot \underbrace{\nabla' \psi \cdot \vec{n}'}_{\frac{\partial \psi}{\partial n'}}
    .\end{align*}
\end{satz}

Vertausche nun $\varphi$ und $\psi$ und subtrahiere zwei Kopien des ersten Green-Theorems. Dabei
fällt $\nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi$ heraus.

\begin{satz}[2. Green-Theorem]
    \begin{align*}
        \int_{V}^{} \d[3]r' \left[ \varphi \cdot \nabla'\psi - \psi \nabla ' \varphi \right]
        = \int_{\partial V}^{}  \d S' \left[ \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n'} \right]
    .\end{align*}
\end{satz}

Nun Anwendung durch Wahl der Felder: $\psi = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$, damit
$\Delta' \psi = - 4 \pi \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')$. Weiter sei
$\varphi = \phi$ Potential, also $\nabla' \phi = - 4 \pi \rho(\vec{r}')$ (Poisson-Gleichung).

Substitution in das 2. Green-Theorem:
\begin{align*}
    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ \underbrace{\phi(\vec{r}')}_{\varphi} \cdot \underbrace{(-4 \pi) \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')}_{\Delta \psi}
    + \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}_{\psi} \underbrace{4 \pi \rho(\vec{r}')}_{\Delta \phi} \Big]
    &= - 4 \pi \phi(\vec{r}) + 4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
    &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \Big[ \phi(\vec{r}') \cdot \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{\partial}{\partial n'} \phi(\vec{r}') \Big]
.\end{align*}

Auflösen nach $\phi$ ergibt

\begin{align*}
    \phi(\vec{r}) =
    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
    + \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V}^{}  \d{S'}
    \Big[ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'} \phi}
        _{ \substack{\text{Neumann-Randbedingung} \\\nabla \phi \text{ auf } \partial V}}
        - \underbrace{\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}
        _{\substack{\text{Dirichlet-Randbedingung} \\ \phi \text{ auf } \partial V}}
        \Big]
.\end{align*}
Falls $\partial V$ unendlich weit weg ist, bleibt nur der erste Term übrig. Bei der Festlegung der
Randbedingungen, darf jeweils auf einem Flächenelement nur eine Neumann-Randbedingung oder eine
Dirichlet-Randbedingung festgelegt werden, da sonst Probleme bezüglich der Bestimmtheit des Potentialproblems
entstehen.

\section{Eindeutigkeit der Potentiale}

Seien $\phi_1, \phi_2$ Potentiale und Lösungen der Poisson-Gleichung,
also
\begin{align*}
    \Delta \phi_1 = - 4\pi\rho = \Delta \phi_2 \implies \Delta (\underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{=u}) = 0
.\end{align*}
Mit 1. Green-Theorem folgt
\begin{align*}
    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Big[ u \underbrace{\Delta' u}_{=0} - (\nabla' u)^2  \Big]
    = \int_{\partial V}^{}  \d{S'} u \frac{\partial u}{\partial u'}
.\end{align*}
Fallunterscheidung nach Wahl der Randbedingung für Potentialproblem:
\begin{itemize}
    \item Neumann-Randbedingungen: $\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = \frac{\partial \phi_2}{\partial n}
        \implies \frac{\partial u}{\partial n} = 0$ auf $\partial V$.
    \item Dirichlet-Randbedingungen: $\phi_1 = \phi_2 \implies u = 0$ auf $\partial V$.
\end{itemize}
Damit verschwindet die rechte Seite immer und es folgt
\begin{align*}
    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \underbrace{(\nabla ' u)^2}_{\ge 0} = 0
.\end{align*}
Also folgt bereits $\nabla' u = 0$, also $\phi_2 = \phi_1 + \text{const}$.
Bei Dirichlet-Randbedingungen folgt damit, wegen $u = 0$ auf $\partial V$, dass $\phi_1 = \phi_2$.

\section{Green-Funktionen}

\begin{align*}
    \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \text{ mit }
    G(\vec{r} - \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + F(\vec{r}, \vec{r}')
.\end{align*}

$F(\vec{r}, \vec{r}')$ hat die Eigenschaft $\Delta F(\vec{r}, \vec{r}') = 0$: Vakuum. Erfüllen
von Randbedingungen (,,Spiegelladungen'').

\begin{align*}
    \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') &= - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad 
    \mid \cdot \rho(\vec{r}), \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \\
    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') \cdot \rho(\vec{r}')
    &= \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \Delta \phi \\
    &= -4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \rho (\vec{r}') \cdot \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho
.\end{align*}

Green-Funktionen sind für lineare Feldgleichungen $\implies$ Superpositionsprinzip.

\end{document}
