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update la8

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2019-12-11 23:37:00 +01:00
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@@ -35,6 +35,7 @@
\delta (X^{3} + X^{0}) \\
&= a X^{0} + b X^{1} + c X^{2} + d X^{3}
.\end{align*}
$\implies \underline{w}$ ist Basis
\end{proof}
\item Seien $\phi_{\underline{v}}\colon K^{4} \to K[X]_{\le 3}$ und
$\phi_{\underline{w}}\colon K^{4} \to K[X]_{\le 3}$ die kanonischen Isomorphismen.
@@ -158,7 +159,7 @@
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
.\]
$\implies \phi_{\underline{v}}(-2, 1, -1, 1) = -2X^{0} + X^{0} + X^{1} - X^{1} + X^{2} - X^{3} + X^{3} + X^{0} = X^{2} = id_W(X^{2})$
$\implies \phi_{\underline{w}}(-2, 1, -1, 1) = -2X^{0} + X^{0} + X^{1} - X^{1} + X^{2} - X^{3} + X^{3} + X^{0} = X^{2} = id_W(X^{2})$
\item $v_4 = X_3$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{3}) = (0, 0, 0, 1)$
\[
\begin{pmatrix}
@@ -169,7 +170,7 @@
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
.\]
$\implies \phi_{\underline{v}}(-1, 0, 0, 1) = -X^{0} + X^{3} + X^{0} = X^{3} = id_W(X^{3})$
$\implies \phi_{\underline{w}}(-1, 0, 0, 1) = -X^{0} + X^{3} + X^{0} = X^{3} = id_W(X^{3})$
\end{enumerate}
$\implies F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) = id_W$
\end{proof}
@@ -224,19 +225,19 @@
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe} Sei $f\colon U \to V$ und $g\colon V \to W$ lineare Abbildungen
\begin{aufgabe} Seien $f\colon U \to V$ und $g\colon V \to W$ lineare Abbildungen
zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Beh.: $\text{dim } \text{ker}(g\circ f) \le \text{dim } \text{ker} g + \text{dim } \text{ker }f$
\item Beh.: $\text{dim } \text{ker}(g\circ f) \le \text{dim } \text{ker } g + \text{dim } \text{ker }f$
\begin{proof}
Schränke $g$ auf $\text{Bild}(f)$ ein durch $g'\colon \text{Bild}(f) \to W$ mit
$v \mapsto g(v)$.
\begin{align*}
\text{ker }(g \circ f) &= \text{dim } U - \text{dim}(\text{Bild}(g \circ f)) \\
\text{dim } \text{ker }(g \circ f) &= \text{dim } U - \text{dim}(\text{Bild}(g \circ f)) \\
&= \text{dim }U - \text{Rg}(g')\\
&= \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g') + \text{dim }U - \text{Rg}(f) \\
&= \text{ker }g' + \text{ker }f \\
&\le \text{ker }g + \text{ker }f
&= \text{dim } \text{ker }g' + \text{dim } \text{ker }f \\
&\le \text{dim } \text{ker }g + \text{dim } \text{ker }f
.\end{align*}
\end{proof}
\item Beh.: $\text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) \le \text{dim } V - \text{Rg}(g)$
@@ -285,7 +286,7 @@
Schränke nun $\pi$ auf $U$ ein: Dann ex. für alle $u \in U$ ein
$(\alpha_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$, s.d.
$v = \sum_{i \in I} v_i$. Damit:
$v = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i$. Damit:
\[
\pi(v) = \sum_{i \in I} \alpha_i \pi(v_i) = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i = v
.\]