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  1. \documentclass{lecture}

  2. 

  3. \begin{document}

  4. 

  5. \chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}

  6. 

  7. \section{Elektrisches Feld}

  8. 

  9. \begin{satz}[Coulomb Gesetz]

  10.     Kraft zwischen zwei Ladungen

  11.     \[

  12.         F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}

  13.     .\] 

  14.     Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit

  15.     $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}

  16.     \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.

  17. 

  18.     Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.

  19. \end{satz}

  20. 

  21. \begin{figure}[h]

  22.     \centering

  23. \begin{tikzpicture}

  24.     \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};

  25.     \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};

  26. \end{tikzpicture}

  27. \caption{Zwei Ladungen}

  28. \end{figure}

  29. 

  30. \section{Elektrische Feldstärke}

  31. 

  32. \begin{satz}[Coulomb Kraft]

  33.     \[

  34.         \vec{F} = q \vec{E}

  35.     .\] 

  36. \end{satz}

  37. 

  38. \begin{satz}[Lorentz Kraft]

  39.     \[

  40.         \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}

  41.     .\] 

  42. \end{satz}

  43. 

  44. \section{Maxwell-Gleichungen}

  45. 

  46. Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern

  47. $\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$

  48. in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).

  49. 

  50. \begin{enumerate}[(1)]

  51.         \item $\div \vec{E} = \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^i = 4\pi \rho$. Mithilfe der 1. Maxwell-Gleichung kann aus dem elektrischen Feld die Ladung bestimmt werden oder aus der Ladungsverteilung auf ein elektrisches Feld geschlossen werden.

  52.         \begin{figure}[h]

  53.             \centering

  54.             \begin{tikzpicture}

  55.                 \draw (0,0) circle (1.5cm);

  56.                 \node[fill = black, shape=circle, label=$\rho > 0$] (q) at (0,0) {}; 

  57.                 \foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[->] (\a:1.5) -- (\a:2.5);}

  58.             \end{tikzpicture}

  59.             \caption{Die 1. Maxwell-Gleichung}

  60.         \end{figure}

  61.         \[

  62.             \int_V \d[3]{r} \div \vec{E} \overset{\text{Gauß}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underset{\text{el. Fluss}}{\Psi} = \int_V \d[3]{r} 4\pi \rho = 4\pi q

  63.         \]

  64.         Setzen wir eine sphärische Symmetrie voraus, so erhalten wir

  65.         \[

  66.             \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot |\vec E(r)| = 4\pi q \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}.

  67.         \]

  68.         Damit haben wir also das Coulomb-Gesetz in Zusammenhang zu den Maxwell-Gleichungen gesetzt.

  69.         \item $\div \vec{B} = \nabla \times \vec{B} = \partial_i B^i = 0$

  70.         \begin{figure}[ht]

  71.             \centering

  72.             \begin{tikzpicture}

  73.                 \draw (0,0) circle (1.5cm);

  74.                 \node[fill=black,label=$\rho_{\mathrm{mag}}\text{?}$, shape=circle] (q) at (0,0) {};

  75.                 \draw[->] (-2.5, 0) -- (-1.5, 0);

  76.                 \draw[->] (210:2.5) -- (210:1.5);

  77.                 \draw[->] (1.5,0) -- (2.5,0);

  78.                 \draw[->] (30:1.5) -- (30:2.5);

  79.             \end{tikzpicture}

  80.             \caption{Die 2. Maxwell-Gleichung}

  81.         \end{figure}

  82.         \[

  83.             \d[3]{r} \div \vec{B} = \int_{ \partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} = \underset{\text{mag. Fluß}}{\Phi} = 0

  84.         \]

  85.         Es gibt keine magnetische Ladung (elektromagnetische Dualität)

  86.         \item $\rot \vec{E} = \nabla \times \vec E = -\partial_{ct} \vec B$. Die 3. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Induktionsgesetz von Faraday und stellt eine Verbindung her zwischen magnetischem Fluss durch eine Fläche und induzierter Spannung auf dem Rand der Fläche. Das $-$ auf der rechten Seite führt zur Lenz-Regel.

  87.         \begin{figure}[ht]

  88.             \centering

  89.             \begin{tikzpicture}

  90.                 \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}

  91.                 \node (B) at (7,2) {$\vec B, \dot{ \vec{B}} \neq 0$};

  92.                 \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);

  93.                 \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);

  94.                 \draw[->] (1.9,4) -- (3,4.2);

  95.                 \draw[->] (1.1,3.2) -- (1.3,3.9);

  96.                 \draw[->] (1.3, 1.4) -- (0.8, 2.3);

  97.                 \draw[->] (1.9,1) -- (1, 1.2);

  98.                 \node (E) at (2.8,4.5) {$\vec E$};

  99.                 \node (S) at (2,1.3) {$S$};

  100.                 \node (dS) at (2,.8) {$\d{S}$};

  101.             \end{tikzpicture}

  102.             \caption{Die 3. Maxwell-Gleichung}

  103.         \end{figure}

  104.         \[

  105.             \int_S \d{S} \cdot \rot \vec E \overset{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec E = \underset{\text{Spannung}}{U} = -\underbrace{\frac{\d}{\d{(ct)}}}_{\frac{1}{c}\frac{\d}{\d t}} \int \d{\vec S} \cdot \vec B = -\frac{\d}{\d{(ct)}} \Phi

  106.         \]

  107.         \item $\rot \vec B = \nabla \times \vec B = \partial_{ct} \vec E + \frac{4\pi}{c} \vec \jmath$. Die 4. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Ampere-Gesetz und stellt eine Verbindung her zwischen elektrischen Fluss oder sich änderndem $\vec E$-Feld und einem magnetischen Feld auf dem Rand der Fläche. 

  108.         \begin{figure}[ht]

  109.             \centering

  110.             \begin{tikzpicture}

  111.                 \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}

  112.                 \node (E) at (7,2) {$\vec E, \dot{\vec{E}} \neq 0$};

  113.                 \node (j) at (7, 3) {$\vec \jmath$};

  114.                 \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);

  115.                 \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);

  116.                 \draw[->] (1.9,4) -- (.8,3.8);

  117.                 \draw[->] (1.1,3.2) -- (.9,2.5);

  118.                 \draw[->] (1.1, 1.8) -- (1.6, .9);

  119.                 \draw[->] (1.9,1) -- (2.8, .9);

  120.                 \node (B) at (1,4.1) {$\vec B$};

  121.                 \node (S) at (2,3.8) {$S$};

  122.                 \node (dS) at (2,4.2) {$\d{S}$};

  123.             \end{tikzpicture}

  124.             \caption{Die 4. Maxwell-Gleichung}

  125.         \end{figure}

  126.         In integraler Form gilt also

  127.         \[

  128.             \int_S \d{\vec S}\cdot \rot \vec B 

  129.             \overset{\text{Stokes}}{=} 

  130.             \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B 

  131.             = 

  132.             \frac{\d{}}{\d{(ct)}} \int_S \underbrace{\d{\vec S} \cdot \vec E}_{=\Psi} + \frac{4\pi}{c}\underbrace{\int \d{\vec S} \cdot \vec \jmath}_{= I \text{ Strom}}.

  133.         \]

  134.         Setzen wir zylindrische Symmetrie voraus, so erhalten wir

  135.         \[

  136.             \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B = 4\pi r \left|\vec B(r)\right| = \frac{4\pi}{c} I \implies \left|\vec B\right| \sim \frac{1}{r}.

  137.         \]

  138. \end{enumerate}

  139. 

  140. \section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}

  141. 

  142. \begin{itemize}

  143.     \item Die Maxwell-Gleichungen sind lineare ($\to$ Superposition),

  144.     \item partielle (Ableitungen in $x^i$ und $ct$ $\to \nabla, \partial_{ct}$),

  145.     \item hyperbolische Differenzialgleichungen (wird später noch erklärt).

  146.     \begin{tikzpicture}

  147.         \node (q) at (0,0) {$\rho, \vec \jmath$};

  148.         \node (E) at (3,0) {$\vec E, \vec B$};

  149.         \draw[->] (q) to[out = 30, in=150] node[above] {Quelle} (E);

  150.         \draw[->] (E) to[out = -150, in=-30] node[below] {Lokalisierung} (q);

  151.     \end{tikzpicture}

  152.     \item Die Maxwell-Gleichungen ergeben nur Sinn in einem Bezugssystem, wir legen also ein Inertialsystem fest.

  153.     \item Wir haben 2 $\div$-Gleichungen und 2 $\rot$-Gleichungen, also effektiv $1 + 1 + 3 + 3 = 8$ Gleichungen, wir untersuchen aber nur die Dynamik von $\vec E$- und $\vec B$-Feld ($3 + 3 = 6$ Komponenten). Sind die Maxwell-Gleichungen daher überbestimmt?

  154. \end{itemize}

  155. 

  156. \section{Erhaltung der elektrischen Ladung}

  157. 

  158. Betrachte Maxwell (1) und (4):

  159. 

  160. \begin{salign*}

  161.     \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\

  162.     \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }

  163.     \intertext{Damit folgt}

  164.         \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }

  165.         \vec{\jmath} \\

  166.         &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}

  167.     \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}

  168.     \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}

  169. .\end{salign*}

  170. In Integralform ergibt sich daraus:

  171. \begin{salign*}

  172.     \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }

  173.     \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 

  174. .\end{salign*}

  175. Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.

  176. 

  177. \section{Elektromagnetische Dualität}

  178. 

  179. Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt

  180. \begin{enumerate}[(1)]

  181.     \item $\text{div } \vec{E} = 0$

  182.     \item $\text{div } \vec{B} = 0$

  183.     \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$

  184.     \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$

  185. \end{enumerate}

  186. Vertauschen wir $\vec E \to \vec B,\quad \vec B \to -\vec E$, so ändert sich an den Maxwell-Gleichungen im Vakuum nichts (Dualität).

  187. Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?

  188. \begin{enumerate}[(1)]

  189.     \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$

  190.     \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$

  191.     \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$

  192.     \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$

  193. \end{enumerate}

  194. Es folgt also, analog zu \ref{eq:cont}, eine Kontinuitätsgleichung für die magnetische Ladung \[\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0.\]

  195. \end{document}