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  1. \documentclass{lecture}

  2. 

  3. \usepackage{tikz-3dplot}

  4. \begin{document}

  5. 

  6. \section{Randbedingungen von Feldern auf Oberflächen}

  7. Wir definieren die Oberflächenladung (siehe Abb. \ref{abb:oberflaeche}) als

  8. \[

  9.     \sigma(\vec{r}) \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}

  10. .\] 

  11. \begin{figure}[h]

  12.     \label{abb:oberflaeche}

  13. \tdplotsetmaincoords{70}{110}

  14. \begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]

  15.     \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;

  16.     \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, 0.5) -- cycle ;

  17.     \draw[black, dotted] (-0.5, -0.5, 0) -- (0.5, -0.5, 0) -- (0.5, 0.5, 0) -- (-0.5, 0.5, 0) -- cycle ;

  18.     \node at (0, 0.7, 0) {$\Delta S$};

  19.     \node at (0, -0.2, 0) {$\sigma$};

  20.     \node[blue] at (0, 0.7, 0.5) {$\Delta V$};

  21.     \draw[blue] (-0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5)

  22.         -- cycle;

  23.     \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5);

  24.     \draw[blue] (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5);

  25.     \draw[blue] (0.5, 0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5);

  26.     \draw[blue] (-0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, -0.5);

  27.     \draw[->] (0, 0, -1) node[left]{$E_1^{\perp}$} -- (0, 0, 0) ; 

  28.     \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0, 1) node[below left]{$E_2^{\perp}$}; 

  29. \end{tikzpicture}

  30. \centering

  31. \caption{Senkrechte Komponenten eines elektrischen Feldes durch Oberfläche mit Oberflächenladung $\sigma$.}

  32. \end{figure}

  33. 

  34. Für das Integrationsvolumen betrachten wir die Divergenz des elektrischen Felds:

  35. \begin{salign*}

  36.     \int_{\Delta V}^{}  \d[3]{r} \div \vec{E}

  37.     &\stackrel{\text{Gauß}}{=}

  38.     \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} \\

  39.     &= 4 \pi q \\

  40.     &= 4 \pi \int_{\Delta S}^{}  \d S \cdot \sigma \\

  41.     &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Seiten}}{=} \Delta S ( E_2^{\perp} - E_1^{\perp})

  42.     \intertext{Damit folgt}

  43.     E_2^{\perp} &= E_1^{\perp} + 4 \pi \sigma

  44. .\end{salign*}

  45. 

  46. \begin{figure}[h]

  47.     \label{abb:oberflaeche-2}

  48. \tdplotsetmaincoords{70}{110}

  49. \begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]

  50.     \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;

  51.     \draw[blue] (0, -0.5, -0.5) -- (0, 0.5, -0.5) -- (0, 0.5, 0.5) -- (0, -0.5, 0.5) -- cycle ;

  52.     \node[blue] at (0, 0.7, -0.3) {$\Delta S$};

  53.     \node[blue] at (0, 0, 0.7) {$\Delta r$};

  54.     \draw[->] (-0.5, -1, -1) node[left]{$\vec{E}_1$} -- (0, 0, 0) ; 

  55.     \draw[dashed] (-0.5, -1, -1) -- (0, -0.8, 0);

  56.     \draw[->] (0, -0.8, 0) node[left]{$E_1^{\parallel}$}-- (0, 0, 0);

  57.     \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0.8, 0) node[right]{$E_2^{\parallel}$};

  58.     \draw[dashed] (0, 0.8, 0) -- (0.5, 1, 1);

  59.     \draw[->] (0, 0, 0) -- (0.5, 1, 1) node[above left]{$\vec{E}_2$}; 

  60. \end{tikzpicture}

  61. \centering

  62. \caption{Parallele Komponenten eines elektrisches Feldes durch Oberfläche.}

  63. \end{figure}

  64. 

  65. Es liegt Elektrostatik vor. Damit ist $\vec{E} = - \nabla \phi$, also folgt

  66. $\rot \vec{E} = - \rot \nabla \phi = 0$, da die Rotation von Gradientenfeldern verschwindet.

  67. 

  68. \begin{salign*}

  69.     \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \rot\vec{E}

  70.     &\stackrel{\text{Stokes}}{=} 

  71.     \int_{\partial \Delta S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E} \\

  72.     &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Höhe}}{=}

  73.     \Delta r (E_2^{\parallel} - E_1^{\parallel}) \\

  74.     &= 0

  75.     \intertext{Damit folgt}

  76.     E_2^{\parallel} &= E_1^{\parallel}

  77. .\end{salign*}

  78. 

  79. Im Vergleich fällt auf, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche einen Sprung macht bei

  80. Durchstoßen der Oberfläche, sobald die Fläche eine Oberflächenladung besitzt. Dahingegen verändert sich 

  81. die parallele Komponente nicht.

  82. 

  83. \textbf{Wiederholung}

  84. 

  85. Elektrisches Feld $\vec{E}$ und elektrostatisches Potential $\phi$. Dann ist

  86. \begin{salign*}

  87.     \vec{E}(\vec{r}) &= q_1 \frac{\vec{r} - \vec{r}_1}{| \vec{r} - \vec{r}_1|^{3}}

  88.     \intertext{Bei mehreren Ladungen folgt mit Superpositionsprinzip}

  89.     \vec{E}(\vec{r}) &= \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}

  90.     \intertext{Im Kontinuumslimes ergibt sich} 

  91.     \vec{E}(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^{3}}

  92.     \intertext{Aus 3. Maxwell Gleichung folgt im statischen Fall $\rot \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} = 0$,

  93.     d.h. es muss ein Potential $\phi$ geben, mit $\vec{E} = - \nabla \phi$:}

  94.     \vec{E}(\vec{r}) &= - \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \nabla \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}

  95.     = - \nabla \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}}_{= \phi(\vec{r})}

  96.     = - \nabla \phi

  97.     \intertext{Aus der 1. Maxwell Gleichung ($\div \vec{E} = 4 \pi \rho$) folgt}

  98.     \div \vec{E} &= - \div \nabla \phi = - \Delta \phi = 4 \pi \rho \qquad \text{(Poisson-Gleichung)}

  99. .\end{salign*}

  100. 

  101. Die Maxwell-Gleichungen beschreiben eine Kontinuums-Theorie. Wie können dann Punktladungen

  102. in dieser Theorie beschrieben werden? Für Punktladung an der Stelle $\vec{r}'$ ist

  103. \begin{salign*}

  104.     \rho(\vec{r}) = q \cdot \underbrace{\delta_D (\vec{r} - \vec{r}')}_{\sim \text{Volumen}^{-1}}

  105. .\end{salign*}

  106. 

  107. Wieso hat die Dirac Funktion die Einheit eines reziproken Volumens? Das folgt aus der Normierung

  108. \begin{align*}

  109.     \int_{}^{}  \d[3]{r} \delta_D | \vec{r} - \vec{r}'| = 1

  110. \end{align*}

  111. woraus direkt

  112. \begin{align*}

  113.     \int_{}^{}  \d[3]{r} \rho{\vec{r}} = q

  114. \end{align*}

  115. folgt.

  116. 

  117. \textbf{Dirac-Funktion als Kontinuumslimes des Kronecker $\delta$}

  118. 

  119. \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}

  120. \begin{itemize}

  121.     \item $\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij} = 1$

  122.     \item $\sum_{i=a}^{b} \delta_{ij} = \begin{cases}

  123.             1 & \text{falls } a \le j \le b \\

  124.             0 & \text{sonst}

  125.     \end{cases}$

  126.     \item $\sum_{i=1}^{n} \delta _{ij} A^{i} = A_j$

  127. \end{itemize}

  128. \end{minipage}

  129. vs.

  130. \begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}

  131. \begin{itemize}

  132.     \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \delta_D(x - x') = 1$

  133.     \item $\int_{a}^{b}  \d x \delta_D(x - x') = \begin{cases}

  134.             1 & \text{falls }a \le x' \le b \\

  135.             0 & \text{sonst}

  136.         \end{cases}$

  137.     \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \varphi(x) \delta_D(x -x') = \varphi(x')$ (Faltungsintegral)

  138. \end{itemize}

  139. \end{minipage}

  140. 

  141. \begin{figure}[h]

  142.     \centering

  143.     \begin{tikzpicture}

  144.         \begin{axis}[default 2d plot, xtick={1.2}, xticklabels={$x'$}, ytick={1},

  145.             xlabel=$x$, ylabel=$\varphi(x)$, grid=none, minor tick num=0]

  146.             \addplot[domain=0:2,samples=90] {0.5*sin(90*x^2)};

  147.             \draw (1.15, 0) -- (1.15, 0.5) -- (1.25, 0.5) -- (1.25, 0);

  148.         \end{axis}

  149.     \end{tikzpicture}

  150.     \caption{Gestalt der Dirac Funktion}

  151. \end{figure}

  152. 

  153. Verbindung der kontinuierlichen Welt der Maxwell-Gleichungen mit der Intuition der diskreten Punktladungen.

  154. 

  155. \begin{salign*}

  156.     \vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}

  157.     = - \nabla \sum_{i} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|} = - \nabla \phi(\vec{r})

  158. .\end{salign*}

  159. Wie wird nun $\div \vec{E} = - \nabla \phi$ berechnet?

  160. \begin{salign*}

  161.     \Delta \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}'|} = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}')

  162. .\end{salign*}

  163. Die $\delta_D$ Funktion ist die Kontinuumsbeschreibung von Punktladungen.

  164. 

  165. \section{Differentialoperatoren und Green-Funktionen}

  166. 

  167. Nach Poisson-Gleichung ist

  168. \begin{salign*}

  169.     \Delta \phi(\vec{r}) &= - 4 \pi \rho (\vec{r}) \text{, gelöst von } \phi(\vec{r}) = \int_{}^{} 

  170.     \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\

  171.     \Delta \phi &= \Delta \int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|}

  172.     = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}

  173.     = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \cdot (-4 \pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho(\vec{r})

  174. .\end{salign*}

  175. Interpretation von links nach rechts: $\Delta \phi = - 4 \pi \rho$: Lokalisierung von Ladungen aus $\phi$

  176. heraus.

  177. 

  178. \begin{figure}[h]

  179.     \begin{subfigure}{0.5\textwidth}

  180.         \centering

  181.         \begin{tikzpicture}

  182.             \draw (0,0) circle (2cm);

  183.             \node at (2,2) {$\phi = \text{const}$};

  184.             \foreach \a in {0,60,...,300} {\draw[->] (\a:2) -- (\a:1.5); };

  185.             \draw[fill] (0,0) circle (0.1cm);

  186.         \end{tikzpicture}

  187.         \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho \neq 0 $}

  188.     \end{subfigure}

  189.     \begin{subfigure}{0.5\textwidth}

  190.         \begin{tikzpicture}

  191.             \draw (0,0) .. controls (1.5,1) .. (4,1.5);

  192.             \draw (0,-1) .. controls (1.8,0) .. (4,0) coordinate (line2);

  193.             \node at (4,2) {$\phi = \text{const}$};

  194.             \draw[->] (2.5, 1.3) -- (2.2, 1.9);

  195.             \draw[->] (2.0, 1.1) -- (1.7, 1.7);

  196.             \draw[->] (2.5, 0.1) -- (2.2, 0.7);

  197.             \draw[->] (2.0, -0.1) -- (1.7, 0.5);

  198.         \end{tikzpicture}

  199.         \centering

  200.         \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho = 0$}

  201.     \end{subfigure}

  202. \end{figure}

  203. 

  204. Interpretation von rechts nach links: Achtung: Gefährlicher Unfug:

  205. \begin{salign*}

  206.     \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad  \mid \Delta^{-1} \text{ ,,inverser Differentialoperator''} \\

  207.     \implies \phi &= \Delta^{-1} \left[ - 4 \pi \rho \right] = \int_{}^{}  \d[3]{r'}

  208.     \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}

  209. .\end{salign*}

  210. $\int_{}^{}  \d[3]{r}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \left[ \ldots \right]$ ist die inverse

  211. Operation zu $\Delta [ \ldots ]$. In Worten der Funktionalanalysis heißt dann

  212. 

  213. $\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ die Green-Funktion des Differentialoperators $\Delta$. Für uns

  214. Green-Funktion immer gleich dem Potential einer Punktladung.

  215. 

  216. \chapter{Potentialtheorie}

  217. 

  218. Ziel: Lösen von Poisson-Problemen.

  219. 

  220. \section{Green-Theoreme}

  221. 

  222. Seien $\varphi, \psi$ zwei skalare Felder. Dann ist

  223. \begin{align*}

  224.     \vec{A}(\vec{r}') &= \varphi(\vec{r}') \cdot \nabla'\psi(\vec{r}')  \\

  225.     \div' A (\vec{r}') &= \nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi + \phi \Delta'\psi \text{ (Produktregel)} \\

  226.     \intertext{Mit Satz von Gauß folgt dann}

  227.     \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}'} \cdot \vec{A}(\vec{r}')

  228.     \qquad \d{\vec{S}} = \vec{n} \cdot \d s

  229. .\end{align*}

  230. 

  231. Damit folgen die Green-Theoreme:

  232. 

  233. \begin{satz}[1. Green-Theorem]

  234.     \begin{align*}

  235.         \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}')

  236.         = \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div'(\varphi \nabla' \psi)

  237.         &= \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \left[ \nabla'\varphi \cdot \nabla ' \psi + \varphi \Delta'\psi \right]  \\

  238.         &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \varphi \cdot \underbrace{\nabla' \psi \cdot \vec{n}'}_{\frac{\partial \psi}{\partial n'}}

  239.     .\end{align*}

  240. \end{satz}

  241. 

  242. Vertausche nun $\varphi$ und $\psi$ und subtrahiere zwei Kopien des ersten Green-Theorems. Dabei

  243. fällt $\nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi$ heraus.

  244. 

  245. \begin{satz}[2. Green-Theorem]

  246.     \begin{align*}

  247.         \int_{V}^{} \d[3]r' \left[ \varphi \cdot \nabla'\psi - \psi \nabla ' \varphi \right]

  248.         = \int_{\partial V}^{}  \d S' \left[ \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n'} \right]

  249.     .\end{align*}

  250. \end{satz}

  251. 

  252. Nun Anwendung durch Wahl der Felder: $\psi = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$, damit

  253. $\Delta' \psi = - 4 \pi \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')$. Weiter sei

  254. $\varphi = \phi$ Potential, also $\nabla' \phi = - 4 \pi \rho(\vec{r}')$ (Poisson-Gleichung).

  255. 

  256. Substitution in das 2. Green-Theorem:

  257. \begin{align*}

  258.     \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ \underbrace{\phi(\vec{r}')}_{\varphi} \cdot \underbrace{(-4 \pi) \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')}_{\Delta \psi}

  259.     + \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}_{\psi} \underbrace{4 \pi \rho(\vec{r}')}_{\Delta \phi} \Big]

  260.     &= - 4 \pi \phi(\vec{r}) + 4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\

  261.     &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \Big[ \phi(\vec{r}') \cdot \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{\partial}{\partial n'} \phi(\vec{r}') \Big]

  262. .\end{align*}

  263. 

  264. Auflösen nach $\phi$ ergibt

  265. 

  266. \begin{align*}

  267.     \phi(\vec{r}) =

  268.     \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}

  269.     + \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V}^{}  \d{S'}

  270.     \Big[ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'} \phi}

  271.         _{ \substack{\text{Neumann-Randbedingung} \\\nabla \phi \text{ auf } \partial V}}

  272.         - \underbrace{\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}

  273.         _{\substack{\text{Dirichlet-Randbedingung} \\ \phi \text{ auf } \partial V}}

  274.         \Big]

  275. .\end{align*}

  276. Falls $\partial V$ unendlich weit weg ist, bleibt nur der erste Term übrig. Bei der Festlegung der

  277. Randbedingungen, darf jeweils auf einem Flächenelement nur eine Neumann-Randbedingung oder eine

  278. Dirichlet-Randbedingung festgelegt werden, da sonst Probleme bezüglich der Bestimmtheit des Potentialproblems

  279. entstehen.

  280. 

  281. \section{Eindeutigkeit der Potentiale}

  282. 

  283. Seien $\phi_1, \phi_2$ Potentiale und Lösungen der Poisson-Gleichung,

  284. also

  285. \begin{align*}

  286.     \Delta \phi_1 = - 4\pi\rho = \Delta \phi_2 \implies \Delta (\underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{=u}) = 0

  287. .\end{align*}

  288. Mit 1. Green-Theorem folgt

  289. \begin{align*}

  290.     \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Big[ u \underbrace{\Delta' u}_{=0} - (\nabla' u)^2  \Big]

  291.     = \int_{\partial V}^{}  \d{S'} u \frac{\partial u}{\partial u'}

  292. .\end{align*}

  293. Fallunterscheidung nach Wahl der Randbedingung für Potentialproblem:

  294. \begin{itemize}

  295.     \item Neumann-Randbedingungen: $\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = \frac{\partial \phi_2}{\partial n}

  296.         \implies \frac{\partial u}{\partial n} = 0$ auf $\partial V$.

  297.     \item Dirichlet-Randbedingungen: $\phi_1 = \phi_2 \implies u = 0$ auf $\partial V$.

  298. \end{itemize}

  299. Damit verschwindet die rechte Seite immer und es folgt

  300. \begin{align*}

  301.     \int_{V}^{} \d[3]{r'} \underbrace{(\nabla ' u)^2}_{\ge 0} = 0

  302. .\end{align*}

  303. Also folgt bereits $\nabla' u = 0$, also $\phi_2 = \phi_1 + \text{const}$.

  304. Bei Dirichlet-Randbedingungen folgt damit, wegen $u = 0$ auf $\partial V$, dass $\phi_1 = \phi_2$.

  305. 

  306. \section{Green-Funktionen}

  307. 

  308. \begin{align*}

  309.     \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \text{ mit }

  310.     G(\vec{r} - \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + F(\vec{r}, \vec{r}')

  311. .\end{align*}

  312. 

  313. $F(\vec{r}, \vec{r}')$ hat die Eigenschaft $\Delta F(\vec{r}, \vec{r}') = 0$: Vakuum. Erfüllen

  314. von Randbedingungen (,,Spiegelladungen'').

  315. 

  316. \begin{align*}

  317.     \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') &= - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad 

  318.     \mid \cdot \rho(\vec{r}), \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \\

  319.     \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') \cdot \rho(\vec{r}')

  320.     &= \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \Delta \phi \\

  321.     &= -4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \rho (\vec{r}') \cdot \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho

  322. .\end{align*}

  323. 

  324. Green-Funktionen sind für lineare Feldgleichungen $\implies$ Superpositionsprinzip.

  325. 

  326. \end{document}