\documentclass{../../../lecture}

\usepackage[]{subcaption}

\begin{document}

\begin{satz}[Satz von Taylor]
    Jede Funktion $f \in C^{n+1}(D,\R)$ lässt sich für
    $x, x_0 \in D$ nach Potenzen von $(x-x_0)$
    entwickeln:
    \begin{align*}
        f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \ldots + f^{(n)}(x_0)\frac{(x - x_0)^{n}}{n!} + R_{n+1}(x)
    .\end{align*} Dabei ist das Restglied $R_{n+1}(x)$:
    \begin{align*}
        R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(\xi) \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}
    .\end{align*} mit $\xi$ ein Punkt zwischen $x_0$ und $x$
    ($\xi = x_0 + \tau(x-x_0)$, $\tau \in (0,1)$).

    Der Ausdruck
    \[
        T_n(x) = T_{n}(f, x, x_0) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}
    .\] heißt Taylorpolynom $n$-ter Ordnung von $f$ bei $x_0$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Für $x = x_0$: klar.

    Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch
    $f(x) = T_n(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.

    Für $y \in D$ definiere
    \[
        \varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R
    .\] 
    Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\
    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies} \qquad$
    $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
    \begin{align*}
        0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k}
         - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1)
         + \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
                          &\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\
                          &= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right)
     .\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.
\end{proof}

\begin{satz}
    Sei $f$ auf einem beschränkten Intervall  $(a,b)$ eine
    $C^{\infty}$ Funktion mit gleichmäßig beschränkten Ableitungen.
    \[
        \sup_{x \in (a,b)} \left| f^{(n)}(x) \right| \le M < \infty
    .\] Dann ist $f$ auf $(a,b)$ analytisch, d.h.
    $\forall x, x_0 \in (a,b)$ konvergiert die Taylor-Reihe von $f$ und
    es gilt:
    \[
        f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    \[
        |f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
        \le \frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}
    .\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Eine $C^{\infty}$ Funktion muss nicht analytisch sein.
        \item Ist $f \in C^{n}$ mit $f(n) \equiv 0$ auf $D$, dann ist
             $f$ ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich $n-1$, da
             \[
                 f(x) = T_{n-1}(f, x, x_0) + \underbrace{R_n(x, x_0)}_{= \;0}
             .\] 
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{korrolar}[Lokale Extrema]
    Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und
    für $x_0 \in (a,b)$ gelte
    \[
        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
    .\] Dann gilt
    \begin{enumerate}
        \item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist
            $x_0$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum von $f$.
        \item Ist $n$ ungerade, dann ist $x_0$ kein
            lokales Extremum von $f$ (Sattelpunkt, Wendepunkt).
    \end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \begin{subfigure}{.4\textwidth}
    \caption{$f(x) = x^3$}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}%
                [grid=both,
                 minor tick num=4,
                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                 axis lines=middle,
                 enlargelimits={abs=0.2},
                 ymax=3,
                 ymin=-3,
                 width=.9\textwidth
                ]
                \addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^3};
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}{.4\textwidth}
    \caption{$f(x) = x^2$}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}%
                [grid=both,
                 minor tick num=4,
                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
                 axis lines=middle,
                 enlargelimits={abs=0.2},
                 ymax=3,
                 ymin=-3,
                 width=.9\textwidth
                ]
                \addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^2};
              \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{subfigure}
\end{figure}

\begin{proof}
    Satz von Taylor $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
    $f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\
    $\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für
    $x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche
    Vorzeichen wie $f^{(n)}(x_0)$.
    \begin{enumerate}
        \item $n$ gerade $\implies (x-x_0)^{n} > 0$, falls
            $x \neq x_0$.
            \[
                f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0}
            .\] $\implies$ Wegen $f^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(\xi)$ folgt $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) > 0$
            und $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
        \item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{korrolar}
    Sei $f \in C^{2}\left( (a,b), \R \right) $ und
    $x_0 \in (a,b)$. Dann folgt
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $x_0$ ist ein lokales Minimum von $f$
            $\implies f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) \ge 0$
        \item $x_0$ ist ein lokales Maximum von $f$ 
            $\implies f'(x_0) = 0, f''(x_0) \le 0$.
    \end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{proof}
    klar.
\end{proof}

\begin{korrolar}[Hinreichende Optimalitätsbedingung]
    Sei $x_0$ mit $f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) > 0$. Dann ist
    $x_0$ ein lokales Minimum.
\end{korrolar}

\begin{proof}
    trivial.
\end{proof}

\subsection{Die Regeln von de l'Hospital}

Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder
$f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ:
\[
    \left( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \infty^{\infty}, \ldots \right) 
.\] 

\begin{lemma}[Verallgemeinerter Mittelwertsatz]
    Seien $f, g$ im Intervall $[a,b]$ stetig und in $(a,b)$
    differenzierbar, $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$.
    Dann $\exists $ ein $c \in (a,b)$ s.d. gilt
    \[
        \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
    .\] 
\end{lemma}

\begin{proof}
    ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{satz}[1. Regel von de l'Hospital]
    Seien $-\infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und
    $f, g\colon I \to \R$ differenzierbare Funktionen
    mit
    \[
        \lim_{x \nearrow b} f(x) = 0 = \lim_{x \nearrow b} g(x)
    .\] Es gelte
    $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$ und
    $\lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c$. $c \in \R \cup \{\pm \infty\} $.
    Dann gilt:
    \[
        g(x) \neq 0 \quad \forall x \in I \; \text{und} \;
        \lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c
    .\] Analoge Aussagen gelten für $x \searrow a$.
\end{satz}

\begin{proof}
    $f, g$ in $b$ stetig $\implies f(b) = g(b) = 0$.
    $g'(x) \neq 0 \implies$ keine weiteren Nullstellen von
    $g$ in $(a,b)$, d.h. $g(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$.
    
    Wir nutzen den verallgemeinerten Mittelwertsatz.
    $\implies \exists \xi \in (a,b)$ mit
    \[
        \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)}
    .\] Aus $x \nearrow b$ folgt $\xi \nearrow b$ $\implies$ Behauptung.
\end{proof}

\begin{bsp}
    \begin{align*}
        \intertext{1.}
        \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &=
        \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
        \intertext{2.}
        \lim_{x \searrow 0} \frac{\sin x}{x^2}
                                        &= \lim_{x \searrow 0} \frac{\cos x}{2x} = + \infty
        \intertext{3.}
        \lim_{x \searrow 0} \frac{(\sin x)^2}{x^2}
                                        &= \lim_{x \searrow 0} \frac{2 \sin(x) \cdot \cos(x)}{2x}
            = \lim_{x \searrow 0} \frac{2(\cos^2 x - \sin^2(x)}{2}
            = 1
    .\end{align*}
\end{bsp}

\begin{satz}[2. Regel von de l'Hospital]
    Seien $- \infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und
    $f,g \colon I \to \R$ differenzierbar mit
    $\lim_{x \nearrow b} g(x) = \pm \infty$,
    $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$.
    \[
        \lim_{x \nearrow b} f(x) = \pm \infty \quad \text{und}
        \quad \lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \in \R \cup \{ \pm \infty\} 
    .\] Dann gilt: $\exists x_0 \in I$ mit $g(x) \neq 0$ für
    $a < x_0 \le x < b$ und
    \[
        \lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c
    .\] Analoge Aussage für $x \searrow a$. 
\end{satz}

\begin{proof}
    Rannacher.
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item 
    Grenzprozesse für $x \to \pm \infty$.
    \[
        \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)}
    .\] Substitution $y = \frac{1}{x}$, $(y \to 0$ für $x \to \pm \infty$).
    \[
        \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{y \to 0}
        \frac{f(\frac{1}{y}}{g(\frac{1}{y})}
    .\] 
\item $0 - \infty$
    \[
        \lim_{x \nearrow b}  f(x) = 0, \lim_{x \nearrow b} g(x) = \infty
    .\] 
    \[
        \lim_{x \nearrow b} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \nearrow b} 
        \frac{f(x)}{g(x)^{-1}} \sim \frac{0}{0}
    .\] 
\item $\infty - \infty$
    \[
        \lim_{x \to b} f(x) = \infty, \lim_{x \to b} g(x) = \infty
    .\]
    \[
        \lim_{x \to b} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to b} \left( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right)
        = \lim_{x \to b} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)} \cdot \frac{1}{g(x)}} \sim \frac{0}{0}
    .\] 

\item $f(x) \to 1$, $g(x) \to \infty$\\
    $f(x) \to \infty$, $g(x) \to 0$ \\
    $f(x) \to 0$, $g(x) \to 0$ \\
    $\lim f(x)^{g(x)}$?

    Logarithmiere $f(x)^{g(x)} = A$.
    \[
        \ln A = g(x) \cdot \ln f(x)
    .\] $\lim A = \exp(\lim g(x) \cdot  \ln(f(x)))$
    \end{enumerate}
\end{bem}

\end{document}
