diff --git a/ws2020/algebra/uebungen/algebra8.pdf b/ws2020/algebra/uebungen/algebra8.pdf new file mode 100644 index 0000000..d79cfd4 Binary files /dev/null and b/ws2020/algebra/uebungen/algebra8.pdf differ diff --git a/ws2020/algebra/uebungen/algebra8.tex b/ws2020/algebra/uebungen/algebra8.tex new file mode 100644 index 0000000..65008b0 --- /dev/null +++ b/ws2020/algebra/uebungen/algebra8.tex @@ -0,0 +1,159 @@ +\documentclass[uebung]{../../../lecture} + +\title{Algebra I: Übungsblatt 8} +\author{Lukas Nullmeier, Christian Merten} + +\begin{document} + +\punkte[3] + +\begin{aufgabe} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Beh.: Mit $\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3 / (X^2 + 1)$ ist + $\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3(\overline{X})$ und + $\text{Gal}(\mathbb{F}_9 / \mathbb{F}_3) = \langle \sigma \rangle$ wobei + $\sigma \colon \mathbb{F}_9 \to \mathbb{F}_9$ den Frobenius-Automorphismus bezeichne + \begin{proof} + Sei $f \coloneqq X^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[X]$. + Betrachte zunächst $K \coloneqq \mathbb{F}_3 / (f)$. Es ist $f$ irreduzibel, da + $\text{deg}(f) = 2$, also falls $f$ reduzibel, zerfiele $f$ in Linearfaktoren + über $\mathbb{F}_3$. Jedoch + hat $f$ keine Nullstellen in $\mathbb{F}_3$, denn $f(0) = 1$, $f(1) = 2$ und $f(2) = 2$. + Also ist $K$ Körper, da $\mathbb{F}_3[X]$ euklidisch und damit HIR. + + Nach einem der ersten Zettel gilt $\text{dim}_{\mathbb{F}_3} K = \text{deg}(f) = 2$. Da + $\# \mathbb{F}_3 = 3$ folgt $\# K = 3^2 = 9$. Also folgt $K \stackrel{\sim }{=} \mathbb{F}_9$. + Weiter gilt mit dieser Konstruktion von $\mathbb{F}_9$: + $\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3(\overline{X})$, denn für $g \in \mathbb{F}_9$ ist + \[ + g = aX + b + (X^2 + 1) = a \overline{X} + b + \] für $a, b \in \mathbb{F}_3$. + + Jede algebraische Erweiterung eines endlichen Körpers ist separabel und normal, + also $\mathbb{F}_9 / \mathbb{F}_3$ galoissch und nach VL gilt + $\text{Gal}(\mathbb{F}_9 / \mathbb{F}_3) = \langle \sigma ^{r} \rangle$ wobei + $\sigma ^{r}$ der relative Frobenius-Automorphismus mit $r = 1$, da $3 = 3^1$. Damit + folgt die Behauptung. + \end{proof} + \item Beh.: $\Q(\sqrt{3}, \sqrt{5}) = \Q(\sqrt{3} + \sqrt{5})$ und + $\text{Gal}(\Q(\sqrt{3}, \sqrt{5}) / \Q) = \langle \sigma, \tau \rangle$ mit + (angegeben mit den Werten auf den Erzeugern $\sqrt{3} $ und $\sqrt{5} $): + \begin{salign*} + \sigma(\sqrt{3}) &= - \sqrt{3} \qquad \sigma(\sqrt{5}) = \sqrt{5} \\ + \tau(\sqrt{3}) &= \sqrt{3} \qquad \tau(\sqrt{5}) = - \sqrt{5} + .\end{salign*} + \begin{proof} + Sei $L \coloneqq \Q(\sqrt{3} + \sqrt{5})$. + Zunächst ist $L \ni (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 + = 3 + 2 \sqrt{3}\sqrt{5} + 5$, also $\sqrt{3}\sqrt{5} \in L$. + Damit ist $L \ni (\sqrt{3} + \sqrt{5}) \sqrt{3} \sqrt{5} - 3(\sqrt{3} + \sqrt{5}) + = 3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} = 2 \sqrt{3}$. Also + $\sqrt{3} \in L$ und damit auch $\sqrt{5} \in L$. Da trivialerweise + $\sqrt{3} + \sqrt{5} \in \Q(\sqrt{3} , \sqrt{5})$ folgt $L = \Q(\sqrt{3}, \sqrt{5})$. + + Weiter ist $\text{char }\Q = 0$ also $L$ separabel und + $f = (X^2 - 3)(X^2 -5)$ hat in $L$ genau die vier Nullstellen + $N = \{ \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{5} \} $. $L$ ist also Zerfällungskörper von $f$ über $K$, + insbesondere normal. Außerdem ist + $[L : \Q] = [L : \Q(\sqrt{3})] = [\Q(\sqrt{3}) : \Q] = 2 \cdot 2 = 4$. Also + $\# \text{Gal}(L / \Q) = 4$. + + $L / \Q$ hat die Zwischenkörper $\Q(\sqrt{3})$ und $\Q(\sqrt{5})$. Diese + sind Zerfällungskörper der nach Eisenstein über $\Q$ irreduziblen Polynome + $X^2 - 3$ und $X^2 - 5$. Ihre Galoisgruppen operieren also transitiv auf den + enstprechenden Nullstellen. Diese werden erzeugt von den entsprechenden Einschränkungen + von $\sigma$ bzw. $\tau$. Damit ergibt sich die + Galoisgruppe von $L$ als $\langle \sigma, \tau \rangle$. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Sei $L / K$ endliche Erweiterung. + + \setcounter{section}{4} + \begin{lemma} + Für $\alpha \in L$ und zwei Zwischenkörper $M, M'$ von $K(\alpha) / K$ gilt + \[ + M \subseteq M' \iff f_M \in M'[X] + \] wobei $f_M$ das Minimalpolynom von $\alpha$ über $M$ bezeichne. + \label{le-intermediates} + \end{lemma} + \begin{proof} + ,,$\implies$'' ist trivial. Seien nun $M, M'$ Zwischenkörper von $L / K$ mit + $f_M \in M'[X]$. Dann seien $a_0, \ldots, a_n \in M \cap M'$ die Koeffizienten von $f_M$. + Dann setze $M'' \coloneqq K(a_0, \ldots, a_n)$. Dann folgt $M'' \subseteq M$ und + $M'' \subseteq M'$. Da $f_M$ irreduzibel über $M$, insbesondere irreduzibel über $M''$, also + $f_M = f_{M''}$ und damit + \[ + \text{deg}(f_M) = [ K(\alpha) : M'' ] = \underbrace{[ K(\alpha) : M ]}_{= \text{deg}(f_M) } [ M : M'' ] + ,\] also $M = M''$ und damit $M \subseteq M'$. + \end{proof} + + Beh.: Siehe Aufgabe. + \begin{proof} + Falls $K$ endlich, ist $K$ vollkommen, also jede algebraische Erweiterung seperabel und + damit nach dem Satz vom primitiven Element einfach. Außerdem ist dann auch $L$ endlich, + also hat $L$ nur endlich + viele Teilmengen, insbesondere existieren nur endlich viele Zwischenkörper von $L / K$. + + Sei also $K$ unendlich. + \begin{itemize} + \item ,,(i)$\implies$(ii)'': Sei $L = K(\alpha)$ und zu jedem Zwischenkörper + $M$ von $L / K$ sei $f_M \in M[X]$ das Minimalpolynom von $\alpha$ über $M$. + Seien nun $M, M'$ zwei Zwischenkörper von $L / K$ mit $f_M = f_{M'}$. Damit + ist $f_M \in M'[X]$ und $f_{M'} \in M[X]$ also $M \subseteq M'$ und $M' \subseteq M$ + nach Lemma \ref{le-intermediates}, + insgesamt $M = M'$. Also bestimmt jedes $f_M$ den Körper $M$ eindeutig. + + Weiter ist $f_K(\alpha) = 0$ und $f_M(\alpha) = 0$. Außerdem ist + $f_K \in M[X]$ und $f_M$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $M$, also + $f_k \in (f_M)$. Damit ex. ein $g \in M[X]$, s.d. $f_K = g f_M$. Da + $M \subseteq L$ folgt $g \in L[X]$. Also $f_M \mid f_K$ in $L[X]$. + + Da $L[X]$ faktoriell, besitzt $f_K$ eine eindeutige (endliche) Primfaktorzerlegung + in $L[X]$. Insbesondere hat $f_K$ in $L[X]$ nur endlich viele Teiler. Also + existieren mit den Vorüberlegungen nur endlich viele Zwischenkörper von $L / K$. + \item ,,(ii)$\implies$(i)'': $L / K$ habe nur endlich viele Zwischenkörper. + + Sei zunächst $L = K(\alpha, \beta)$. Dann existieren $c, c' \in K$ mit $c \neq c'$ + und $K(\alpha + c \beta) = K(\alpha + c' \beta)$ (Da $\# K = \infty$, gäbe es sonst + unendlich Zwischenkörper von $L / K$ + der Form $K(\alpha + c \beta)$ mit $c \in K$). + + Z.z.: + $\alpha, \beta \in K(\alpha + c \beta)$. Es ist $\alpha + c' \beta \in K(\alpha + c \beta)$. Also + \[ + K(\alpha + c \beta) \ni \alpha + c \beta - (\alpha + c' \beta) = \beta (c - c') + .\] Da $c \neq c'$ folgt $c - c' \in K^{\times}$ und damit + $\beta \in K(\alpha + c \beta)$. Also auch $\alpha \in K(\alpha + c \beta)$. Da + trivialerweise $\alpha + c \beta \in K(\alpha, \beta)$ folgt + $L = K(\alpha + c \beta)$, also $L$ einfach. + + Sei nun $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$. Induktion über $n$: Für $n=1$ + ist $L$ trivialerweise einfach. Sei nun $n \in \N$ und + $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n+1})$. Nach IV existiert ein + $\alpha \in L$ mit $K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) = K(\alpha)$. Also + folgt $L = K(\alpha, \alpha_{n+1})$. Damit ist $L$ einfach mit der Vorüberlegung. + \end{itemize} + \end{proof} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Sei $L / K$ endlich, galoissch und abelsch. Sei weiter $f \in K[X]$ irreduzibel mit $\alpha \in L$ + und $f(\alpha) = 0$. + + Beh.: $M \coloneqq K(\alpha)$ ist Zerfällungskörper von $f$ über $K$ und ein endlicher, normaler + Zwischenkörper von $L / K$. + \begin{proof} + Es ist $M / K$ endlich, denn $[ M : K] = \text{deg}(f) < \infty$. Es ist + $K \subseteq M \subseteq L$ d.h. nach dem Hauptsatz der Galoistheorie ex. eine Untergruppe + $H \subseteq \text{Gal}(L / K)$ mit $L^{H} = M$. Es ist $\text{Gal}( L / K)$ abelsch, also + $H$ Normalteiler in $\text{Gal}(L / K)$. Insbesondere ist $L^{H} / K$ normal also + $M / K$ normal. Außerdem ist $\alpha \in M$ und $M$ normal also zerfällt $f$ über $M$ in Linearfaktoren. + Wegen $M = K(\alpha)$ wird $M$ von den Nullstellen von $f$ erzeugt, also ist $M$ Zerfällungskörper + von $f$ über $K$. + \end{proof} +\end{aufgabe} + +\end{document} diff --git a/ws2020/ana/uebungen/ana6.pdf b/ws2020/ana/uebungen/ana6.pdf index 56b02fb..0348852 100644 Binary files a/ws2020/ana/uebungen/ana6.pdf and b/ws2020/ana/uebungen/ana6.pdf differ diff --git a/ws2020/ana/uebungen/ana6.tex b/ws2020/ana/uebungen/ana6.tex index 8b22470..9485c76 100644 --- a/ws2020/ana/uebungen/ana6.tex +++ b/ws2020/ana/uebungen/ana6.tex @@ -180,7 +180,7 @@ = \frac{2}{2-p} 2^{-k \frac{2-p}{2}} \left( 1 - 2^{- \frac{2-p}{2}} \right) = \mu 2^{-k \frac{2 - p}{2}} .\end{salign*} - Falls $p < 2$ ist $\frac{2-a}{2} > 0$ und damit + Falls $p < 2$ ist $\frac{2-p}{2} > 0$ und damit $\Vert f_k \Vert_p^{p} = \mu 2^{- k \frac{2-p}{2}} \xrightarrow{k \to \infty} 0$. Also konvergiert $f_k$ in $L^{p}(\R)$ für $p < 2$. @@ -223,7 +223,7 @@ insbesondere $(\mathscr{B}(\R^{n}), \mathscr{B}(\R))$-messbar. Seien nun $A_i \in \mathscr{B}(\R)$ für $i = 1, \ldots, n$. Dann ist \begin{salign*} - \bigtimes_{i=1}^{n} A_i = \bigcap_{i=1}^{n} (A_i \cap \R) + \bigtimes_{i=1}^{n} A_i = \bigcap_{i=1}^{n} (\R^{i-1} \times A_i \times \R^{n-i}) = \bigcap_{i=1}^{n} \underbrace{\pi_{i}^{-1}(A_i)}_{\in \mathscr{B}(\R^{n})} \in \mathscr{B}(\R^{n}) .\end{salign*} diff --git a/ws2020/tut-ana/prasenz7.xopp b/ws2020/tut-ana/prasenz7.xopp new file mode 100644 index 0000000..9fd1e05 Binary files /dev/null and b/ws2020/tut-ana/prasenz7.xopp differ diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen b/ws2020/wtheo/uebungen index 8795111..4d3d46f 160000 --- a/ws2020/wtheo/uebungen +++ b/ws2020/wtheo/uebungen @@ -1 +1 @@ -Subproject commit 8795111131d9555b3a64200604f389d487716d13 +Subproject commit 4d3d46fe7fafe4bc5c46f8d4ad037c26dd9eb4f2