\documentclass{../../../lecture}

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\begin{document}

\begin{bsp}
    \[
        f(x) = \begin{cases}
            \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\
            0 & x = 0
        \end{cases}
    .\] auf $I = [0,1]$ ist  $f(x)$ R.-integrierbar.
    Auf  $I$ hat $f(x)$ eine Unstetigkeit bei $x = 0$.

    Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Dann $\exists \delta \in [0,1]$, s.d.
    \[
        \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \cdot \delta < \frac{1}{4} \epsilon
    .\] Auf $[\delta , 1] f(x)$ stetig und R.-integrierbar. Dann
    ex. eine Zerlegung $Z_{\delta } \in \mathcal{Z}(\delta , 1)$, s.d.
    \[
    |\overline{S}_{Z_\delta }(f) - \underline{S}_{Z_\delta }(f)| < \frac{1}{2} \epsilon
    .\] Ergänze $Z_{\delta }$ um das Intervall $[0, \delta ]$
    $\implies Z \in \mathcal{Z}(0,1)$. Und es gilt
    \[
        |\overline{S}_{Z}(f) - \underline{S}_{Z}(f)|
        \le | \overline{S}_{Z_\delta }(f) - \underline{S}_{Z_\delta }(f)|
        + 2 \sup_{x \in [0, \delta ]} |f(x)| \cdot \delta < \epsilon
    .\] 
\end{bsp}

\begin{satz}[Linearität]
    Seien $f, g\colon I = [a,b] \to \R$ (beschränkt) R.-integrierbar.
    Dann ist $\alpha f + \beta g$, $\alpha, \beta \in \R$ über
    $I$ R.-integrierbar und es gilt
     \[
         \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x) dx =
         \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx  
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Es ex. $RS_Z(f)$ und $RS_Z(g)$ s.d.
    \begin{align*}
        \lim_{h \to 0} RS_Z(f) &=
        \int_{a}^{b} f(x) dx  \\
        \lim_{h \to 0} RS_Z(g) &=
        \int_{a}^{b} g(x) dx 
    .\end{align*}
    o.B.d.A. $Z$ und  $\xi_k$ sind gleich für  $f$ und $g$. Damit folgt
    \begin{align*}
        RS_Z(\alpha f + \alpha g) &:= RS_Z(\alpha f) + RS_Z(\beta g)
        = \alpha RS_Z(f) + \beta RS_Z(g) \\
        \implies \quad \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx
                                  &= \alpha \lim_{h \to 0} RS_Z(f) + \beta \lim_{h \to 0} RS_Z(g) \\
                                  &= \lim_{h \to 0} (\alpha \cdot RS_Z(f)) +
        \lim_{h \to 0} (\beta \cdot RS_Z(g)) \\
                                  &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f) + \lim_{h \to 0} RS_Z(\beta g) \\
                                  &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f + \beta g) \\
                                  &= \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}[Monotonie des Riemann-Integrals]
    Seien $f, g\colon I = [a,b] \to \R$ (beschränkte)
    R.-integrierbare Funktionen mit $g(x) \ge f(x)$ $\forall x \in [a,b]$.
    Dann gilt
    \[
        \int_{a}^{b} g(x) dx \ge \int_{a}^{b} f(x) dx  
    .\] 
    \label{satz:riemann-monoton}
\end{satz}

\begin{proof}
    Es gilt für Zerlegung $Z$ und $\xi_k \in I_k$ :
    \begin{align*}
        RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})
        \le \sum_{k=1}^{n} g(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) = RS_Z(g)
    .\end{align*} Für $h \to 0$ folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{korrolar}
    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ (beschr.) R.-integrierbare Funktion,
    $m \le f(x) \le M$. Dann gilt
    \begin{align*}
        m(b - a) \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le M(b-a) 
    .\end{align*}
\end{korrolar}

\begin{proof}
    $g \equiv 1 \implies \int_{a}^{b} 1 dx = (b - a)$ Damit folgt
    \begin{align*}
        m (b-a) = \int_{a}^{b} m \cdot dx
        \quad \stackrel{\text{Satz \ref{satz:riemann-monoton}}}{\le} \quad
        \int_{a}^{b} f(x) dx
        \le \int_{a}^{b} M dx
        = M (b-a)
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{korrolar}
    Seien $f, g\colon I \to \R$ zwei beschr. R.-integrierbare
    Funktionen. Dann gilt
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $f_+ := \text{max}\{f, 0\} $ und
            $f_- := \text{min}\{f, 0\} $ sind R.-integrierbar
        \item $|f|$ ist R.-integrierbar und es gilt
             \[
                 \left| \int_{a}^{b} f(x) dx  \right|
                 \le  \int_{a}^{b} |f(x)| dx 
            .\] 
        \item $\forall p \in [1, \infty)$ ist $|f|^{p}$ R.-integrierbar
        \item $f \cdot g$ ist R.-integrierbar.
    \end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$.
            \begin{align*}
                0 &\le \overline{S}_Z(f_+) - \underline{S}_Z(f_+)
                \le \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) \\
                0 &\le \overline{S}_Z(f_-) - \underline{S}_Z(f_-)
                \le \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)
            .\end{align*}
            Falls $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)|
            \xrightarrow{h \to 0}  0$
            $\implies$ $|\overline{S}_Z(f_{\pm}) - \underline{S}_Z(f_\pm)
            | \xrightarrow{h \to 0} 0 \implies$ Beh.
        \item $|f| = f_+ - f_- \stackrel{\text{Linearität}}{\implies}
            |f|$ R.-integrierbar.
            $f \le |f|, - f \le |f| \stackrel{\text{Monotonie}}{\implies}
            \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx 
            \implies \left| \int_{a}^{b} f(x) dx  \right|
            \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx $.
        \item Sei $M = \sup_{x \in [a,b]} |f| \stackrel{\text{linear}}{\implies} \frac{|f|}{M}$ integrierbar. $0 \le \frac{|f|}{M} \le 1
            \implies$ z.Zg.: $|f|^{p}$ integr. für $0 \le f \le 1$.

            Sei $0 \le x \le y \le 1$. Aus dem Mittelwertsatz der
            Differentialrechnung folgt
            \begin{align*}
                y^{p} - x^{p} &= p \cdot \xi^{p-1}(y - x) \\
                \implies |y|^{p} - |x|^{p} &= p \cdot |\xi|^{p-1}(|y| - |x|)
                \le p \left( |y| - |x| \right) 
            .\end{align*}
            Für $Z \in \mathcal{Z}(0,1)$ gilt
            \begin{align*}
                \underbrace{\overline{S}_Z(|f|^{p}) - \underline{S}_Z(|f|^{p})}_{\xrightarrow{h \to 0} 0}
                \le p \underbrace{(\overline{S}_Z(|f|) - \underline{S}_Z(|f|))}_{ \impliedby \xrightarrow{h \to 0} 0}
            .\end{align*}
        \item $f\cdot g = \frac{1}{4}\left( (f+g)^2 - (f-g)^2 \right) $ und
            c).
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
    Im Allgemeinen ist
    \[
        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx \neq  \left( \int_{a}^{b} f(x) dx  \right) 
        \left( \int_{a}^{b} g(x) dx  \right) 
    .\] 
\end{bem}

\begin{korrolar}[Definitheit des R.-Integrals]
    Sei $f\colon I = [a,b] \to \R$ eine stetige Funktion mit 
    $f(x) \ge 0$, $x \in [a,b]$. Dann gilt
    \begin{align*}
        \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \implies f \equiv 0 
    .\end{align*}
\end{korrolar}

\begin{proof}
    durch Kontraposition.
    Sei $f \not\equiv 0$, d.h.  $\exists x_0 \in [a,b]$ mit $f(x_0) > 0$.
    $\stackrel{f\text{ stetig}}{\implies} \exists I_{\epsilon}
    := [x_0, x_0 + \epsilon]$ oder $I_{\epsilon} := [x_0 - \epsilon, x_0]$, s.d.
    $f(x) \ge \delta  > 0$ $\forall x \in I_{\epsilon}$.

    Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit $h$ klein genug, s.d.
    für ein  $k$  $I_k \subset I_{\epsilon}$. Dann gilt
    \begin{align*}
        0 &< \delta (x_{k} - x_{k-1}) \le
        \inf_{x \in I_k} f(x) (x_k - x_{k-1})
          \le \underline{S}_Z(f) \le \int_{a}^{b} f(x) dx 
    .\end{align*}
\end{proof}

\begin{definition}
    Sei $a \le b$ Dann ist
    \begin{align*}
        \int_{b}^{a} f(x) dx &:= - \int_{a}^{b} f(x) dx \\
        \int_{a}^{a} f(x) dx &:= 0 
    .\end{align*}
\end{definition}

\begin{satz}[1. Mittelwertsatz]
    Sei $f\colon I = [a,b] \to \R$ stetig, $g \colon I \to \R$
    R.-integrierbar. $g$ habe in $I$ keinen Vorzeichenwechsel.
    Dann $\exists \xi \in [a,b]$ s.d. gilt
    \[
        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) dx 
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $g \ge 0$ (o.B.d.A.). $f$ stetig
    $\implies$ $\exists m = \min_{x \in I} f(x)$, $M = \max_{x \in I} f(x)$.
    Dann folgt
    \begin{align*}
        m \int_{a}^{b} g(x) dx \le \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
        \le M \int_{a}^{b} g(x) dx 
    .\end{align*}
    Betrachte $\varphi(t) := (m (1-t) + M \cdot t) \int_{a}^{b} g(x) dx $,
    $t \in [0,1]$. Nach ZWS $\exists \theta \in [0,1]$, s.d.
    \begin{align*}
        \varphi(\theta) &= y = (m(1-\theta) + M\cdot \theta) \int_{a}^{b} g(x) dx  \\
        \varphi(0) &\le y \le \varphi(1) \\
        m \int_{a}^{b} g(x) dx &\le y \le M \int_{a}^{b} g(x) dx \\
        \implies \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx &= \mu \int_{a}^{b} g(x) dx  
    .\end{align*} Nach dem ZWS für $f$ $\exists \xi \in [a,b]$, s.d.
    $f(\xi) = \mu \in [m, M]$.
\end{proof}

\begin{korrolar}
    Sei $f\colon I \to \R$ stetig.
    \begin{enumerate}
        \item $\exists \xi \in I$, s.d. $\int_{a}^{b} f(x) dx = 
            f(\xi)(b-a)$
        \item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig mit $m \le f(x) \le M$.
            $x \in I$. Sei $g\colon I \to \R$ R.-integrierbar mit $g \ge 0$.
            Dann gilt
            \[
                m \int_{a}^{b} g(x) dx \le \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
                \le M \int_{a}^{b} g(x) dx 
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{bem}
    Voraussetzungen sind unverzichtbar!

    Stetigkeit: $f(x) = \begin{cases}
        0 & 0 \le x < 1 \\
        1 & 1 \le x \le 2
    \end{cases}$ unstetig.
    \begin{align*}
         f(\xi)(b-a) = f(\xi) \cdot 2 = \begin{cases}
            0 & 0 \le \xi < 1 \\
            2 & 1 \le \xi \le 2
        \end{cases} \neq  1 = \int_{0}^{2} f(x) dx
    .\end{align*}

    Positivität: $f(x) = x$, $g(x) = \begin{cases}
        -1 & 0 \le x < 1 \\
        1 & 1 \le x \le 2
    \end{cases}$.
    \begin{align*}
        \int_{0}^{1} f(x) g(x) dx = \int_{0}^{1} (-x) dx
        + \int_{1}^{2} x dx
        = - \left( \frac{1}{2} - 0 \right)  + \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 1
    .\end{align*} aber
    \begin{align*}
        \xi \cdot \int_{0}^{2} g(x) dx = \xi \cdot 0 = 0 \quad \forall \xi \in [0,2] 
    .\end{align*}
\end{bem}

\subsection{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}

\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
    Es sei $a < b$,  $f \colon [a,b] \to \R $ stetig.
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Die Funktion $F_0 \colon [a,b] \to \R$ definiert durch
            $F_0(x) := \int_{a}^{x} f(t) dt $ ist
            stetig differenzierbar auf $[a,b]$ und
             \[
                 F_0'(x) = f(x) \quad x \in [a,b] \quad (*)
             .\] 
             Jede Funktion $F \in C^{1}([a,b], \R)$ welche $(*)$ erfüllt,
             heißt Stammfunktion von $f$.
        \item Jede Stammfunktion $F$ von $f$ hat die Form
            \[
                F(x) = C + \int_{a}^{x} f(t) dt = C + F_0(x) 
            .\] 
        \item Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
            \[
                \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a) \; \text{d.h. insb.}
                \; \int_{a}^{b} F'(t) dt = F(b) - F(a)
                \quad \forall F \in C^{1}([a,b], \R)
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item 
    Für $h \neq 0$, $x \in [a,b]$
    \begin{align*}
        \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h}
        &= \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} f(t) dt
        - \int_{a}^{x} f(t) dt \right)
        = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt 
        \quad \stackrel{\text{1. MWS}}{=}
        \quad \frac{1}{h} f(\xi_h) \cdot h
        \xrightarrow[h \to 0]{f\text{ stetig}} f(x) \\
        \implies F_0'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h} = f(x)
    .\end{align*}
        \item Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
            $(F - F_0)' = f - f = 0
            \quad \stackrel{\text{MWS Diff.}}{\implies} \quad F - F_0 \equiv
            \text{konstant} = C \implies F = F_0 + C$ für ein $C \in \R$.
        \item $F(b) - F(a) \stackrel{\text{(b)}}{=} F_0(b) - F_0(a)
            = \int_{a}^{b} f(t) dt $
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}
        \item $F(b) - F(a) =: F(x) \Big|_a^b$
            $\implies \int_{a}^{b} F'(t) dt = F(x) \Big|_a^b $.

            Man bezeichnet eine Stammfunktion auch als unbestimmtes Integral
            \[
                F(x) = \int f(x) dx
            .\] (math. nicht korrekte Bezeichnung)
        \item Integration und Differentiation sind inverse zu einander
            \begin{align*}
                \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) \\
                F(x) = F(a) + \int_{a}^{x} F'(t) dt 
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{bem}

\end{document}
