\documentclass{lecture}

\begin{document}

\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}

\section{Elektrisches Feld}

\begin{satz}[Coulomb Gesetz]
    Kraft zwischen zwei Ladungen
    \[
        F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
    .\] 
    Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
    $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
    \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.

    Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
\end{satz}

\begin{figure}[h]
    \centering
\begin{tikzpicture}
    \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
    \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Zwei Ladungen}
\end{figure}

\section{Elektrische Feldstärke}

\begin{satz}[Coulomb Kraft]
    \[
        \vec{F} = q \vec{E}
    .\] 
\end{satz}

\begin{satz}[Lorentz Kraft]
    \[
        \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
    .\] 
\end{satz}

\section{Maxwell-Gleichungen}

Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).

\begin{enumerate}[(1)]
        \item $\div \vec{E} = \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^i = 4\pi \rho$. Mithilfe der 1. Maxwell-Gleichung kann aus dem elektrischen Feld die Ladung bestimmt werden oder aus der Ladungsverteilung auf ein elektrisches Feld geschlossen werden.
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \draw (0,0) circle (1.5cm);
                \node[fill = black, shape=circle, label=$\rho > 0$] (q) at (0,0) {}; 
                \foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[->] (\a:1.5) -- (\a:2.5);}
            \end{tikzpicture}
            \caption{Die 1. Maxwell-Gleichung}
        \end{figure}
        \[
            \int_V \d[3]{r} \div \vec{E} \overset{\text{Gauß}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underset{\text{el. Fluss}}{\Psi} = \int_V \d[3]{r} 4\pi \rho = 4\pi q
        \]
        Setzen wir eine sphärische Symmetrie voraus, so erhalten wir
        \[
            \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot |\vec E(r)| = 4\pi q \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}.
        \]
        Damit haben wir also das Coulomb-Gesetz in Zusammenhang zu den Maxwell-Gleichungen gesetzt.
        \item $\div \vec{B} = \nabla \cdot \vec{B} = \partial_i B^i = 0$
        \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \draw (0,0) circle (1.5cm);
                \node[fill=black,label=$\rho_{\mathrm{mag}}\text{?}$, shape=circle] (q) at (0,0) {};
                \draw[->] (-2.5, 0) -- (-1.5, 0);
                \draw[->] (210:2.5) -- (210:1.5);
                \draw[->] (1.5,0) -- (2.5,0);
                \draw[->] (30:1.5) -- (30:2.5);
            \end{tikzpicture}
            \caption{Die 2. Maxwell-Gleichung}
        \end{figure}
        \[
            \d[3]{r} \div \vec{B} = \int_{ \partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} = \underset{\text{mag. Fluß}}{\Phi} = 0
        \]
        Es gibt keine magnetische Ladung (elektromagnetische Dualität)
        \item $\rot \vec{E} = \nabla \times \vec E = -\partial_{ct} \vec B$. Die 3. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Induktionsgesetz von Faraday und stellt eine Verbindung her zwischen magnetischem Fluss durch eine Fläche und induzierter Spannung auf dem Rand der Fläche. Das $-$ auf der rechten Seite führt zur Lenz-Regel.
        \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
                \node (B) at (7,2) {$\vec B, \dot{ \vec{B}} \neq 0$};
                \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
                \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
                \draw[->] (1.9,4) -- (3,4.2);
                \draw[->] (1.1,3.2) -- (1.3,3.9);
                \draw[->] (1.3, 1.4) -- (0.8, 2.3);
                \draw[->] (1.9,1) -- (1, 1.2);
                \node (E) at (2.8,4.5) {$\vec E$};
                \node (S) at (2,1.3) {$S$};
                \node (dS) at (2,.8) {$\d{S}$};
            \end{tikzpicture}
            \caption{Die 3. Maxwell-Gleichung}
        \end{figure}
        \[
            \int_S \d{S} \cdot \rot \vec E \overset{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec E = \underset{\text{Spannung}}{U} = -\underbrace{\frac{\d}{\d{(ct)}}}_{\frac{1}{c}\frac{\d}{\d t}} \int \d{\vec S} \cdot \vec B = -\frac{\d}{\d{(ct)}} \Phi
        \]
        \item $\rot \vec B = \nabla \times \vec B = \partial_{ct} \vec E + \frac{4\pi}{c} \vec \jmath$. Die 4. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Ampere-Gesetz und stellt eine Verbindung her zwischen elektrischen Fluss oder sich änderndem $\vec E$-Feld und einem magnetischen Feld auf dem Rand der Fläche. 
        \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
                \node (E) at (7,2) {$\vec E, \dot{\vec{E}} \neq 0$};
                \node (j) at (7, 3) {$\vec \jmath$};
                \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
                \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
                \draw[->] (1.9,4) -- (.8,3.8);
                \draw[->] (1.1,3.2) -- (.9,2.5);
                \draw[->] (1.1, 1.8) -- (1.6, .9);
                \draw[->] (1.9,1) -- (2.8, .9);
                \node (B) at (1,4.1) {$\vec B$};
                \node (S) at (2,3.8) {$S$};
                \node (dS) at (2,4.2) {$\d{S}$};
            \end{tikzpicture}
            \caption{Die 4. Maxwell-Gleichung}
        \end{figure}
        In integraler Form gilt also
        \[
            \int_S \d{\vec S}\cdot \rot \vec B 
            \overset{\text{Stokes}}{=} 
            \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B 
            = 
            \frac{\d{}}{\d{(ct)}} \int_S \underbrace{\d{\vec S} \cdot \vec E}_{=\Psi} + \frac{4\pi}{c}\underbrace{\int \d{\vec S} \cdot \vec \jmath}_{= I \text{ Strom}}.
        \]
        Setzen wir zylindrische Symmetrie voraus, so erhalten wir
        \[
            \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B = 4\pi r \left|\vec B(r)\right| = \frac{4\pi}{c} I \implies \left|\vec B\right| \sim \frac{1}{r}.
        \]
\end{enumerate}

\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}

\begin{itemize}
    \item Die Maxwell-Gleichungen sind lineare ($\to$ Superposition),
    \item partielle (Ableitungen in $x^i$ und $ct$ $\to \nabla, \partial_{ct}$),
    \item hyperbolische Differenzialgleichungen (wird später noch erklärt).
    \begin{tikzpicture}
        \node (q) at (0,0) {$\rho, \vec \jmath$};
        \node (E) at (3,0) {$\vec E, \vec B$};
        \draw[->] (q) to[out = 30, in=150] node[above] {Quelle} (E);
        \draw[->] (E) to[out = -150, in=-30] node[below] {Lokalisierung} (q);
    \end{tikzpicture}
    \item Die Maxwell-Gleichungen ergeben nur Sinn in einem Bezugssystem, wir legen also ein Inertialsystem fest.
    \item Wir haben 2 $\div$-Gleichungen und 2 $\rot$-Gleichungen, also effektiv $1 + 1 + 3 + 3 = 8$ Gleichungen, wir untersuchen aber nur die Dynamik von $\vec E$- und $\vec B$-Feld ($3 + 3 = 6$ Komponenten). Sind die Maxwell-Gleichungen daher überbestimmt?
\end{itemize}

\section{Erhaltung der elektrischen Ladung}

Betrachte Maxwell (1) und (4):

\begin{salign*}
    \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\
    \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }
    \intertext{Damit folgt}
        \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
        \vec{\jmath} \\
        &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
    \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
    \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
.\end{salign*}
In Integralform ergibt sich daraus:
\begin{salign*}
    \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }
    \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 
.\end{salign*}
Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.

\section{Elektromagnetische Dualität}

Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
\begin{enumerate}[(1)]
    \item $\text{div } \vec{E} = 0$
    \item $\text{div } \vec{B} = 0$
    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
\end{enumerate}
Vertauschen wir $\vec E \to \vec B,\quad \vec B \to -\vec E$, so ändert sich an den Maxwell-Gleichungen im Vakuum nichts (Dualität).
Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?
\begin{enumerate}[(1)]
    \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
    \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
\end{enumerate}
Es folgt also, analog zu \ref{eq:cont}, eine Kontinuitätsgleichung für die magnetische Ladung \[\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0.\]
\end{document}