\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{definition}[$a^{x}$]
    Für $a > 0$ wird die Funktion $\exp_{a}\colon \R \to \R$ mit
    $x \mapsto a^{x}$ definiert durch
    \[
        \exp_{a}(x) := a^{x} := \exp(x \ln a) = e^{x \ln a}
    .\] 
\end{definition}

\begin{lemma}[Eigenschaften von $a^{x}$]
    Sei $a > 0$ :
    \begin{enumerate}
        \item $\exp_a\colon \R \to \R$ ist stetig
        \item $\exp_a(x+y) = \exp_a(x) \cdot \exp_a(y) \quad \forall x,y \in \R$
        \item $\exp_a(n) = a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-\text{mal}} \quad n \in \N$ 
        \item $\exp_a(n) = a^{n} \quad n \in \Z$
        \item $\exp_a\left( \frac{p}{q} \right) = \sqrt[q]{a^{p}} \quad \forall p \in \Z, q \in \N$
        \item $a^{x}\cdot a^{y} = a^{x + y}$ 
        \item $(a^{x})^{y} = a^{x\cdot y}$
        \item $a^{x}b^{x} = (ab)^{x} \quad b > 0, x \in \R$
        \item $\frac{1}{a^{x}} = a^{-x} \quad \forall x \in \R$
    \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
    trivial.
\end{proof}

\subsection{Gleichmäßige Stetigkeit}

\begin{definition}[gleichmäßige Stetigkeit]
    Eine Funktion $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$ heißt
    gleichmäßig stetig auf $D$, falls gilt:
    \[
        \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \text{ mit } |f(x) - f(y)| < \epsilon \quad \forall x, y \in D
        \text{ mit } |x-y| < \delta
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem} \begin{enumerate}
        \item Jede gleichmäßige stetige Funktion auf $D$ ist auch stetig
        \item Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig:
            \begin{itemize}
                \item stetig: $\delta$ hängt von $\epsilon$ und $x$ ab
                \item gleichmäßig stetig: $\delta$ hängt nur von $\epsilon$ ab
            \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{bsp}
    $f\colon ]0,1] \to \R$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$

    $f$ stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
\end{bsp}

\begin{proof}
    Wähle $\epsilon = 1$. Angenommen: $\exists \delta > 0$ mit
    $|f(x) - f(y)| < 1$ $\forall x, y \in ]0,1]$ 
    mit $|x - y| < \delta$.

    $\exists n \in \N$ mit $\frac{1}{n} < \delta$. Für $x := \frac{1}{n}$ und
    $y := \frac{1}{2n}$ gilt $|x-y| = |\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}| = |\frac{1}{2n}| < \delta$, aber
    $|f(x) - f(y)| = |n-2n| = n \ge 1$. Widerspruch
\end{proof}

\begin{satz}
    Auf kompakten Mengen (Intervallen) gilt: stetig $\iff$ gleichmäßig stetig

    Sei $f\colon D \to \R$ und $D \subset \R$ kompakt. Dann ist
    $f$ gleichmäßig stetig.
\end{satz}

\begin{proof}
    Ang. $f$ ist nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon_0 > 0$ mit
    $\forall n \in \N$ $\exists x_n, y_n \in D$, s.d. $|x_n - y_n| < \frac{1}{n}$ und
    $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \epsilon_0$.

    Folgenkompakt $\implies$ $\exists$ konvergente Teilfolge
    $(x_{n_k})_{k \in \N}$, $x_{n_k} \to p \in D$.

    $k \to \infty$. Dann konvergiert auch $(y_{n_k})_{k\in\N}$ gegen $p$,
    d.h. $y_{n_k} \to p, k \to \infty$ (weil $|x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k}$ \\
    $\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
    Widerspruch
\end{proof}

\begin{definition}[Lipschitzstetigkeit]
    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt lipschitz stetig auf $D$, falls
    $\exists $ Konstante $L > 0$ (sog. Lipschitzkonstante), s.d.
    \[
        |f(x) - f(y)| \le L |x - y| \quad \forall x, y \in D
    .\] 
\end{definition}

\begin{bsp}[]
    für $x = 3$ nicht lipschitzstetig.
\end{bsp}

\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
        \addplot[samples=100, domain=0:6]{-abs(1/(5*(x - 3)))+6};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}

\begin{bem}
    Lipschitzstetige Funktionen sind gleichmäßig stetig (stärker
    als gleichmäßige Stetigkeit)
\end{bem}

\subsection{Trigonometrische Funktionen}

\begin{satz}
    Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{ix})$ und
    $\sin(x) := \text{Im}(e^{ix})$. Dann gilt
    $\forall x \in \R$.
    \begin{enumerate}
        \item $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ (Eulersche Formel)
        \item $\cos(x) = \frac{1}{2}\left( e^{ix} + e^{-ix} \right) $ \\
            $\sin(x) = \frac{1}{2i}\left( e^{ix} - e^{-ix} \right) $ 
        \item $\cos(-x) = \cos(x)$ \\
            $\sin(-x) = - \sin(x)$
        \item $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    trivial.
\end{proof}

\begin{satz}
    $\cos$ und $\sin$ sind stetig.
\end{satz}

\begin{proof}
    Restgliedabschätzung von $\exp(x)$ gilt auch für komplexe $z \in \mathbb{C}$
    \[
        |R_{n+1}(z)| \le 2 \frac{|z|^{N+1}}{(N+1)!}
    .\] Damit folgt für eine Nullfolge in $\mathbb{C}$
    ($z_n \to 0, n \to \infty, z_n \in \mathbb{C}$ ) \\
    $\implies \exp(z_n) \to \exp(0) = 1, n \to \infty$

    Mit Funktionalgleichung $\exp(x\cdot y) = \exp(x) + \exp(y)$ gilt
    für eine Folge $(z_n)_{n\in\N}, z_n \to a, n \to \infty$ in $\mathbb{C}$ 
    $\implies \exp(z_n) \to \exp(a)$.
    ($z_n - a \to 0, \exp(z_n - a) \to 1 \implies
    \lim_{n \to \infty} \exp(z_n) = \lim_{n \to \infty}
    \left(\exp(a) \cdot \exp(z_n - a)  \right) = \exp(a)) $

    Sei $a \in \R$ und $x_n \to a, x_n \in \R$. Dann
    $\exp(ix_n) \to \exp(ia)$ mit Re / Im
    ($\text{Re}(z_n) \to \text{Re}(a)$, $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(a)$
    , $z_n \to a$ in $\mathbb{C}$.

    $\implies \cos(x_n) \to \cos(a)$ und $\sin(x_n) \to \sin(a)$ \\
    $\implies$ Stetigkeit
\end{proof}

\begin{satz}[Additionstheoreme]
    $\forall x, y \in \R$ gilt:
    \begin{enumerate}
        \item $\cos(x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot  \sin y$ \\
            $\sin(x+y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$
        \item $\sin x - \sin y = 2 \cos\left( \frac{x+y}{2} \right)
            \cdot \sin\left( \frac{x - y}{2} \right) $ \\
            $\cos x - \cos y = - 2 \cdot \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cdot 
            \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)$
    \end{enumerate} 
\end{satz}

\begin{proof} 1. Mit $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ folgt direkt
    \begin{align*}
            \cos (x+y) + i \sin (x+y) &= e^{i(x+y)} = e^{ix} \cdot e^{iy} \\
            &= (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) \\
            &= \underbrace{\cos x \cos y - \sin x \sin y}_{\text{Re}} + i \underbrace{(\sin x \cos y + \cos x \sin y)}_{\text{Im}}
        \intertext{2. Setze $u := \frac{x+y}{2}, v := \frac{x - y}{2}$.
        $x = u + v, y = u-v$.}
        \sin x - \sin y &= \sin (u+v) - \sin (u - v) \\
                        &= \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v
                        - (\sin u \underbrace{\cos(-v)}_{= \cos v}
                        + \cos u \cdot \underbrace{\sin(-v)}_{- \sin v}) \\
                        &= 2 \cos u \sin v
                        = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x - y}{2}
    .\end{align*}
\end{proof}

\end{document}
