diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl16.xopp b/ws2020/theo/uebungen/vl16.xopp index 73c13d2..30e482f 100644 Binary files a/ws2020/theo/uebungen/vl16.xopp and b/ws2020/theo/uebungen/vl16.xopp differ diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl18.xopp b/ws2020/theo/uebungen/vl18.xopp new file mode 100644 index 0000000..1bd8c5b Binary files /dev/null and b/ws2020/theo/uebungen/vl18.xopp differ diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl19.pdf b/ws2020/theo/uebungen/vl19.pdf new file mode 100644 index 0000000..8cc6469 Binary files /dev/null and b/ws2020/theo/uebungen/vl19.pdf differ diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl19.tex b/ws2020/theo/uebungen/vl19.tex new file mode 100644 index 0000000..72bfdcd --- /dev/null +++ b/ws2020/theo/uebungen/vl19.tex @@ -0,0 +1,85 @@ +\documentclass{../lectures/lecture} + +\geometry{ + top=10mm, + left=15mm, + right=20mm, + bottom=10mm} +\begin{document} +\thispagestyle{plain} + +\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}} +\setcounter{chapter}{4} +\setcounter{section}{6} + +Seien im Folgenden +$S$ und $S'$ zwei Koordinatensysteme, wobei sich $S'$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $v$ bewege, +sodass zum Zeitpunkt $ct = ct' = 0$ auch $x = x' = 0$ gelte. +Das Ereignis $A$ liege im gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S'$. + +\section{Geometrischer Vergleich zwischen Lorentz-Transformationen und Rotationen} + +Rotationen (links) und Lorentz-Transformationen (rechts) erzeugen deutlich verschiedene Geometrien. +\begin{salign*} +\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} += \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad +\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} += \begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} +.\end{salign*} +Das fehlende Minuszeichen in den +Lorentz-Transformationen, führt dazu, dass die Achsen für positive Rapidität zueinander geschert werden +und die hyperbolischen Funktionen dazu, dass die Linien von gleichem $s^2$, also die Linien, +auf denen die Lorentzinvariante $s^2 = (ct)^2 - x^2$ konstant ist, hyperbelförmig sind, im Gegensatz +zu den kreisförmigen Linien gleichen Radius bei Rotationen. + +\section{Kausale Struktur der Raumzeit} + +Die Raumzeit ist durch eine ausgezeichnete Linie getrennt. Diese erfüllt +die Gleichung $x = ct$. Hier ist $s^2 = 0$ und Ereignisse auf dieser Linie werden \textbf{lichtartig} gennant. +Lichtsignale, die im Ursprung eines Koordinatensystems losgeschickt werden, verlaufen auf dieser (Null-)Linie. + +Die Nulllinie trennt Ereignisse in der Raumzeit in zwei Gruppen: Die \textbf{zeitartig} getrennten, +mit $s^2 > 0$ und die \textbf{raumartig} getrennten mit $s^2 < 0$. Der Bereich der Raumzeit, wo $s^2 > 0$ gilt, +wird auch \textbf{Lichtkegel} genannt. Innerhalb des Lichtkegels +liegt eine absolute zeitliche Ordnung der Ereignisse vor: Ein Ereignis $B$, das in $S$ nach $A$ stattfindet, +findet auch in $S'$ nach $A$ statt. Außerhalb des Lichtkegels, also für raumartig getrennte Ereignisse +gilt das nicht: Es kann $v$ immer so gewählt werden, dass $B$ unterhalb der $x'$-Achse liegt. Dann +findet $B$ in $S'$ vor $A$ statt. + +Außerdem kann $A$ nur zeitartigen Ereignissen $B$ Lichtsignale senden, da dort das Lichtsignal ankommt, +bevor $B$ stattfindet. +Bei raumartigen Ereignissen $C$ kann jedoch ein Lichtsignal von $A$ nicht ankommen, +da wenn das Lichtsignal die räumlichen Koordinaten von $C$ erreicht hat, $B$ schon passiert ist. + +\section{Relativistische Effekte} + +\begin{itemize} + \item Relativität der Gleichzeitig: Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt erwähnt, + ist keine zeitliche Ordnung der Ereignisse außerhalb des Lichtkegels gegeben. + \item Zeitdilatation: Eine in $S'$ ruhende Uhr, scheint von $S$ aus betrachtet langsamer + zu gehen. Genauer: $\Delta t = \gamma \Delta t'$. Dieser Effekt ist symmetrisch und wird + von der Transformation erzeugt. + \item Längenkontraktion: Längenmaßstäbe in einem bewegten System erscheinen verkürzt. Genauer: + $\Delta x = \frac{1}{\gamma} \Delta x'$. Auch dieser Effekt ist symmetrisch und wird nur durch + die Transformation erzeugt. +\end{itemize} + +\section{Eigenzeit} +\thispagestyle{plain} + +Sei eine Trajektorie $x^{\mu}(\tau)$ durch ein Koordinatensystem gegeben. Die Uhr eines Insassen eines +Raumschiffes, das sich auf dieser Trajektorie bewegt, zeigt die sogenannte \textbf{Eigenzeit} $\tau$ des +Systems an. Die Tangente $u^{\mu}(\tau) = \frac{\d{x}^{\mu}}{\d{\tau}}$ gibt die Geschwindigkeit +des Teilchens auf der Trajektorie an. + +Durch Berechnung der Lorentz-Invariante $s^2$ erhalten wir $s^2 = (c\tau)^2$ im Ruhesystem +des Teilchens. Da dieser Zusammenhang auch infinitesimal gilt, folgt insgesamt für +die vom Ereignis $A$ zum Ereignis $B$ vergangene Eigenzeit +\begin{salign*} + \tau = \int_{A}^{B} \d{\tau} = \int_{A}^{B} \frac{\d{t}}{\gamma} +\end{salign*} +für Start- und Endpunkte $A$ und $B$. + +\end{document} diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl19.xopp b/ws2020/theo/uebungen/vl19.xopp new file mode 100644 index 0000000..e1bd0f5 Binary files /dev/null and b/ws2020/theo/uebungen/vl19.xopp differ diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl20.xopp b/ws2020/theo/uebungen/vl20.xopp new file mode 100644 index 0000000..8d8170a Binary files /dev/null and b/ws2020/theo/uebungen/vl20.xopp differ diff --git a/ws2020/theo/uebungen/vl21.xopp b/ws2020/theo/uebungen/vl21.xopp new file mode 100644 index 0000000..0653acc Binary files /dev/null and b/ws2020/theo/uebungen/vl21.xopp differ diff --git a/ws2020/tut-ana/praesenz10.xopp b/ws2020/tut-ana/praesenz10.xopp new file mode 100644 index 0000000..cc1c27f Binary files /dev/null and b/ws2020/tut-ana/praesenz10.xopp differ diff --git a/ws2020/tut-ana/praesenz11.xopp b/ws2020/tut-ana/praesenz11.xopp new file mode 100644 index 0000000..842a115 Binary files /dev/null and b/ws2020/tut-ana/praesenz11.xopp differ diff --git a/ws2020/tut-ana/praesenz12.xopp b/ws2020/tut-ana/praesenz12.xopp new file mode 100644 index 0000000..23cf038 Binary files /dev/null and b/ws2020/tut-ana/praesenz12.xopp differ diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen b/ws2020/wtheo/uebungen index 25ed8ff..d4b5b7a 160000 --- a/ws2020/wtheo/uebungen +++ b/ws2020/wtheo/uebungen @@ -1 +1 @@ -Subproject commit 25ed8ff2ef2e122a6fc1ff1127ee1245d9d17843 +Subproject commit d4b5b7a47bd70aa5b98bb79d9d92ba4e388bcf8d