\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$}

Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert
gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$ 

Genauso wird die Beschränktheit und Begriff der C.F. übertragen.

Aus Definitionen:
\[
    |z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}}
.\] und der Ungleichung:
\[
    \max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2}  \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
.\] folgt:

\begin{enumerate}
    \item $z_n \to z, n \to \infty$ in  $\mathbb{C}$ $\iff \text{Re}(z_n) \to \text{Re}(z) $ und $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(z)$
    \item $(z_n)_{n\in\N}$ ist eine C.F. in $\mathbb{C} \iff$ \\
        $(\text{Re}(z_n))_n$ und $\left( \text{Im}(z_n) \right)_n  $ sind
        C.F. in  $\R$
    \item $\mathbb{C}$ ist vollständig, d.h. jede C.F. in $\mathbb{C}$ 
        ist konvergent.
    \item Jede beschränkte Folge in $\mathbb{C}$ besitzt eine
        konvergente Teilfolge.
\end{enumerate}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item 
    $\frac{1+i(n+1)}{n} = \frac{1}{n} + i\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to i$, $n \to \infty$
\item $z_n = \left( \frac{i}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{i}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{i}{8}, \frac{1}{16}, \ldots \right) $ \\
    $|z_n| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \to 0$, $n \to \infty$
\item $q^{n} \to 0$, $n \to \infty$ $\forall q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$.
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')}

\begin{definition}
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir
    betrachten die Folge der $n$-ten Partialsumme $(s_n)_{n \in \N}$ 
    definiert durch:
    \[
    s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k
    .\] Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert (divergiert),
    wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\in\N}$ konvergiert (divergiert).

    Im Fall von Konvergenz bezeichnet:
    \[
        s_\infty := \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k 
    .\] die Summe oder den Wert der Reihe.
\end{definition}

\begin{bem}
    Man kann auch Reihen $\sum_{k=l}^{\infty} a_k$ mit
    $l \in \Z$ betrachten.
\end{bem}

\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
    \[
    \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = 1 + q + q^2 + q^{3} + \ldots
    .\] $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}$ konvergiert genau
    für alle $ q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$ und
    es gilt $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$.
    \label{geometrischereihe}
\end{bsp}

\begin{proof}
    Folge der Partialsummen
    \[
    s_n = \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \begin{cases}
        \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} & q \neq 1 \\
        n + 1 & q = 1
    \end{cases}
    .\]
    Für $|q| < 1$ gilt $|q|^{n+1} \to 0$, $n \to \infty$
    \[
    \implies s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} \to \frac{1}{1-q} \quad \text{für } |q| < 1
    .\] 

    Bleibt zu zeigen: $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} $ divergent für $|q| \ge 1$.

    Angenommen $\exists q \in \mathbb{C}$ mit $|q| \ge 1$ und
    $(s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.

    Dann
    \[
    |q|^{n+1} = |\underbrace{s_{n+1}}_{\to s_*} - \underbrace{s_n}_{\to s_*}|
    .\] 
    Widerspruch, da $|q|^{n+1} \ge 1$ für $|q| \ge 1$
\end{proof}

\begin{lemma}
    Ist $\sum_{k}^{\infty} a_k$ konvergent, dann ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine
    Nullfolge.
\end{lemma}

\begin{proof}
    $a_{n+1} = s_{n+1} - s_n \to s_{\infty} - s_{\infty} = 0$, $n \to \infty$
\end{proof}

\begin{bem}
    Die Eigenschaft von $(a_k)_{k\in\N}$ eine Nullfolge zu sein,
    reicht nicht für die Konvergenz von $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ aus!
\end{bem}

\begin{bsp}[Harmonische Reihe]
    \[
    \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad \text{ist strikt divergent}
    .\]
    \begin{proof}
        Folge der Partialsummen ist unbeschränkt:
        \begin{align*}
            S_{2^{m}} &= \sum_{k=1}^{2^{m}} \frac{1}{k}\\
            &=
            \underbrace{1}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\ge 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\ge 4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \ldots + 
            \underbrace{\frac{1}{2^{n-1}+1} + \ldots + \frac{1}{2^{m}}}_{\ge 2^{m-1} \cdot \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2}} \ge \frac{m}{2}
        .\end{align*}
    \end{proof}
\end{bsp}

\begin{bsp}
    \[
        \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}
    .\] 
    \begin{enumerate}[a)]
        \item \[
                \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = (1-1) + (1-1) + \ldots =
                0 + 0 + \ldots = 0
        .\] 
    \item
        \[
            \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \ldots
            = 1 + 0 + 0 = 1
        \]
        \item
            \[
                \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} = \frac{1}{1 -(-1)} = \frac{1}{2}
            .\] 
    \end{enumerate}
    Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent.
\end{bsp}

\subsubsection{Konvergenzkriterien}
Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der
Folge der Partialsummen.

\begin{satz}
    \begin{enumerate}
        \item 
    \[
    \sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_{\infty} \quad \text{und} \quad \sum_{k=1}^{\infty} b_k = b_{\infty}
    .\] $\implies$
    \[
        \sum_{k=1}^{\infty} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda a_{\infty} + \mu b_{\infty} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C}
    .\] 
\item Ist $a_k \in \R$ mit $a_k \ge 0$ $\forall k \in \N$ 
    dann gilt: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergent $\iff$ $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ nach oben beschränkt.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    (1) folgt aus der linearen Kombination von Folgen. \\
    (2) Falls $a_k \ge 0 \implies$ Folge $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ ist monoton wachsend.

    Für solche Folgen gilt: Konvergenz $\iff$ Beschränktheit
\end{proof}

\begin{satz}[Leibniz-Kriterium]
    Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge, so
    ist die alternierende Reihe:
    \[
        \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_k = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots
    .\] konvergent mit folgender Abschätzung:
    \[
        \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} a_k \right| \le |a_n| \quad \forall n \in \N
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Aus Voraussetzungen: $a_k \ge 0$, $s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$.
    \[
        s_{2n+1} = s_{2n-1} + a_{2n} - a_{2n+1} \stackrel{a_{2n} \ge a_{2n+1}}{\ge } s_{2n-1}
    .\] Folge mit ungeraden Indizes: $s_1 \le s_3 \le s_5 \le \ldots$.
    \[
    s_{2n} = s_{2n-2} - a_{2n-1} + a_{2n} \le s_{2n-2}
    .\] Folge mit geraden Indizes: $ \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$

    $s_{2n} > s_{2n+1}$ ($s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1})$ \\
    $s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$, $n \to \infty$

    $s_1 \ge s_3 \le s_5 \le  \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$

    $\implies [s_{2n+1}, s_{2n}]$ bilden eine Intervallschachtelung, d.h.
    \[
        \exists s_{\infty} = \bigcap_{k = 1}^{\infty} [s_{2k +1}, s_{2k}]
    .\] $s_{\infty} = \lim_{n \to \infty} s_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} s_{2n}$
    \[
    s_{2n+1} \le s_{\infty} \le s_{2n}
    .\] Damit gilt $\forall k \in \N$ :
    \[
    0 \le s_{\infty} - s_{2n+1} \le s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1}
    .\] und
    \[
    0 \ge s_{\infty} - s_{2n} \ge s_{2n+1} - s_{2n} = - a_{2n+1} \ge - a_{2n}
    .\] $\implies$
    \[
    0 \le |s_{\infty} - s_n|  \le a_n \to 0 \quad n \to \infty
    .\] und
    \[
        \left|\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}_{s_{\infty}} - \sum_{k=1}^{n} a_k \right|
    = \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right| \le a_n
    .\] 
\end{proof}

\begin{bsp}[,,Alternierende harmonische Reihe'']
    \[
        \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots
    .\] ist konvergent
\end{bsp}

\begin{definition}
    Eine Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt absolut konvergent falls
    $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $ konvergiert.
\end{definition}

\begin{bsp}
    Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ist
    konvergent nach Leibniz Kriterium, aber nicht absolut konvergent, weil
    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergiert.
\end{bsp}

\begin{satz}
    Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\sum_{k}^{} a_k $ absolut konvergent, d.h.
    $\sum_{k}^{} |a_k|$ konvergiert.
    \[
    s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k, t_n := \sum_{k=1}^{n} |a_k|
    .\] Dann gilt für $m, n \in \N$ mit $m \ge n$.
    \[
    |s_m - s_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right|
    \le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| = t_m - t_n = |t_m - t_n|
    .\] 
    Da $(t_n)_{n \in \N}$ konvergiert $\implies (t_n)_{n \in \N}$ ist C.F.

    Aus $|s_m - s_n| \le |t_m - t_n| < \epsilon$

    \begin{align*}
        &\implies (s_n)_{n \in \N} \text{ ist auch C.F. in } \R \text{ bzw. } \mathbb{C} \\
        &\implies \sum_{k} a_k \quad \text{konvergiert}
    .\end{align*}
\end{proof}

\end{document}
