\documentclass{../../../lecture}

\usepackage{tikz}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\textbf{Heute:} Frustcafé (deswegen kürzere Plenarübung)

\textbf{Nächsten Mittwoch:} Vorlesung fällt aus, aber Ersatztermin
wird gesucht.

Fortsetzung Beweis:

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
        \item Zz: $\forall [ (a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$ $\exists z \in \R$
            \[
                z = \pm \left( z_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots ) \right) 
            .\] 
            O.B.d.A. $z > 0, a_n > 0, n \in \N$
            \[
                (a_n)_{n\in\N} \text{ C.F. } \implies 0 < a_n < N
                \text{ } \forall n \in \N
            .\] $\implies z_0 \in \N_0$, s.d.
            O.B.d.A. $(a_n)_{n\in\N} \subset I_0$
            \[
            I_0 := \{ x \in \Q  \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < N\} 
            .\] 
            \begin{tikzpicture}
                \draw (0, 0) -- (10, 0);
            \end{tikzpicture}

            $I_0$ wird unterteilt in 10 Teilintervalle.

            Für ein $d_1 \in \{0, \ldots, 9\} $ ein Intervall
            \[
                I_1 := \{ x \in I_0  \mid  z_0 + d_1 \cdot 10^{-1}
                \le x < z_0 + (d_1 + 1) \cdot 10^{-1}\} 
            .\] 
            Sei $z_1 = z_0 + 0,d_1 $, dann
            \[
            I_1 = \{ x \in I_0  \mid z_1 \le x < z_1 + 10^{-1}\} 
            .\] 
            $\implies \exists n_1$ Index s.d. $|z_1-a_{n_1}| \le 10^{-1}$

            usw. $\ldots$

            Ergebnis: eine Folge von Teilintervallen

            o.B.d.A.
            \[
            (a_n)_{n\in\N} \subset \ldots \subset I_{k+1} \subset I_k \subset \ldots \subset I_1 \subset I_0
            .\] 
            \[
            z_k := z_{k-1} + d_k \cdot 10^{-k} \in \Q
            .\] 
            \[
            I_k = \{x \in I_{k-1}  \mid z_k \le x < z_k + 10^{-k}\} 
            .\] 
            $\exists n_k:$ Index s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$

            Das heißt für eine Folge
            \[
            z_k := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \in \Q, k \in \N
            .\] 
            existiert eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\N}$ von der
            C.F. $(a_n)_{n\in\N}$, s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$, $k \in \N$
            $\implies (z_k - a_{n_k})_{k \in \N}$ Nullfolge, d.h. \\
            $\implies (z_k)_{k\in\N} \sim  (a_{n_k})_{k\in\N}$ \\
            $\implies (z_k)_{k\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N} $ \\
            $\implies (z_k)_{k\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}]$ 

            und der resultierende Dezimalbruch ist:
            \[
            z := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \ldots \in \R
            .\] 
    \end{enumerate}

    Wir haben gezeigt:
    \[
        \forall [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R} \text{: } \exists z \in \R
    .\] Damit: $\implies$ Abbildung ist surjektiv und damit bijektiv.
    \[
        \implies \exists \text{ ,,inverse Abbildung''}: \overline{\R} \to \R
    .\] die auch bijektiv ist.

    Diese Abbildung ist auch verträglich mit der Addition und der
    Multiplikation, d.h. $[(a_n)_{n\in\N}] \mapsto a$ und $[(a_n')_{n \in \N}    \mapsto a']$

    Dann $[ (a_n)_{n\in\N}] + [(a'_n)_{n\in\N}] := a + a'$ \\
    $[ (a_n)_{n\in\N}] \cdot [(a'_n)_{n\in\N}] := a \cdot a'$

    Abbildung $\R \longleftrightarrow \overline{\R}$ ist Isomorphismus.
\end{proof}

\begin{bem}

    Die Darstellung ist durch einen Dezimalbruch ist nicht immer eindeutig.
    z.B.:
    \[
    0,9999 \ldots = 0,\overline{9} = 1 = 1,0000 \ldots
    .\] 
    Deshalb, falls $z = z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k 999 $ $d_k \le 8$ dann:

    $z := z_0 + 0, d_1 d_2 \ldots (d_k + 1) 0 \ldots$
\end{bem}

\begin{bem}
    Der Satz gilt auch für ,,b-adische'' Brüche mit Basis $b \in \N, b \ge 2$ :
    $a \in \R$ besitzt eine sogenannte ,,b-adische Entwicklung'':
    \[
        a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2 \ldots) = \pm (a_0 + d_1 \cdot b^{-1} + d_2 \cdot b^{-2} + \ldots )
    .\] mit $a_0 = g_0 + g_1 \cdot b + g_2 \cdot b^{2} + \ldots$ $\in \N_0$
    mit Ziffern $d_n, g_n \in \{0, 1, \ldots, b-1\} $
    Für $b=2$ : dijadische Entwicklung
\end{bem}

\subsubsection{Zusammenfassung}

Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge 
$(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen.

Beispiel: $\sqrt{2} $

\begin{tikzpicture}
    \draw (0, 0) -- (10, 0) -- (10, 0.5) -- (0, 0.5) -- (0,0);
    \draw (2, 0) -- (8, 0) -- (8, 0.3) -- (2, 0.3) -- (2,0);
    \draw (4, 0) -- (6, 0) -- (6, 0.2) -- (4, 0.2) -- (4,0);
\end{tikzpicture}

$\forall (a_n), (b_n)$ $a_n \to a, b_n \to a \iff (a_n - b_n)_{n \in \N}$ Nullfolge.

Deshalb:

\begin{itemize}
    \item Definiere C.F. rationaler Zahlen
    \item Äquivalenzrelation:
        \[
            (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} :\iff (a_n - b_n)_{n \in \N} \text{ Nullfolge }
        .\] 
        und Äquivalenzklasse:
        \[
            \overline{R} := \{ [(a_n)_{n\in\N}]\} 
        .\] 
    \item Eine Klasse aus $\overline{\R} \iff$ eine reelle Zahl 
\end{itemize}

Konstruktion nach Cantor, 1873

Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'',
,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''.

\subsection{Der Körper $\R$}

Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$
zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen.

Alle Struktureigenschaften von $\Q$ sind über den Grenzübergang
auf $\R$ übertragbar.

\begin{definition}[Absolutbetrag]
    \[
    |a| := \lim_{n \to \infty} |a_n|
    .\] 
    Folglich: Begriffe ,,Konvergenz'' und ,,Cauchy-Folgen'' gelten auch
    für Folgen reeller Zahlen.
\end{definition}

\begin{definition}[Arithmetische Grundoperationen]
    \[
        a + b := \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)
    .\] 
    \[
        a \cdot b := \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) 
    .\] 
\end{definition}

\begin{definition}[Ordnungsrelation]
    \[
        a > b :\iff \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) > 0
    .\] 
    und folglich: $\exists \alpha \in \Q_+$ s.d. $a_n - b_n \ge \alpha$ für
    fast alle $n \in \N$.
    \[
        a \ge b :\iff a > b \text{ oder } a = b
    .\] 
    \[
    a < b :\iff b > a
    .\] 
    \[
    a \le b :\iff b \ge a
    .\] 
\end{definition}

\begin{definition}[Positivität]
    \[
    \R^{+} := \{a \in \R  \mid  a > 0\} 
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}
    Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Folge:

    \begin{proof}[Beispiel für Absolutbetrag]
        Seien $(a_n)_{n\in\N}, (a'_n)_{n\in\N}$ zwei approximierende
        Folgen von $a$, d.h. $(a_n - a'_n)_{n \in \N}$ ist eine Nullfolge.

        Zu zeigen:
        \[
        |a| = \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n|
        .\] d.h. zu zeigen:
        \begin{align*}
        &\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| \\
            \iff &\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| - |a'_n|\right) = 0
        .\end{align*}

        Betrachte:
        \[
         | |a_n| - |a'_n| | \le | a_n - a_n'| < \epsilon 
        .\] $\implies \left( |a_n| - |a'_n| \right) $ ist Nullfolge \\
        $\implies |a_n| = |a_n'|$ \\
        $\implies \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| = |a|$
    \end{proof}

    Die anderen Beweise folgen analog.
\end{bem}

\begin{satz}[Der vollständige Körper $\R$]
    \begin{enumerate}
        \item $(\R, +, \cdot, >)$ ist angeordneter Körper
        \item $\Q$ ist Unterkörper von $\R$
        \item Der Körper $\Q$ ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge in
            $\R$ hat einen Grenzwert in $\R$.
        \item Der Unterkörper $\Q$ ist ,,dicht'' in $\R$, d.h. 
            \[
                \forall a \in \R, \forall \epsilon > 0, \exists g_\epsilon \in \Q \text{ s.d. } |a - q_\epsilon| < \epsilon
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[1)]
        \item Körperaxiome (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität)
            sind trivial

            Neutrales Element der Addition:
            \[
                0 := 0, 0\ldots \text{ Klasse der Nullfolgen z.B.: }
                a_n = 0 \forall n \in \N
            .\] 
            Neutrales Element der Multiplikation
            \[
                1 := 1,0 \ldots 0 \text{\hspace{10mm}} [(1)_{n \in\N}]
            .\] 
            Existenz der inversen Elemente bezüglich der Addition
            \[
            a + x = 0, a \in \R
            .\] 
            \[
                x = -a = \lim_{n \to \infty} (- a_n)
            .\] 

            Existenz der inversen Elemente bezüglich der Multiplikation
            \[
            b \cdot x = 1, b \in \R \setminus \{0\}
            .\] 
            \[
            x = \frac{1}{b} := \lim_{n \to \infty} c_n
            .\] 
            \[
                (c_n)_{n\in\N} = \text{ ? }
            .\] 
            $b \in \R \setminus \{0\} \implies \lim_{n \to \infty} b_n = b \neq  0$ \\
            $ \implies (b_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ fast
            alle Elemente $b_n \neq  0$ (Übung!)


            Definiere:
            \[
            c_n := \begin{cases}
                0 & b_n = 0 \\
                \frac{1}{b_n} & b_n \neq 0
            \end{cases}
            .\] 
            Dann $(b_n \cdot c_n) $ = 
            \[
                (b_n \cdot c_n) = \begin{cases}
                    0 & b_n = 0 \\
                    1 & b_n \neq 0
                \end{cases}
            .\] 
            $\implies \lim_{n \to \infty} (b_n \cdot c_n) = 1$
        \item $a \in \Q$ entspricht $[(a_n)_{n \in \N}]$ mit
            $a_n = a$ $\forall n \in \N$ $\implies$ $\Q \subset \R$,
            $\Q$ Körper \\
            $\implies Q$ Unterkörper von $\R$.
        \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine C.F. reeller Zahlen.
            \[
                \forall a_n \in \R \text{ } \exists \text{ approx. Folge} (a_{n, m})_{m \in \N}
            .\] 
            \[
            a_{n, m} \in \Q \forall n, m \in \Q
            .\] 
            \[
            a_n := \lim_{n \to \infty} a_{n, m} n \in \N
            .\] 
            $\forall n \in \N$ wähle $k_n \in \N$ mit:
            \[
            |a_n - a_{n, k_{n}}| < \frac{1}{n}
        .\] Wir zeigen, dass $(a_{n, k_n})_{n \in \N}$ rationaler Zahlen eine
        C.F. ist.

        Sei $\epsilon > 0$. Dann 
    \end{enumerate}
\end{proof}

\end{document}
