\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\section{Folgen und Reihen}
\subsection{Folgen}
\begin{definition}[Folgen]
    Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.

    Die Folge $(a_{n_k})_{k \in\N}$ ist eine Teilfolge von $(a_n)_{n\in\N}$
    wobei $(n_k)_{k \in \N}$ eine Folge natürlicher
    Zahlen ist, die streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{k+1} \forall k \in \N$.
\end{definition}

\begin{bsp}
    $(-1)^{n}$ hat zwei Teilfolgen: $(-1)^{2n} = 1$ und $(-1)^{2n+1} = -1$.
\end{bsp}

\begin{definition}[Konvergenz, Beschränktheit, Monotonie von Folgen]
    \begin{enumerate}
        \item Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ heißt \textit{beschränkt}, wenn es eine
            Konstante $c \in \R$ gibt mit $|a_n| \le C$.

            Sie heißt nach oben (bzw. unten) beschränkt falls $\exists  C \in \R$, s.d. $a_n \le C (\text{bzw. } a_n \ge C) \forall n \in \N$
        \item $(a_n)_{n\in\N}$ heißt monoton wachsend (fallend), wenn $a_n \le a_{n+1}$ ($a_n \ge a_{n+1}) \quad \forall n \in \N$.
        \item $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent gegen $a \in \R$, wenn $\forall \epsilon > 0 \exists n_\epsilon \in \N$, s.d.
            \[
            |a_n - a| < \epsilon \qquad \forall n \ge n_\epsilon
            .\] 
        \item $(a_n)_{n\in\N}$ heißt divergent, falls sie gegen keine reelle Zahl konvergiert.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item Eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ konvergiert gegen $a \in \R$ falls in jeder $\epsilon$-Umgebung $]a - \epsilon, a + \epsilon[$ fast alle
            Folgenelemente liegen.
        \item In Def. kann auch $\le \epsilon$ und statt $\epsilon$ kann man $\frac{1}{N}$ für beliebig große $N \in \N$ schreiben.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}
    Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h.
    $\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge n_\epsilon$ gilt:
    $|a_n - a_m| < \epsilon$.
\end{satz}

\begin{satz}[Eindeutigkeit des Limes]
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in  $\R$ und $a, a' \in \R$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und
    $\lim_{n \to \infty} a_n = a'$, dann gilt $a = a'$.
\end{satz}

\begin{proof} Angenommen $a \neq a'$. Definiere $\epsilon := \frac{|a - a'|}{2} > 0$.

    Dann $\exists n_1,n_2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$
    und $|a_n - a'| < \epsilon \quad \forall n \ge n_2$.

    Dann gilt $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$:
    \begin{align*}
        |a - a'| = |a - a_n + a_n -a'| \le |a-a_n| + |a_n - a'| < \epsilon + \epsilon = | a - a'|
    .\end{align*}
    $\implies |a - a'| < |a - a'|$. Widerspruch $\implies a = a'$
\end{proof}

\begin{satz}
    Konvergente Folgen sind beschränkt.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ mit $a_n \to a, n \to \infty, a \in \R$.

    Wähle $\epsilon = 1$. Dann $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < 1 \quad \forall n \ge n_\epsilon$.

    Dann gilt $\forall n \ge n_\epsilon$:
    \begin{align*}
        |a_n| = |a_n - a + a | \le |a_n - a| + |a| \le 1 + |a|
    .\end{align*}
    \[
        \implies |a_n| \le \left(\max_{k = 1,\ldots, n_\epsilon} |a_k|\right) + |a| + 1 \quad \forall n \in \N
    .\] 
\end{proof}

\begin{satz}[Konvergenz und Nullfolgen]
    Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert. Sei $(a_n)_{n\in\N}$ Folge mit
    $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.

    Dann sind äquivalent:
    \begin{enumerate}
        \item $a_n \to a, n \to \infty$
        \item $(a_n - a) \to 0$
        \item $|a_n - a| \to 0$
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    durch Behauptung.
\end{proof}

\begin{satz}[Konvergenz von Teilfolgen]
    Teilfolgen einer gegen $a \in \R$ konvergierenden Folge konvergieren ebenfalls gegen $a \in \R$.
\end{satz}

\begin{proof}
    trivial.
\end{proof}

\begin{satz}[Einschließungskriterium (Sandwich)]
    Seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$, $(c_n)_{n\in\N}$ Folgen \\
    mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ und $\lim_{n \to \infty} c_n = c$.

    \begin{enumerate}
        \item Falls $a_n \le c_n \quad \forall n \in \N \implies a \le c$.
        \item Falls $a = c$ und $a_n \le b_n \le c_n \quad \forall n \in \N \implies b = a \implies \lim_{n \to \infty} b_n = a$
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $\epsilon > 0$.
    \begin{enumerate}
        \item $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}$ und
            $|c_n - c| < \frac{\epsilon}{2} \quad \forall n \ge n_\epsilon$.

            Dann: $a - c \le a - (a_n - c_n) - c \le |a-a_n| + |c_n - c| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ \\
            $\implies \forall \epsilon > 0$ gilt $a - c < \epsilon \implies a - c \le 0$
    \item $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon$ und $|c_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ 

        Dann gilt $\forall n \ge n_\epsilon$ und wegen $|a_n| \le  |b_n| \le |c_n|$:
        \[
        - \epsilon < - |a_n - a| \le a_n - a \le b_n - a \le c_n - a \le |c_n - a| < \epsilon
        .\] $\implies -\epsilon < b_n - a < \epsilon \implies |b_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ \\
        $\implies \lim_{n \to \infty} b_n = a$
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}[Rechenregeln für konvergente Folgen]
    Seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und $\lim_{n \to \infty} b_n = b$.
    Dann gilt:
    \begin{enumerate}
        \item $\lim_{n \to \infty} |a_n| = |a|$
        \item $\lim_{n \to \infty} (\lambda a_n + \mu b_n) = \lambda a + \mu b \quad \forall \lambda, \mu \in \R$
        \item $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b$
        \item Falls $b \neq 0$, gilt $b_n \neq 0$ für fast alle $n \in \N$ und
            $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$.
        \item Falls $a_n \ge 0 \quad \forall n \in \N \implies a \ge 0$ und $(a_n)^{\frac{1}{k}} \to a^{\frac{1}{k}}, n \to \infty$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    durch Zurückblättern.
\end{proof}

\end{document}
