\documentclass{lecture}

\begin{document}

\begin{lemma}[]
    Für $n, k \in \N$ mit $0 < k < n$ gilt:
    \[
        \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    \begin{align*}
        \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &=
        \frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-(k-1)+1)}{(k-1)!}
        + \frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-k+1)}{(k-1)!k}\\
        &= \frac{(n-1)\ldots(n-k+1)(k+n-k}{k!} \\
        &= \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} = \binom{n}{k}
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{bem}[]
    Mit Hilfe der Rekursionsformel
    \[
    \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
    .\] bzw
    \[
    \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}
    .\] berechnet man die Binomialkoeffizienten explizit, auch bekannt als
    ,,Pascalsches Dreieck''.
\end{bem}

\begin{satz}[Binomische Formel]
    Für $a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
    \[
        (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}
    .\] 
    bzw.
    \[
        (a+b)^{n} = \binom{n}{0} a^{n} + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
        \binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n} b^{n}
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis durch Induktion]
    Induktionsanfang $n=1$:
    \[
    a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b = 1a + 1b
    .\] 
    Annahme: Die Formel gilt für ein $n \ge 1$

    Induktionsschritt: $n \to n+1$
    \begin{align*}
        (a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^{n}\\
        &= (a+b) \left(\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
\binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n}b^{n}\right) \\
        &= \binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{1}a^{n}b + \ldots +
        \binom{n}{n-1} a^{2} b^{n-1} + \binom{n}{n} a b^{n} \\
        &+ \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
        \binom{n}{n-1}a b^{n}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\
        &= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^{n}b+\ldots+
        \binom{n+1}{n}ab^{n} + \binom{n+1}{n+1}b^{n+1}
    .\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
\[
    \N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
.\] auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
(Multiplikation) definiert. Für diese gelten u.a. die Regeln:
\begin{align*}
    n + m = m + n &\text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n \text{ Kommutativität} \\
    (n + m) + k = n + (m + k) &\text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \text{ Assoziativität}\\
    (n + m) \cdot k &= n \cdot k + m \cdot k \text{ Distributivität}
\end{align*}

Subtraktion und Division sind nicht für alle Paare der natürlichen Zahlen definiert
($1 - 2 \not\in \N, \frac{1}{2} \not\in \N$), d.h. die natürlichen Zahlen
sind bezüglich der Subtraktion und Division ,,unvollständig''. Dies bedeutet,
dass für $n, m \in \N$ z.B.: die Gleichung
\[
n + x = m
\] nicht immer lösbar ist.

Deshalb werden die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert.
\[
    \Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \text{ ganze Zahlen}
.\] In $\Z$ hat die Gleichung $n+x = m$ die (eindeutige) Lösung:
$x = m - n \in \Z$.

$\Z$ ist vollständig bezüglich der Subtraktion aber unvollständig bezüglich
der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, die ,,lineare''
Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar ist.

Diese Beschränkung wird durch die Einführung der rationalen Zahlen behoben:
\[
\Q = \left\{\frac{r}{s}  \mid r \in \Z, s \in \N\right\}
.\] Die Menge $\Q$ ist vollständig bezüglich der vier elementaren
arithmetischen Operationen (bis auf die unzulässige Division durch Null).

\[
a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
    a+b = \frac{r}{s} + \frac{u}{v} &:= \frac{r\cdot v + u\cdot s}{s\cdot v} \\
    a-b &:= \frac{r\cdot v - u \cdot s}{s \cdot v} \\
    a \cdot b &:= \frac{r \cdot u}{s \cdot v} \\
    \frac{a}{b} &:= \frac{r \cdot v}{s \cdot u} \\
\end{cases}
.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,+'' und ,,-'' einen ,,Körper'' bildet.

\subsection{Was ist ein Körper?}

Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.

Operation ,,$+$'' erfüllt die Axiome der Addition
\begin{enumerate}
    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a + b = b + a$
    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a+b)+c = a+(b+c)$
    \item Neutrales Element $\exists 0 \in K: \forall a \in K: a + 0 = a$
    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists -a \in K: a + (-a) = 0$
\end{enumerate}

Operation ,,$\cdot$'' erfüllt Axiome der Multiplikation
\begin{enumerate}
    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a \cdot b = b \cdot a$
    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
    \item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =: K^{*}: \forall a \in K: a \cdot 1 = a$
    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists a^{-1} \in K: a \cdot a^{-1} = 1$
\end{enumerate}

Zusätzlich gilt ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' erfüllen die Distributivität (D):
\[
    \forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
.\] 

\begin{definition}[Körper]
    Eine Menge $K$ mit Operationen ,,$ +$'' und ,,$\cdot$ '' (K, $+$, $\cdot$)
    die Axiome A1-A4, M1-M4 und D erfüllt, heißt Körper.
\end{definition}

\begin{bsp}[]
    ($\Q$, $+$, $\cdot$) ist ein Körper \\
    ($\Z$, $+$, $\cdot$ ) ist kein Körper \\
\end{bsp}

\begin{definition}[Angeordneter Körper]
    Sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper. Es $\exists p \subset  K$ eine Teilmenge,
    die Axiome erfüllt:
    \begin{enumerate}
        \item $\forall \in K$ gilt genau eine der folgenden Aussagen:
            \begin{enumerate}
                \item $a \in P$
                \item $a = 0$
                \item $-a \in P$
            \end{enumerate}
        \item Aus $a > 0$ und auch $b > 0$ folgt: $a+b > 0 $ und
            $a\cdot b$ > 0
    \end{enumerate}
    Dann heißt $(K, +, \cdot, >)$ angeordneter Körper.
\end{definition}

\end{document}
