\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

Folgerung: Sei $f\colon D \to \R$ stetig in $a \in D$ und $f(a) \neq 0$. Dann $\exists \delta > 0$
mit $f(x) \neq 0$ für alle $x \in D \cap ]a-\delta, a + \delta[$, d.h.
es ex. Umgebungen von $a$, s.d. $f(x) \neq 0$ für alle Punkte
in dieser Umgebung.

\begin{proof}
    Wähle $\epsilon := \frac{|f(a)|}{4} > 0$. Dann $\exists \delta > 0$
    mit $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ $\forall x \in D$ 
    mit $|x - a| < \delta$. \\
    \[
        \implies |f(x)| \ge |f(a)| - |\underbrace{f(x)-f(a)}_{< \epsilon}| > |f(a)| - \frac{|f(a)|}{4} = \frac{3}{4} |f(a)| > 0 
    .\] $\forall x \in D$ mit $|x - a| < \delta$
\end{proof}

\begin{satz}
    \begin{enumerate}
        \item Es sei $f, g: D \to \R$ stetig in $a \in D$. Dann
            sind $\lambda f + \mu g$ $\forall \lambda, \mu \in \R$, $f\cdot g$ und falls
            $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$ $\frac{f}{g}$ stetig in $a$.
        \item  Sei $f$ stetig in $a \in D$ mit $f(D) \subset \overline{D} \subset \R$
            und $h\colon \overline{D} \to \R$ stetig in $f(a)$. Dann
            ist die Komposition $(h\circ f)\colon D \to R, (h\circ f)(x) := h(f(x))$
            stetig in $a$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
        \item folgt aus Rechenregeln für konvergente Folgen. z.B.: $(x_n)_{n \in \N}$ eine
            Folge in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Dann
            \[
            (f+g)(a) = \lim_{n \to \infty} (f+g)(x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) + \lim_{n \to \infty} g(x_n)
            = f(a) + g(a)
            .\] 
        \item Sei $(x_n)_{n\in\N}$ Folge in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Dann:
            \[
                \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{y_n := f(x_n)} = b =: f(a)
            .\] $(y_n)_{n\in\N}$ Folge in $\overline{D}$. Aus Stetigkeit von $h$ in $b$ folgt:
            \[
                \lim_{n \to \infty} h(y_n) = h(b) \implies \lim_{n \to \infty} \underbrace{h(f(x_n))}_{(h \circ f)(x_n)} = h(f(a))
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item Alle Polynome
            \[
                f(x) := \sum_{k=0}^{n} a_k x^{k}
            .\] sind stetig in $\R$.
        \item Rationale Funktionen $\frac{f}{g}$ mit Polynomen
            $f, g$ $(g \neq 0)$ sind stetig in $D := \{x \in \R  \mid g(x) \neq 0\} $.
        \item $f$ stetig in $D$, dann ist auch $|f|\colon D \to \R$
            stetig, als Komposition: $(|\cdot | \circ f)(x)$.
        \item Heaviside Funktion ist stetig $\forall x \in R \setminus \{0\} $.
        \item Dirichlet-Funktion $f\colon \R \to \R$
            \[
                f(x) = \begin{cases}
                    1 & x \in \Q \\
                    0 & x \in \R \setminus \Q
                \end{cases}
            .\] ist in keinem Punkt stetig.
            \begin{proof}
                Sei $a \in \Q$. Es existiert eine Folge
                \[
                x_n := a + \frac{\sqrt{2} }{n} \in \R \setminus \Q \text{ mit } \lim_{n \to \infty} x_n = a
                .\] aber
                \[
                    \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{= 0} = 0 \neq 1 = f(a)
                .\] Sei $a \in \R \setminus \Q$. Es ex. eine Folge von
                rationalen Zahlen $x_n$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.
                $x_n \in \Q$ $\forall n \in \N$ (Konstruktion von reellen Zahlen) es gilt
                \[
                    \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{= 1} = 1 \neq 0 = f(a)
                .\] 
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\section{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen}

\begin{definition}[offene, abgeschlossene, kompakte Mengen]
    Eine Menge $D \subset \R$ heißt offen, falls $\forall  x \in D$
    $\exists r > 0$ mit
    \[
        B_r(x) := \; ]x - r, x + r[ \; \subset D
    .\] d.h. jeder Punkt besitzt eine Umgebung, welche ganz
    in $D$ liegt.

    Eine Menge $D \subset \R$ heißt abgeschlossen, falls
    die Grenzwerte von konvergenten Folgen aus $D$ wieder in $D$ liegt, d.h.
    $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \implies x_0 \in D$.

    $D \subset \R$ heißt kompakt, falls $D$ beschränkt und abgeschlossen
    ist. (beschränkt $\stackrel{\text{def.}}{=}$ $\exists C > 0$ mit
    $|x| < C$ $\forall x \in D$ )
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $]0,1[$ ist offen. $\forall x \in \; ]0,1[$ setze
            $r := \frac{1}{2} \text{min}\{x, 1 - x\} $.
            Man kann zeigen, dass $B_r(x) \subset \; ]0, 1[$ 

            $]0, 1[$ ist nicht abgeschlossen, weil $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \N} \subset \; ]0, 1[$.
            mit $\frac{1}{n} \to 0 \not\in \; ]0, 1[$.
        \item $[0,1]$ ist kompakt. $x \in [0,1] \implies |x| \le 1 \implies [0,1]$ beschränkt.

            Sei $(x_n)_{n \in \N}$ in $[0,1]$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$. Dann
            gilt
            \[
                0 \le x_n \le 1 \; \forall n \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} 0 \le x_0 \le 1 \implies x_0 \in [0,1] \quad \text{abgeschlossen}
            .\] 

            $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \not\subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
        \item $\R$ ist offen, abgeschlossen aber nicht kompakt.
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{lemma}[Folgenkompakt]
    $D \subset \R$ ist kompakt genau dann wenn, alle Folgen $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ 
    eine konvergente Teilfolge enthalten mit Grenzwert in $D$.
\end{lemma}

\begin{proof}
    \begin{itemize}
        \item ,,$\implies$ '' Sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $D$,
            Folge $(x_n)_{n\in\N}$ beschränkt $\implies$ nach Satz
            von Bolzano-Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge
            $(x_{n_k})_{k\in\N} \subset D$ $\stackrel{D \text{ abgeschlossen}}{\implies} \lim_{k \to \infty} x_{n_k} \in D$ 
        \item ,,$\impliedby$'' Angenommen. $D$ ist unbeschränkt, d.h.
            $\forall n \in \N$ $\exists x_n \in D$ mit $|x_n| \ge n$.

            Dann enthält $(x_n)_{n\in\N}$ keine konvergente Teilfolge, weil alle
            Teilfolgen unbeschränkt sind. Widerspruch $\implies$ $D$ ist beschränkt.

            Bleibt zu zeigen: $D$ ist abgeschlossen. Sei $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit
            $x_n \to x_0, n \to \infty$. Nach Voraussetzungen
            existiert eine konvergente Teilfolge von $(x_n)_{n \in \N}$ mit Limes
            in $D$. Da alle Teilfolgen ebenfalls gegen $x_0$ konvergieren folgt, dass
            $x_0 \in D$.
    \end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}[Das stetige Bild kompakter Mengen ist kompakt]
    Sei $f\colon D \to \R$ stetig mit $D \subset \R$ kompakt. Dann
    ist $f(D) = \{ f(x)  \mid x \in D\} $ kompakt.
\end{satz}

\begin{proof}
    Zu zeigen: $f(D)$ ist kompakt. Sei $(y_n)_{n\in\N}$ eine Folge
    in $f(D)$. Dann ex. eine Folge $(x_n)_{n\in\N} \subset D$ mit
    $f(x_n) = y_n$ $\forall n \in \N$ ($f$ stetig).

    $D$ kompakt $\implies$ $\exists $ Teilfolge $(x_{n_k})_{k \in\N}$ mit
    $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in D $.
    \[
        f \text{ stetig } \implies f(x_{n_k}) = \underbrace{y_{n_k}}_{\text{Teilfolge in }f(D)} \to f(x_0) \in f(D)
    .\] 
\end{proof}

\begin{definition}[Supremum, Infimum, Maximum, Minimum reellwertiger Funktionen]
    Sei $f \colon D \to \R$, $D \subset \R$.

    \begin{align*}
        \sup_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x)  \mid x \in D\}  \\
                                                & := \sup B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
    .\end{align*}
    \begin{align*}
        \inf_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
    .\end{align*}
    Falls $B_f := f(D)$ beschränkt ist, dann $\exists $ inf und sup.

    $x_{\text{min}} \in D$ heißt Minimum, $x_{\text{max}}$ Maximum von $f$, falls
    \[
    \begin{cases}
        \text{inf } f(x) = f(x_{min}) =: \text{min } f(x) \\
        \text{sup } f(x) = f(x_{max}) =: \text{max } f(x)
    \end{cases}
    .\] 
\end{definition}

\begin{satz}
    Stetige reellwertige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen
    ihr Minimum und Maximum an, d.h.
    $f\colon D \to \R$ stetig, $D$ kompakt, dann ex. $x_{min}, x_{max} \in D$ mit \\
    $f(x_{min}) = \text{inf } \{f(x)  \mid x \in D\} $ \\
    $f(x_{max}) = \text{sup } \{f(x)  \mid x \in D\} $
\end{satz}

\begin{proof}
    Folgt aus Satz. Zunächst $f(D)$ ist beschränkt, d.h.
    dass Supremum und Infimum von  $f(D)$ existieren. Nach Definition von
    $s := \text{sup }\{f(x)  \mid x \in D\} $ ex. eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$
    in $D$ mit $f(x_n) \to s, n \to \infty$. $(x_n)_{n\in\N}$ hat
    eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})_{k \in\N}$ mit
    $x_{n_k} \to x_{max}$, $k \to \infty$, $x_{max} \in D$.\\
    $\implies$ $f(x_{n_k}) \to f(x_{max}), k \to \infty$\\
    $\implies$ Behauptung für Supremum
\end{proof}

\begin{satz}[Zwischenwertsatz]
    Sei $f\colon \underbrace{[a,b]}_{\text{kompakt}} \to \R$ stetig
    mit $f(a) \neq f(b)$.
    Dann gibt es zu jedem $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ($*$)
    mindestens ein $c \in [a,b]$ mit $f(c) = y$.

    $*$ d.h. $f(a) \le y \le f(b)$ falls $f(a) \le f(b)$,
    sonst $f(b) \le y \le f(a)$)
\end{satz}

\end{document}
