\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\chapter{Grundlagen}

\section{Mengen und Aussagen}

\begin{definition}
	Seien $A$ und $B$ Mengen.
	\begin{itemize}
		%Venn Diagramme wären schön
		\item \textbf{Teilmenge} $B \subset A$ bedeutet: jedes Element von $B$ ist auch Element von $A$ \\
		$B$ ist eine Teilmenge von $A$; bsp.: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
		\item \textbf{Mengengleichheit} Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn $A \subset B$ und $B \subset A$.
		\item \textbf{Strikte Teilmenge} $B$ ist eine strikte Teilmenge von $A$, wenn es ein Elemnt $a \in A$ gibt, mit $a \notin B$.
		\item \textbf{Leere Menge} oder "Nullmenge" $\emptyset$ enthält keine Elemente. \\
		Es gilt konventionsgemäß $\emptyset \in A$ für alle Mengen $A$
		\item \textbf{Vereinigung} von $A$ und $B$: $A \cup B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{oder} \ a \in B \ \}$
		\item \textbf{Durchschnitt} von $A$ und $B$: $A \cap B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \in B \ \}$
		\item \textbf{Differenz} von $A$ und $B$: $A \setminus B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \notin B \ \}$
		\item \textbf{Produktmenge}: $A \times B := \{ \ (a, b) \ | \ a \in A \ \text{und} \ b \in B \ \}$
		\item \textbf{Disjunkte Mengen} $A$ und $B$ sind disjunkt, falls gilt: $A \cap B = \emptyset$
	\end{itemize}

\end{definition}

\begin{bem}
	Das ODER im mathematischen Sinne bedeutet das einschließliche oder und nicht das entweder oder.

\end{bem}


\section{Wahrheitstabellen}
\label{sec:wahrheitstafeln}

\begin{definition}
	Seien $V$ und $E$ Aussagen. \\
	Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig feststeht, ob er wahr oder falsch ist.\\
	\begin{itemize}
		\item \textbf{UND und ODER} \ Man definiere die Verknüpfungen UND $\land$ und ODER $\lor$ wie folgt: 
		
			\begin{tabular}{l|c|c|c}
				$V$ & $E$ & $V \ \text{und} \ E$ & $V \ \text{oder} \ E$ \\
				\hline 
				w & w & w & w \\
				w & f & f & w \\
				f & w & f & w \\
				f & f & f & f \\
			\end{tabular}
			\\
			
		\item \textbf{Negation} \ Man definiere die NICHT-Verknüpfung wie folgt: 
		
			\begin{tabular}{l|c}
				$V$ & $\neg V$ \\
				\hline 
				w & f \\
				f & w \\
			\end{tabular} 
			\\
		
		\item \textbf{Implikation} \ Wenn $V$ gilt, gilt auch $E$. Man sagt: $V$ ist hinreichende Bedingung für $E$, oder die Voraussetzungen von $V$ sind hinreichend für die Gültigkeit von $E$. Die Gültigkeit von $E$ ist notwendig für die Gültigkeit von $V$, oder die Ungültigkeit von $E$ impliziert die Ungültigkeit von $V$. Es gilt: $V \implies E$ ist wahr, falls $\neg V$ oder $E$ wahr ist. 
		
			\begin{tabular}{l|c|c}
				$V$ & $E$ & $V \implies E$ \\
				\hline 
				w & w & w  \\
				w & f & f  \\
				f & w & w  \\
				f & f & w  \\
			\end{tabular}
			\\
			
		\item \textbf{Äquivalenz} \ Man definiere die Äquivalenzrelation $V \Leftrightarrow E$ als:\\
	$V \Leftrightarrow E$ steht für $V \implies E$ und $E \implies V$.
	
			\begin{tabular}{l|c|c}
				$V$ & $E$ & $V \Leftrightarrow E$ \\
				\hline 
				w & w & w  \\
				w & f & f  \\
				f & w & f  \\
				f & f & w  \\
			\end{tabular}
			\\
	\end{itemize}
\end{definition}


\begin{definition}[Quantoren]
	Man definiere folgende Quantoren:
	\begin{itemize}
		\item $\forall$ Allquantor, also als: für alle.
		\item $\exists$ Existenzquantor, also als: es existiert ein. 
		\item $\exists !$ als: es existiert genau ein a.
	\end{itemize}	
\end{definition}


\begin{bem}
	Häufig hilft es Aussagen zu negieren. Hierbei gelten folgende Regeln (können mithilfe von WT gezeigt werden): 
	\begin{itemize}
		\item $ \neg (\forall a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\exists a \in A: \neg V(a))$
		\item $ \neg (\exists a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\forall a \in A: \neg V(a))$
	\end{itemize}
\end{bem}


\begin{bem}[Kontraposition]
	Zwei weitere Hilfsmittel:
	\begin{itemize}
		\item $( V \implies E) \Leftrightarrow (\neg E \implies \neg V)$
		\item $(V \Leftarrow E) \Leftrightarrow (\neg E \Leftarrow \neg V)$
	\end{itemize}
\end{bem}


\begin{bem}
	Zu Quantoren:
	\begin{itemize}
		\item Quantoren müssen immer angegeben werden.
		\item Die Reihenfolge der Quantoren ist essentiell. \\
			Bsp.: $T:=$ Menge aller Töpfe, $D:=$ Menge aller Deckel, $V(a,b)=$ Deckel $b$ passt auf Topf $a$. \\
			$\forall a \in T: \exists b \in D: V(a,b)$ ist vermutlich wahr, \\
			$\exists b \in D: \forall a \in T: V(a,b)$ ist vermutlich falsch.
	
	\end{itemize}
\end{bem}


\section{Abbildungen}

\begin{definition}[Abbildungen]
	Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\
	Hierbei nenne man $A$ Definitionsmenge von $f$ und $B$ Wertemenge von $f$.
\end{definition}


\begin{definition}[Folgen]
	Zahlenfolgen sind Abbildungen $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Schreibweise: statt $a(n)$ wird $a_{n}$ und statt $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ wird $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ geschrieben.
\end{definition}


\begin{definition}[injektiv, surjektiv, bijektiv]
	Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung.
	\begin{itemize}
		\item Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn gilt:
			\begin{equation*}
				\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1}) = f(a_{2}) \implies a_{1} = a_{2}.
			\end{equation*}
		\item Abbildung $f$ heißt surjektiv wenn gilt: 
			\begin{equation*}
				\forall b \in B: \exists a \in A: b = f(a).
			\end{equation*}
		\item Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
	\end{itemize}
\end{definition}


\begin{bsp}
	Es sei $f$ eine Abbildung: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$. Dann ist $f$ weder injektiv, noch surjektiv. \\
	Jedoch ist $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ surjektiv, aber nicht injektiv. \\
	Und $f: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ]  \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
\end{bsp}


\begin{definition}[Bild]
	Das Bild von $A_{1}$ (unter $f$): 
		\begin{equation*}
			f(A_{1}) := \{ f(a) \ | \ a \in A_{1} \ \} = \{ b \in B \ | \ \exists a \in A_{1}: b = f(a) \ \}
		\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}[Urbild]
	Das Urbild von $B_{1}$ (unter $f$): 
		\begin{equation*}
			f^{-1}(B_{1}) := \{ a \ | \ f(a) \in B_{1} \ \} \subset A
		\end{equation*}
\end{definition}


\begin{definition}[Inverse]
	Zu einer bijektiven Abbildung existiert eine sogenannte Umkehrabbildung, auch Inverse, die ebenfalls bijektiv ist:
		\begin{equation*}
			f^{-1}: B \rightarrow A \ \text{mit} \ a = f^{-1}(b) \ :\Leftrightarrow \ b = f(a)
		\end{equation*}
\end{definition}

\begin{bem}
	Nur bijektive Abbildung besitzen Inverse. \\
	Die Notation $f^{-1}(B)$ hat zwei Bedeutungen:
	\begin{itemize}
		\item Urbild von $B$ unter $f$
		\item Bild von $B$ unter $f^{-1}$
	\end{itemize}
	Das Urbild ist also für beliebige Abbildungen definiert
\end{bem}


\begin{definition}[Komposition von Abbildungen]
	Es sein $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Abbildungen.
	Dann sei:
	\begin{equation*}
		g \circ f : A \rightarrow C, \ (g\circ f)(a) := g(f(a))
	\end{equation*}
	Man sagt: $g \circ f$ heißt $g$ komponiert $f$.
\end{definition}


\begin{definition}[Morphismen]
	Seien $A$ und $B$ Mengen mit einer gewissen Operation $\oplus_{A}$ bzw. $\oplus_{B}$, z.B. Addition, Multiplikation. \\
	Die Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt homomorph (strukturerhaltend ), wenn gilt:
	\begin{equation*}
		\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1} \oplus_{A} a_{2}) =f(a_{1}) \oplus_{A} f(a_{2})
	\end{equation*}
	Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
\end{definition}


\begin{definition}[Äquivalenzrelation]
	Äquivalenzrelation auf eine Menge $A$ ist eine Beziehung $a \sim b$ zwischen Elementen von $A$ mit Eigenschaften
	\begin{itemize}
		\item $R_{1}$ (Relation)für $\forall a, b \in A$ gilt entweder $a \sim b$ oder $a \nsim b$ 
		\item $R_{2}$(Reflexivität) $a \sim a$
		\item $R_{3}$(Symmetrie) $a \sim b \implies b \sim a$
		\item $R_{4}$(Transitivität) $a \sim b$ und $b \sim c \implies a \sim c$
	\end{itemize}
\end{definition}


\begin{definition}[Äquivalenzklasse]
	$[a] := \{ b \in A \ | \ b \sim a \ \}$ \\
	$a$ heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse $[a]$.
\end{definition}

\begin{bsp}
	$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \\
	Man definiere folgende Äquivalenzrelation: \\
	\begin{equation*}
		(n, m) \sim (n', m') :\Leftrightarrow n + m' = n' + m \Leftrightarrow n - m = n' - m'
	\end{equation*}
	$R_{1}$ und $R_{2}$ sind offenbar erfüllt. \\
	$R_{3}$ $n + m' = n' + m \implies (n', m') \sim (n, m)$ \\
	$R_{4}$ $(n, m) \sim (n', m')$ und $(n', m') \sim (n'', m'')$ gilt: \\
	$(n' + m') + m'' = (n' + m) + m'' = (n' + m'') + m = (m' + n'') + m$ \\
	$\implies n + m'' = n'' + m \implies (n, m) \sim (n'', m'')$ \\
	
	Die zugehörigen Äquivalenzklassen bestehen aus allen Paaren natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz.
\end{bsp}




\end{document}
