\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 8}
\author{Miriam Philipp, Dominik Daniel, Christian Merten}

\begin{document}

\punkte[28]

\begin{aufgabe}
Seien $R$ ein Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und $f\colon M \to N$ $R$-Modulhom.
    Beh.: Folgende Aussagen sind äquivalent
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $f$ ist $R$-Mod.iso
        \item Für alle $R$-Moduln $L$ ist die Abbildung
            \begin{align*}
                \text{Hom}_R(L,M) &\to \text{Hom}_R(L,N) \\
                g &\mapsto f \circ g
            .\end{align*}
            bijektiv.
    \end{enumerate}
    \begin{proof}
        \begin{itemize}
            \item (i) $\implies$ (ii): $\varphi$ bezeichne die gegebene Abbildung.
                Sei $f$ $R$-Mod.iso. und $g_1, g_2 \in \text{Hom}_R(L,M)$
                mit $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$. Da $f$ Iso. ex. ein $f^{-1}\colon N \to M$. Damit folgt
                \[
                    \varphi(g_1) = \varphi(g_2) \implies f \circ g_1 = f \circ g_2
                    \implies f^{-1} \circ f \circ g_1 = f^{-1} \circ f \circ g_2 \implies g_1 = g_2
                .\] Also $\varphi$ injektiv.

                Sei nun $h \in \text{Hom}_R(L,N)$ beliebig. Wähle $g = f^{-1} \circ h$. Damit folgt
                \[
                    \varphi(g) = \varphi(f^{-1} \circ h) = f \circ f^{-1} \circ h = h
                .\] Also $\varphi$ surjektiv und damit bijektiv.
            \item (ii) $\implies$ (i): Mit $L = N$ folgt
                $\varphi \colon \text{Hom}_R(N,M) \to \text{Hom}_R(N,N)$ bijektiv. Also ex.
                $\varphi^{-1}$. Definiere $h \coloneqq \varphi^{-1}(\text{id}_N)$. Damit folgt
                $\varphi(h) = f \circ h = \text{id}_N$.

                Setze nun $L = M$. Dann folgt $\psi \colon  \text{Hom}_R(M,M) \to \text{Hom}_R(M,N)$
                bijektiv. Es ist dann $\psi(\text{id}_M) = f \circ \text{id}_M = f$. Damit folgt
                \[
                    \psi(h \circ f) = \underbrace{f \circ h}_{\text{id}_N} \circ f
                    = f = \psi(\text{id}_M)
                .\] Da $\psi$ injektiv, folgt $h \circ f = \text{id}_M$.

                Insgesamt folgt mit $f^{-1} \coloneqq h$, $f$ bijektiv und damit Iso.
        \end{itemize}
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $\Q \otimes_\Z \Z / 2 \Z = 0$.
            \begin{proof}
                Es ist nach VL:
                \[
                \Q \otimes_\Z \Z / 2 \Z \stackrel{\sim }{=} \Z / 2 \Z \otimes_\Z \Q
                \stackrel{\sim }{=} \Q / (2 \Z) \Q
            .\] Aber $(2 \Z) \Q = \Q$, denn $(2 \Z) \Q \subseteq \Q$ klar und $\Q \subseteq (2 \Z) \Q$, denn
            für $q \in \Q$ ist $q = 2 \cdot \frac{1}{2} q \in (2 \Z) \Q$. Also
            $\Q / (2 \Z) \Q = 0$. Damit folgt die Beh.
            \end{proof}
        \item Beh.: $2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \stackrel{\sim }{=} \Z / 2 \Z$.
            \begin{proof}
                Es ist nach VL:
                \[
                2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \stackrel{\sim }{=} \Z / 2 \Z \otimes_\Z 2 \Z
                \stackrel{\sim }{=} 2 \Z / (2 \Z 2 \Z)
                \]
                Es ist $2\Z 2 \Z = (4) = 4 \Z$ also $2 \Z / (2 \Z 2 \Z) = 2 \Z / 4 \Z$. Weiter ist
                $\Z / 2 \Z \stackrel{\sim }{=} 2 \Z / 4 \Z$, denn
                \[
                    \#\{2 \Z / 4 \Z\} = \# \{ \ldots,  0 + 4 \Z, 2 + 4 \Z, \underbrace{4 + 4 \Z}_{0 + 4\Z}, \ldots \} = 2 = \#\{ \Z / 2 \Z\} 
                .\]
            \end{proof}
        \item Beh.: $2 \otimes 1 = 0$ in $\Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z$, aber $2 \otimes 1 \neq 0$ in
            $2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z$.
            \begin{proof}
                Es ist $\Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \ni 2 \otimes \overline{1} = (2 \cdot 1) \otimes \overline{1} = 
                1 \otimes (2 \cdot \overline{1}) = 1 \otimes \overline{0} = 0$.

                Definiere $\beta\colon 2 \Z \otimes \Z / 2\Z \to  \Z / 2\Z$, $(a, \overline{b})
                \mapsto \overline{\frac{a}{2} b}$.
                $\beta$ ist wohldefiniert, da $\forall a \in 2 \Z$ ist $\frac{a}{2} \in \Z$. Außerdem
                $\beta$ bilinear. Wende (UT) auf $\Z / 2\Z$ und $\beta$ an. Erhalte
                einen $\Z$-Mod.hom $f\colon 2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \to \Z / 2\Z$ mit
                $f \circ \tau = \beta$. Ang.: $2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \ni 2 \otimes \overline{1} = 0$. Dann
                folgt
                \[
                    f(\tau(2, \overline{1})) = f(2 \otimes \overline{1}) = f(0) = \overline{0}
                    \neq \overline{1} = \beta(2, \overline{1}) \quad \contr
                .\] Also $2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \ni 2 \otimes \overline{1} \neq 0$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Sei $R$ ein Ring, $I \subseteq R$ Ideal und $M$ $R$-Modul.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Es gibt einen eindeutigen surjektiven $R$-Mod.hom. $f\colon I \otimes_R M \to IM$
            mit $f(a \otimes m) = am$ für $a \in I, m \in M$.
            \begin{proof}
                Definiere $\beta\colon I \times M \to IM$, $(a,m) \mapsto am$. $\beta$ bilinear. Mit
                (UT) angewendet auf $IM$ und $\beta$, existiert genau ein $R$-Mod.hom.
                $f\colon I \otimes_R M \to IM$
                mit $f \circ \tau = \beta$. Damit folgt für $a \in I$, $m \in M$:
                \[
                    f(a \otimes m) = f(\tau(a,m)) = \beta(a, m) = am
                .\] 

                Sei nun $m \in IM$ beliebig. Dann ex. $a_i \in I$, $m_i \in M$ mit
                \begin{salign*}
                    m &= \sum_{i=1}^{n} a_i m_i \\
                    &= \sum_{i=1}^{n} f(a_i \otimes m_i) \\
                    &\stackrel{f \ R\text{-Hom.}}{=}
                    f\underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i \otimes m_i \right)}_{\coloneqq \xi \in I \otimes_R M} \\
                    &= f(\xi)
                .\end{salign*}
                Also $f$ surjektiv.
            \end{proof}
        \item Beh.: $f$ aus Teil (a) ist i.A. nicht injektiv.
            \begin{proof}
                Mit $R = \Z$, $I = 2 \Z$ und $M = \Z / 2 \Z$ folgt
                \[
                    f \colon 2 \Z \otimes_{\Z} \Z / 2 \Z \to 2 \Z \left( \Z / 2\Z \right) = 0
                ,\] aber mit 29(b) ist $2 \Z \otimes_\Z \Z / 2 \Z \stackrel{\sim }{=}  \Z / 2 \Z \neq 0$.
                Damit ist $f$ nicht injektiv.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Sei $K$ Kp, $V$ e.d. $K$-VR. und $f, g \in \text{End}_K(V)$. Seien $\lambda \in K$ EW von $f$
    und $\mu \in K$ EW von $g$.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: Für $v, w \in V \setminus \{0\}$ gilt $v \otimes w \neq 0$ in $V \otimes_K V$.
            \begin{proof}
                Seien $v, w \in V \setminus \{0\} $. Da $V$ VR. und $v \neq 0 \neq w$,
                ergänze $v$ zu Basis $(v_i)_{i \in I}$ und
                w zu Basis $(w_i)_{i \in I}$ mit $v = v_1$ und $w = w_1$.
                Dann definiere
                \begin{align*}
                    \beta\colon V \times V &\to K \\
                    (x,y) = \left( \sum_{i \in I} \alpha_i v_i, \sum_{i \in I} \beta_i w_i\right)
                    &\mapsto \sum_{i \in I} \alpha_i \cdot \sum_{i \in I} \beta_i
                .\end{align*}
                Da $(v_i)_{i \in I}$ und $(w_i)_{i \in I}$ Basen, sind die Darstellungen
                eindeutig und damit $\beta$ wohldefiniert. Außerdem $\beta$ bilinear, denn
                $\forall x, y, z \in V$ und $\lambda \in K$ gilt
                \begin{salign*}
                    \beta(\lambda x + y, z) &= \beta\left( \sum_{i \in I} (\lambda \alpha_i + \beta_i) v_i,
                    \sum_{i \in I}^{} \gamma_i w_i\right) \\
                    &= \sum_{i \in I}^{} (\lambda \alpha_i + \beta_i) \cdot \sum_{i \in I} \gamma_i \\
                    &= \lambda \sum_{i \in I}^{} \alpha_i \sum_{i \in I} \gamma_i
                    + \sum_{i \in I} \beta_i \sum_{i \in I}^{} \gamma_i \\
                    &= \lambda \beta(x, z) + \beta(y,z)
                .\end{salign*}
                Für zweites Argument analog. Weiter ist
                $v = 1 \cdot v_1$ und $w = 1\cdot w_1$, also $\beta(v,w) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 0$.

                Mit (UT) angewendet auf $\beta$ und $K$, existiert ein $R$-Mod.hom.
                $f\colon V \otimes_K V \to K$. mit $f \circ \tau = \beta$. Ang.: $v \otimes w = 0$. Dann
                ist $f(\tau(v \otimes w)) = f(v \otimes w) = f(0) = 0 \neq 1 = \beta(v, w)$.
                Also $v \otimes w \neq 0$.
            \end{proof}
        \item Beh.: $\lambda \mu$ ist EW von $f \otimes g \in \text{End}_K(V \otimes_K V)$.
            \begin{proof}
                Sei $v$ EV von $f$ bezügl. $\lambda$ und $w$ EV von $g$ bezügl. $\mu$. Dann gilt
                \begin{salign*}
                    (f \otimes g)(v \otimes w) &= f(v) \otimes g(w) \\
                                               &= \lambda v \otimes \mu w \\
                                               &= \lambda \mu (v \otimes w)
                .\end{salign*}
                Da $v, w$ EV sind $v \neq 0 \neq w$, also wegen (a) auch $v \otimes w \neq 0$ und damit EV von
                $f \otimes g$ zu $\lambda \mu$. Also insbes. $\lambda \mu$ EW von $f \otimes g$.
            \end{proof}
        \item Beh.: $\lambda + \mu$ ist EW von $f \otimes \text{id}_V + \text{id}_V \otimes g \in \text{End}_K(V \otimes_K V)$.
            \begin{proof}
                Sei $v$ EV von $f$ bezügl. $\lambda$ und $w$ EV von $g$ bezügl. $\mu$. Dann gilt
                \begin{salign*}
                    (f \otimes \text{id}_V + \text{id}_V \otimes g)(v \otimes w)
                    &= (f \otimes \text{id}_V)( v \otimes w) + (\text{id}_V \otimes g)( v \otimes w) \\
                    &= f(v) \otimes \text{id}_V(w) + \text{id}_V(v) \otimes g(w) \\
                    &= \lambda v \otimes w + v \otimes \mu w \\
                    &= (\lambda + \mu) (v \otimes w)
                .\end{salign*}
                Da $v, w$ EV sind $v \neq 0 \neq w$, also wegen (a) auch $v \otimes w \neq 0$ und damit EV von
                $f \otimes \text{id}_V + \text{id}_V \otimes g$ zu $\lambda + \mu$.
                Also insbes. $\lambda + \mu$ EW von $f \otimes \text{id}_V + \text{id}_V \otimes g$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
