diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf index 165e306..9456c35 100644 Binary files a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf and b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf differ diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex index 80f39fd..ad82cb0 100644 --- a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex +++ b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex @@ -88,6 +88,19 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie. (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen. \end{bem} +\begin{definition} + Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$. + Eine Unterkategorie $\mathcal{R}$ von $\mathcal{T}$ heißt + triangulierte Unterkategorie, wenn gilt + \begin{enumerate}[(i)] + \item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn + $T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und + \item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch + der dritte. + \end{enumerate} + \label{def:triangulated-subcategory} +\end{definition} + \begin{definition}[Triangulierter Funktor] Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem @@ -559,7 +572,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: \begin{lemma} Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$: \[ - H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n]) + H^{n}\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n]) .\]\label{hom-compl-cohomgroups} \end{lemma} \begin{proof} @@ -583,6 +596,23 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$. \end{proof} +\begin{lemma}[$\com{\text{Hom}}(-, -)$ und (Co)limites] + Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und seien $(\com{S} _n)_{n \in \N}$ bzw. $(\com{T} _n)_{n \in \N}$ + direkte bzw. inverse Systeme in $\mathcal{K}$. Dann sind die natürlichen Homomorphismen + \[ + \com{\text{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{S}_n, \com{X}) + \] und + \[ + \com{\text{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n) + \] Isomorphismen. + \label{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiert, dass die gradweisen Homomorphismen, + Komplexhomomorphismen bilden. +\end{proof} + \begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert] Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ @@ -629,7 +659,7 @@ eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass \item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$ (bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$) - existiert und + existiert, und \item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält. \end{enumerate} @@ -658,6 +688,7 @@ Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat: Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive Auflösung. + \label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions} \end{satz} Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}. @@ -667,28 +698,37 @@ Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}. Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen entwickelt. -\begin{bem} - Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$ +\begin{lemma}[] + Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Es gilt + \begin{align*} + \com{X} \text{ K-injektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\ + \com{X} \text{ K-projektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt} + .\end{align*} + \label{lemma:mork-crit-for-k-inj} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$ genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$. - Da Verschieben Exaktheit erhält folgt also - \[ - \com{X} \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt} - .\] - Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir - \[ - \com{X} \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt} - \] -\end{bem} + Da Verschieben Exaktheit erhält folgt die Behauptung. Die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile. +\end{proof} -\begin{bem} - Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop. - \begin{proof} - Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit - $\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$. - \end{proof} -\end{bem} +\begin{lemma} + Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ + ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) + \stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit + $\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$. +\end{proof} + +Für ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ stellt sich die Frage, ob Injektivität (bzw. Projektivität) von $X$ in $\mathcal{A}$ +mit K-injektivität (bzw. K-projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und +$X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her: \begin{satz} Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau @@ -700,15 +740,15 @@ Komplexen entwickelt. \begin{proof} Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen aller Pfeile. - ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to N \to P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei - $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$ + ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to N \to P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei + $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$: \[\begin{tikzcd} 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\ - M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0 + M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0 \end{tikzcd}\] -Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist -$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv. +Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist +$v_{*}\colon \text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv. ,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte @@ -717,40 +757,45 @@ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte 0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r} \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}} \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\ - S^{-1} \arrow{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1} + S^{-1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1} \end{tikzcd} .\] -Da $d^{0}f^{0} = 0$ faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil -$X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$. +Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil +$X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$. \end{proof} \begin{satz}[] - \begin{enumerate}[(i)] - \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist. - \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind, - dann auch der dritte. - \end{enumerate} + Die volle Unterkategorie der K-projektiven (bzw. K-injektiven) Komplexe in $\mathcal{K}$ ist + eine triangulierte Unterkategorie. \label{satz:k-proj-triangulated} \end{satz} \begin{proof} + Wir zeigen Bedingungen (i) und (ii) aus \ref{def:triangulated-subcategory} in + der K-projektiven Version, die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile. \begin{enumerate}[(i)] - \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$ + \item Das folgt aus \ref{lemma:mork-crit-for-k-inj} + und daraus, dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$ exakt und \[ \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S}) - .\] - \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv - und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$ - ist dann mit \ref{hom-cohom-func} + .\] + \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$ + mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv + und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$ + ist dann mit \ref{hom-cohom-func} die Folge \[ - \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} - \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) - \to + \begin{tikzcd} + \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r} + & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r} + & \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0} + \end{tikzcd} + .\] + \[ \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt - $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun - mit \hyperref[TR2]{TR2}. + $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv. + Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}. \end{enumerate} \end{proof} @@ -785,34 +830,34 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} & \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0} \end{tikzcd} - .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus. + .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv ist, also folgt der behauptete Isomorphismus. (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach - \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$. + \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{S} \to \com{T} $ , sodass $tf= 0$. Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $ injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$ \[ \begin{tikzcd} - & \com{M} & \\ + & \com{Y} & \\ \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} \end{tikzcd} - \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also + \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also kommutiert \[ \begin{tikzcd} & \com{S} \arrow{d}{s} & \\ - \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\ - & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\ + \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\ + & \com{Y} \arrow{u}{\text{id}} & \\ \end{tikzcd} .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$. (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also \[ - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) - \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} ) - = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0 + \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) + \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) + = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0 .\] \end{proof} @@ -823,13 +868,13 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$ \[ \begin{tikzcd} - & \com{M} \arrow{d}{s} \\ - \com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\ + & \com{X} \arrow{d}{s} \\ + \com{P} \arrow{r}{f} & \com{Y}\\ \end{tikzcd} - \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d. + \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass $sg= f$ in $\mathcal{K}$. - \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein - $v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$. + \item Für alle Quasiisomorphismen $s\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein + $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$. \end{enumerate} \end{satz} @@ -840,7 +885,8 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\ \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y} \end{tikzcd} - .\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein + .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, induziert $s$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$. + Also existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj} (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$. @@ -850,16 +896,18 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} & \com{S} \arrow{d}{s} \\ \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} \end{tikzcd} - .\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$. + .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, + existiert mit (ii) ein $g\colon \com{P} \to \com{S}$, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$. - (iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für + (iii)$\implies$(i): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für $\com{S} \in \mathcal{K}$ $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist. Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann - existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$. - Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also + existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{T} \to \com{P} $ + mit $ft = 0$. + Also existiert mit (iii) ein $g\colon \com{P} \to \com{T} $, sodass $tg = \text{id}_{\com{P} }$, also \[ - f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0 + f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}g = 0 .\] Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm \[ @@ -894,23 +942,17 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog: \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\ \com{X} \end{tikzcd} - \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm + \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, sodass das Diagramm kommutiert. - \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein - $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$. + \item Für jeden Quasiisomorphismus $s\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein + $g\colon \com{S} \to \com{I} $, sodass $gs = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$. \end{enumerate} \label{satz:mork=mord-for-k-inj} \end{satz} \subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme} -In der Notation von -\ref{satz:existence-derived-functors} -möchten wir die Klasse der K-injektiven bzw. K-projektiven Komplexe als $\mathcal{L}$ -für die Funktoren -$\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$ bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ für $\com{M} \in \mathcal{K}$ verwenden. - -Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive bzw. eine K-projektive +Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive und eine K-projektive Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen. \begin{definition}[Spezielles inverses System] @@ -931,11 +973,9 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist. \end{enumerate} + \label{def:special-inv-system} \end{definition} -Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe -abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata: - % TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt %\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit % $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$ @@ -974,143 +1014,180 @@ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die fol $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$. \end{proof} -Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass die Klasse der exakten Komplexe abgeschlossen ist bezüglich spezieller -inverser Limites. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir ein technisches Hilfswerkzeug. - -Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in -$\mathcal{A}b$. +Im Folgenden zeigen wir, dass die Klasse der K-injektiven Komplexe +abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu zeigen wir zunächst, dass dies für die Klasse +der exakten Komplexe gilt. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir dafür ein +technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. \begin{definition} - Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende - Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den - von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$. + %Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende + %Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den + %von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$. - Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung + Ein inverses System $(M_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: \begin{enumerate}[(i)] - \item $I$ genügt Bedingung (S). \item $M_1 = 0$. - \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv. + \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv. \end{enumerate} + %Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung + %(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: + %\begin{enumerate}[(i)] + % \item $I$ genügt Bedingung (S). + % \item $M_1 = 0$. + % \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv. + %\end{enumerate} + \label{def:cond-r} \end{definition} +\begin{bsp} + Spezielle inverse Systeme erfüllen (R). +\end{bsp} + \begin{lemma} - Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (S) genügt und seien - $(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$ + Seien + $(A_n)_{n \in \N}$, $(B_{n})_{n \in \N}$, $(C_n)_{n \in \N}$ und $(D_n)_{n \in \N}$ inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien \begin{equation} \begin{tikzcd} - (A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} & - (C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I} + (A_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(f_n)_{n \in \N}} & (B_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(g_n)_{n \in \N}} & + (C_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(h_n)_{n \in \N}} & (D_n)_{n \in \N} \end{tikzcd} \label{eq:0.11-inv-systems} \end{equation} - Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$ - für $i \in I$ und sei + Morphismen von inversen Systemen mit $g_n \circ f_n = 0 = h_n \circ g_n$ + für $n \in \N$ und sei \[ \begin{tikzcd} A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D \end{tikzcd} - \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$ - seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne - der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$ - und $D_i \to D_{i-1}$. + \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $n \in \N$ mit $n > 1$ + seien $A_n'$, $B_n'$, $C_n'$ und $D_n'$ die jeweiligen Kerne + der Übergangsabbildungen $A_n \to A_{n-1}$, $B_n \to B_{n-1}$, $C_n \to C_{n-1}$ + und $D_n \to D_{n-1}$. - Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge + Sei weiter $N \in \N$, s.d. für alle $n > N$ die Folge \[ \begin{tikzcd} - A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i' + A_n' \arrow{r} & B_n' \arrow{r} & C_n' \arrow{r} & D_n' \end{tikzcd} \] exakt ist. Dann ist die natürliche Abbildung \[ - \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j + \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_N / \text{im } f_N \] ein Isomorphismus. \label{0.11} \end{lemma} \begin{proof} - Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei - $j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm: + Sei + $N \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das folgende kommutative Diagramm und + mache Diagrammjagd. \begin{equation} \begin{tikzcd} - A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r} - & \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d} + A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow[hookrightarrow]{r} + & \text{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d} & B \arrow{r}{g} \arrow{d} & C \arrow{r}{h} \arrow{d} & D \arrow{d} \\ - A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r} - & \text{ker } g_j \arrow{r} - & B_j \arrow{r}{g_j} - & C_j \arrow{r}{h_j} - & D_j \\ - A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u} - & \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u} - & B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B} - & C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C} - & D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\ - \text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & & - & \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u} - & \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u} - & \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\ + A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \text{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r} + & \text{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r} + & B_N \arrow{r}{g_N} + & C_N \arrow{r}{h_N} + & D_N \\ + A_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_{A}} + & \text{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u} + & \text{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u} + & B_{N+1} \arrow{r}{g_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_B} + & C_{N+1} \arrow{r}{h_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_C} + & D_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_D} \\ + \text{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & & + & \text{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u} + & \text{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u} + & \text{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\ \end{tikzcd} \label{eq:0.11-diag} \end{equation} - Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$. - Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv, - existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei - $y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ, - ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles - System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist - $b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$, + Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_N \in \text{im }f_N$. + Dann existiert ein $a_N \in A_N$, sodass $f_N(a_N) = b_N$. Da $p_A$ surjektiv ist, + existiert ein $x \in A_{N+1}$, sodass $p_A(x) = a_N$. Sei + $y = f_{N+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ ist, + folgt + \[ + p_B(y) = p_B(f_{N+1}(x)) = f_N(p_A(x)) = f_N(a_N) = b_N + .\] Da $(b_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles + System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{N+1}) = b_N$. Also ist + $b_{N+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \text{ker } g_{N+1}$, existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$, - sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun - setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist - $f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn - $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible - Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze - $a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag} - liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit - $f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$ - - Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein - $y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$. + sodass $f_{N+1}(\tilde{x}) = b_{N+1} - y$. Nun + setze $a_{N+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist + \[ + f_{N+1}(a_{N+1}) = f_{N+1}(\tilde{x} + x) = b_{N+1} - y + y = b_{N+1} + \] + und + \[ + p_{A}(a_{N+1}) = p_{A}(\tilde{x} + x) = p_{A}(x) = a_N + ,\] denn $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible + Familie $(a_{n})_{n\ge N}$ mit $f(a_n) = b_n$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze + $a_n \coloneqq p_{A_{n+1}}(a_{n+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag} + liefert dann, dass $(a_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist mit $f(a_{n}) = b_n$ für alle $n \in \N$. + + Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein + $y \in B_{N+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{N+1}(y)$. Aufgrund der Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag} ist dann - $p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also - folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt - $h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun - ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist - $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$. - Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$. + \[ + p_C(z) = p_C(g_{N+1}(y)) = g_N(p_B(y)) = g_N(b) = 0 + ,\] + also + folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt + \[ + h_{N+1}(z) = h_{N+1}(g_{N+1}(z)) = 0 + .\] + Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun + ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist + $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{N+1}$ und + \[ + p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b + .\] + Setze $b_{N+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_N \coloneqq b$. Dann konstruiere induktiv eine kompatible - Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie - oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von - \eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit - $b_j = b$. + Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \text{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie + oben $b_n \coloneqq p_{B_{n+1}}(b_{n+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von + \eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist. \end{proof} +\begin{bem} + Falls in der Situation von \ref{0.11}, $N= 1$ gewählt werden kann, folgt wegen $A_1 = B_1 = C_1 = D_1 = 0$, + dass die Folge + \[ + \begin{tikzcd} + A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C + \end{tikzcd} + \] exakt ist. +\end{bem} -\begin{lemma} - Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. +\begin{korollar} + Die Klasse $\mathcal{E}$ der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. \label{lemma:exact-comp-complete-inv} -\end{lemma} +\end{korollar} \begin{proof} - Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$ - erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt + Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{E}$-spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$ + erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{def:cond-r}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt \[ (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N} - \] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$ - exakt ist. Also ist + \] die Bedingungen von \ref{0.11} für $N = 1$, + da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$ + exakt ist. Also ist die Folge \[ \begin{tikzcd} \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\ (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1} \end{tikzcd} - \] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt. + \] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig war, folgt dass $\lim S_n$ exakt ist. \end{proof} \begin{satz} @@ -1126,9 +1203,10 @@ $\mathcal{A}b$. \begin{proof} Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist - $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn + $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, denn \begin{enumerate}[(i)] - \item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms + \item $F(S_1) = F(0) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der (inverse) + Limes des leeren Diagramms ist. \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung \[ @@ -1144,7 +1222,7 @@ $\mathcal{A}b$. \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$. \end{enumerate} - Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$. + Also ist $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$. \end{proof} \begin{korollar}[] @@ -1157,26 +1235,26 @@ $\mathcal{A}b$. \end{korollar} \begin{proof} - Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei - $\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass + Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei + $\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann - ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt + ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. + $\mathcal{E}$ mit $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn: \begin{enumerate}[(i)] \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist - $\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. - \item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und - vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also + $\mathcal{E}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. + \item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites. + Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also gradweise zerfallende Folgen. \end{enumerate} - Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$ + Also ist $\mathcal{H}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{H}_{\com{T} }$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. - - Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird. + Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{E}$ gesetzt wird. \end{proof} -Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse: +Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}: \begin{definition}[Spezielles direktes System] Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen. @@ -1198,8 +1276,8 @@ Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebniss \end{enumerate} \end{definition} -Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}. -Ebenfalls analog gilt: +Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class} +und insbesondere die folgenden Ergebnisse: % brauche ich nicht %\begin{lemma}