\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\section{Mittelwertsatz und Satz von Rolle}

\begin{definition}[globales / lokales Extremum]
    Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in
    $x_0 \in D$ ein globales Extremum (Maximum oder Minimum), falls
    gilt $f(x_0) \ge f(x)$ bzw. $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in D$.

    Die Funktion $f$ hat in $x_0 \in D$ ein
    lokales Extremum (Maximum oder Minimum), falls
    $\exists \delta > 0$, s.d. $f(x_0) \ge f(x)$ bzw.
    $f(x_0) \le f(x)$
    $\forall x \in B_\delta(x_0) \cap D = \;]x_0-\delta, x_0 + \delta [$.
\end{definition}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}%
            [grid=both,
             minor tick num=4,
             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
             axis lines=middle,
             enlargelimits={abs=0.2},
             ymax=3,
             ymin=-3,
             width=.7\textwidth
            ]
            \addplot[domain=0:10,samples=100,smooth,red] {2*sin(deg(x)) -cos(deg(x/2))};
            \addplot[mark=*] coordinates {(0,-1.2)} node[pin=30:{lokales Minimum}]{} ;
            \addplot[mark=*] coordinates {(1.76,1.35)} node[pin=85:{lokales Maximum}]{} ;
            \addplot[mark=*] coordinates {(4.47,-1.35)} node[pin=270:{lokales Minimum}]{} ;
            \addplot[mark=*] coordinates {(7.7,2.7)} node[pin=270:{globales Maximum}]{} ;
            \addplot[mark=*] coordinates {(10,-1.45)} node[pin=160:{globales Minimum}]{} ;
          \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Beispiel für Extrema}
\end{figure}

\begin{satz}
    Sei $f\colon (a,b) \to \R$, $a < x_0 < b$.
    Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar, und ist $x_0$ ein lokales
    Extremum, dann gilt $f'(x_0) = 0$.

    \label{satz:lokalableitung0}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $x_0$ ein lokales Maximum, dann $\exists \delta > 0$, s.d.
    $f(x) - f(x_0) \le 0$
    $\forall x \in \;]x_0 - \delta , x_0 +\delta [ \cap (a, b)$:
    \begin{align*}
        f'(x_0) = \lim_{x \searrow x_0}
        \underbrace{\left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right)}_{\le 0}
        = \lim_{x \nearrow x_0} \underbrace{\left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right) }_{\ge 0}
    .\end{align*}
    $\implies f'(x_0) = 0$. Analog für Minimum
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item $a < x_0 < b$ ist wichtig! z.B.: $f\colon [0,1] \to \R$
            $f(x) := x$. Maximum bei $x = 1$, Minimum bei $x = 0$ mit
            Ableitung $f'(x) = 1 \neq 0$.
        \item $f'(x_0)$ nur eine notwendige Bedingung für ein
            lokales Extremum, z.B.: $f(x) = x^{3}$,
            $f'(x) = 3x^2 \implies f'(0) = 0$, aber $x = 0$ ist
            kein lokales Extremum.
            \begin{figure}[h]
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}%
                        [grid=both,
                         minor tick num=4,
                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                         axis lines=middle,
                         enlargelimits={abs=0.2},
                         ymax=5,
                         ymin=-5
                        ]
                        \addplot[domain=-3:3,samples=50,smooth,red] {x^3};
                      \end{axis}
                \end{tikzpicture}
                \caption{$x^3$ hat bei $x = 0$ kein lokales Extremum}
            \end{figure}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}[Satz von Rolle]
    Es sei $a < b$, $f\colon [a,b] \to \R$ stetig mit
    $f(a) = f(b)$, $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar.
    
    Dann ex. ein $\xi \in (a,b)$  mit $f'(\xi) = 0$.
    \label{satz:rolle}
\end{satz}

\begin{proof}
    Ist $f(x) = f(a)$ $\forall x \in [a,b] \implies$ Behauptung
    $\forall \xi \in \;]a,b\,[$.

    Nun $f$ nicht konstant. $[a,b]$ ist kompakt und
     $f$ ist stetig, d.h. $f$ nimmt Minimum und Maximum an.
     $\implies \exists x_{\text{min}}, x_{\text{max}} \in [a,b]$ mit
     $f(x_{\text{min}}) = \text{min}\{f(x)  \mid x \in [a,b]\} $ und
     $f(x_{\text{max}}) = \text{max}\{f(x)  \mid x \in [a,b]\} $. Da
     $f$ nicht konstant $\implies$ $f(x_{\text{min}}) < f(a) = f(b)$ oder
     $f(x_{\text{max}}) > f(a) = f(b)$.\\
     $\implies x_{\text{min}} \in (a,b)$ oder $x_{\text{max}} \in (a,b)$ \\
     $\stackrel{\mathclap{\text{Satz \ref{satz:lokalableitung0}}}}{\implies} f'(x_{\text{min}}) = 0$
     oder $f'(x_{\text{max}}) = 0$ \\
     $\implies$ Behauptung gilt mit $\xi = x_{\text{min}}$ oder
     $\xi = x_{\text{max}}$.
\end{proof}

\begin{satz}[Mittelwertsatz]
    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar
    auf $]a,b[$. Dann ex. ein $\xi \in \;]a, b[$ mit
    $f'(\xi) = \frac{f(b) -f(a)}{b - a}$.
    \label{satz:mittelwert}
\end{satz}

\begin{proof}
    Hilfsfunktion $g(x) := f(x) - f(a) - m(x-a)$ mit
    $m := \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Damit folgt
    $g(a) = g(b) = 0 \stackrel{\mathclap{\text{Satz \ref{satz:rolle}}}}{\implies}$
    $\exists \xi \in \; ]a,b[$ mit
    $g'(\xi) = 0 \implies f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$.
\end{proof}

\begin{satz}[Monotoniekriterium]
    \label{satz:monotonie}
    Sei $f\colon D \to \R$ auf $D \subset \R$ differenzierbar. Dann gilt
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $f$ monoton wachsend $\iff$ $f'(x) \ge 0$ $\forall x \in D$
        \item $f$ streng monoton wachsend $\iff$ $f'(x) > 0$ $\forall x \in D$
    \end{enumerate}
    Für fallende Funktionen ersetze $f$ durch $-f$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Es gilt $\forall a < b \in D$ nach Satz \ref{satz:mittelwert}
    \[
        f(b) - f(a) = \underbrace{(b-a)}_{> 0} f'(x) \qquad (*)
    .\]  für ein $x  \in \; ]a, b[$. Daraus folgt direkt (ii) und
    (i, ,,$\impliedby$'')

    Für (i, ,,$\implies$''): Betrachte in $(*)$:
    \[
        \lim_{b \to a} \underbrace{\frac{f(b) - f(a)}{b - a}}_{\ge 0} = f'(a) \ge 0
    .\] 
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $f\colon D \to \R$ differenzierbar. Dann gilt
    $f$ ist konstant auf $D$ $\iff$ $f' \equiv 0$ auf  $D$
\end{satz}

\begin{proof}
    ,,$\implies$'' klar.

    ,,$\impliedby$ '': Für $a < b \in D$ gilt
    $f(b) - f(a) = (b-a)\underbrace{f'(x)}_{= 0}$, $x \in \;]a,b[ \implies
    f(b) = f(a)$.
\end{proof}

\section{Höhere Ableitungen und Satz von Taylor}

\begin{definition}
    Ist $f\colon D \to \R$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$
    differenzierbar, dann sagt man: $f$ ist zweimal differenzierbar
    und $f''\colon D \to \R$ heißt die zweite Ableitung von $f$.

    Analog wird die $n$-te Ableitung $f^{(n)}$ von $f$ definiert
    mit $f^{(0)} := f$, die ,,nullte'' Ableitung. Schreibe
    \[
        \frac{d^{n}f}{dx^{n}} \quad \text{oder} \quad \left( \frac{d}{dx} \right)^{n} f \quad \text{oder} \quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f
    .\] 
\end{definition}

\begin{definition}[$C^{n}(D, \R)$]
    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt stetig differenzierbar
    auf $D$, falls $f$ auf $D$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$ stetig
    ist. Schreibe $f \in C^{1}(D, \R)$.

    $f$ heißt $n$-mal stetig differenzierbar auf $D$ ($f \in C^{n}(D, \R)$),
    falls $f$ $n$-mal differenzierbar und $f^{(n)}\colon D \to \R$
    stetig ist.
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Ist $f$ beliebig oft differenzierbar, dann
            gilt $f \in C^{\infty}(D, \R)$ bzw. $f$ ist glatt auf $D$.
        \item $f$ stetig auf $D$, dann gilt $f \in C^{0}(D, \R)$.
        \item $f \in C^{n}(D, \R) \implies f^{(k)}$ stetig auf $D$ 
            $\forall 0 \le k \le n$.
    \end{enumerate}
\end{bem}
\end{document}
