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--- /dev/null
+++ b/ws2019/ana/lectures/analysis16.tex
@@ -0,0 +1,216 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+Folgerung: Sei $f\colon D \to \R$ stetig in $a \in D$ und $f(a) \neq 0$. Dann $\exists \delta > 0$
+mit $f(x) \neq 0$ für alle $x \in D \cap ]a-\delta, a + \delta[$, d.h.
+es ex. Umgebungen von $a$, s.d. $f(x) \neq 0$ für alle Punkte
+in dieser Umgebung.
+
+\begin{proof}
+    Wähle $\epsilon := \frac{|f(a)|}{4} > 0$. Dann $\exists \delta > 0$
+    mit $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ $\forall x \in D$ 
+    mit $|x - a| < \delta$. \\
+    \[
+        \implies |f(x)| \ge |f(a)| - |\underbrace{f(x)-f(a)}_{< \epsilon}| > |f(a)| - \frac{|f(a)|}{4} = \frac{3}{4} |f(a)| > 0 
+    .\] $\forall x \in D$ mit $|x - a| < \delta$
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+        \item Es sei $f, g: D \to \R$ stetig in $a \in D$. Dann
+            sind $\lambda f + \mu g$ $\forall \lambda, \mu \in \R$, $f\cdot g$ und falls
+            $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$ $\frac{f}{g}$ stetig in $a$.
+        \item  Sei $f$ stetig in $a \in D$ mit $f(D) \subset \overline{D} \subset \R$
+            und $h\colon \overline{D} \to \R$ stetig in $f(a)$. Dann
+            ist die Komposition $(h\circ f)\colon D \to R, (h\circ f)(x) := h(f(x))$
+            stetig in $a$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item folgt aus Rechenregeln für konvergente Folgen. z.B.: $(x_n)_{n \in \N}$ eine
+            Folge in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Dann
+            \[
+            (f+g)(a) = \lim_{n \to \infty} (f+g)(x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) + \lim_{n \to \infty} g(x_n)
+            = f(a) + g(a)
+            .\] 
+        \item Sei $(x_n)_{n\in\N}$ Folge in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Dann:
+            \[
+                \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{y_n := f(x_n)} = b =: f(a)
+            .\] $(y_n)_{n\in\N}$ Folge in $\overline{D}$. Aus Stetigkeit von $h$ in $b$ folgt:
+            \[
+                \lim_{n \to \infty} h(y_n) = h(b) \implies \lim_{n \to \infty} \underbrace{h(f(x_n))}_{(h \circ f)(x_n)} = h(f(a))
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item Alle Polynome
+            \[
+                f(x) := \sum_{k=0}^{n} a_k x^{k}
+            .\] sind stetig in $\R$.
+        \item Rationale Funktionen $\frac{f}{g}$ mit Polynomen
+            $f, g$ $(g \neq 0)$ sind stetig in $D := \{x \in \R  \mid g(x) \neq 0\} $.
+        \item $f$ stetig in $D$, dann ist auch $|f|\colon D \to \R$
+            stetig, als Komposition: $(|\cdot | \circ f)(x)$.
+        \item Heaviside Funktion ist stetig $\forall x \in R \setminus \{0\} $.
+        \item Dirichlet-Funktion $f\colon \R \to \R$
+            \[
+                f(x) = \begin{cases}
+                    1 & x \in \Q \\
+                    0 & x \in \R \setminus \Q
+                \end{cases}
+            .\] ist in keinem Punkt stetig.
+            \begin{proof}
+                Sei $a \in \Q$. Es existiert eine Folge
+                \[
+                x_n := a + \frac{\sqrt{2} }{n} \in \R \setminus \Q \text{ mit } \lim_{n \to \infty} x_n = a
+                .\] aber
+                \[
+                    \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{= 0} = 0 \neq 1 = f(a)
+                .\] Sei $a \in \R \setminus \Q$. Es ex. eine Folge von
+                rationalen Zahlen $x_n$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.
+                $x_n \in \Q$ $\forall n \in \N$ (Konstruktion von reellen Zahlen) es gilt
+                \[
+                    \lim_{n \to \infty} \underbrace{f(x_n)}_{= 1} = 1 \neq 0 = f(a)
+                .\] 
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\subsection{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen}
+
+\begin{definition}[offene, abgeschlossene, kompakte Mengen]
+    Eine Menge $D \subset \R$ heißt offen, falls $\forall  x \in D$
+    $\exists r > 0$ mit
+    \[
+        B_r(x) := \; ]x - r, x + r[ \; \subset D
+    .\] d.h. jeder Punkt besitzt eine Umgebung, welche ganz
+    in $D$ liegt.
+
+    Eine Menge $D \subset \R$ heißt abgeschlossen, falls
+    die Grenzwerte von konvergenten Folgen aus $D$ wieder in $D$ liegt, d.h.
+    $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \implies x_0 \in D$.
+
+    $D \subset \R$ heißt kompakt, falls $D$ beschränkt und abgeschlossen
+    ist. (beschränkt $\stackrel{\text{def.}}{=}$ $\exists C > 0$ mit
+    $|x| < C$ $\forall x \in D$ )
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $]0,1[$ ist offen. $\forall x \in \; ]0,1[$ setze
+            $r := \frac{1}{2} \text{min}\{x, 1 - x\} $.
+            Man kann zeigen, dass $B_r(x) \subset \; ]0, 1[$ 
+
+            $]0, 1[$ ist nicht abgeschlossen, weil $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \N} \subset \; ]0, 1[$.
+            mit $\frac{1}{n} \to 0 \not\in \; ]0, 1[$.
+        \item $[0,1]$ ist kompakt. $x \in [0,1] \implies |x| \le 1 \implies [0,1]$ beschränkt.
+
+            Sei $(x_n)_{n \in \N}$ in $[0,1]$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$. Dann
+            gilt
+            \[
+                0 \le x_n \le 1 \; \forall n \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} 0 \le x_0 \le 1 \implies x_0 \in [0,1] \quad \text{abgeschlossen}
+            .\] 
+
+            $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
+        \item $\R$ ist offen, abgeschlossen aber nicht kompakt.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}[Folgenkompakt]
+    $D \subset \R$ ist kompakt genau dann wenn, alle Folgen $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ 
+    eine konvergente Teilfolge enthalten mit Grenzwert in $D$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{itemize}
+        \item ,,$\implies$ '' Sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $D$,
+            Folge $(x_n)_{n\in\N}$ beschränkt $\implies$ nach Satz
+            von Bolzano-Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge
+            $(x_{n_k})_{k\in\N} \subset D$ $\stackrel{D \text{ abgeschlossen}}{\implies} \lim_{k \to \infty} x_{n_k} \in D$ 
+        \item ,,$\impliedby$'' Angenommen. $D$ ist unbeschränkt, d.h.
+            $\forall n \in \N$ $\exists x_n \in D$ mit $|x_n| \ge n$.
+
+            Dann enthält $(x_n)_{n\in\N}$ keine konvergente Teilfolge, weil alle
+            Teilfolgen unbeschränkt sind. Widerspruch $\implies$ $D$ ist beschränkt.
+
+            Bleibt zu zeigen: $D$ ist abgeschlossen. Sei $(x_n)_{n\in\N}$ in $D$ mit
+            $x_n \to x_0, n \to \infty$. Nach Voraussetzungen
+            existiert eine konvergente Teilfolge von $(x_n)_{n \in \N}$ mit Limes
+            in $D$. Da alle Teilfolgen ebenfalls gegen $x_0$ konvergieren folgt, dass
+            $x_0 \in D$.
+    \end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Das stetige Bild kompakter Mengen ist kompakt]
+    Sei $f\colon D \to \R$ stetig mit $D \subset \R$ kompakt. Dann
+    ist $f(D) = \{ f(x)  \mid x \in D\} $ kompakt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Zu zeigen: $f(D)$ ist kompakt. Sei $(y_n)_{n\in\N}$ eine Folge
+    in $f(D)$. Dann ex. eine Folge $(x_n)_{n\in\N} \subset D$ mit
+    $f(x_n) = y_n$ $\forall n \in \N$ ($f$ stetig).
+
+    $D$ kompakt $\implies$ $\exists $ Teilfolge $(x_{n_k})_{k \in\N}$ mit
+    $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in D $.
+    \[
+        f \text{ stetig } \implies f(x_{n_k}) = \underbrace{y_{n_k}}_{\text{Teilfolge in }f(D)} \to f(x_0) \in f(D)
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Supremum, Infimum, Maximum, Minimum reellwertiger Funktionen]
+    Sei $f \colon D \to \R$, $D \subset \R$.
+
+    \begin{align*}
+        \operatorname{sup}_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x)  \mid x \in D\}  \\
+                                                & := \text{sup } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
+    .\end{align*}
+    \begin{align*}
+        \operatorname{inf}_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
+    .\end{align*}
+    Falls $B_f := f(D)$ beschränkt ist, dann $\exists $ inf und sup.
+
+    $x_min \in D$ heißt Minimum, $x_max$ Maximum von $f$, falls
+    \[
+    \begin{cases}
+        \text{inf } f(x) = f(x_{min}) =: \text{min } f(x) \\
+        \text{sup } f(x) = f(x_{max}) =: \text{max } f(x)
+    \end{cases}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Stetige reelwertige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen
+    ihr Minimum und Maximum an, d.h.
+    $f\colon D \to \R$ stetig, $D$ kompakt, dann ex. $x_{min}, x_{max} \in D$ mit \\
+    $f(x_{min}) = \text{inf } \{f(x)  \mid x \in D\} $ \\
+    $f(x_{max}) = \text{sup } \{f(x)  \mid x \in D\} $
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Folgt aus Satz. Zunächst $f(D)$ ist beschränkt, d.h.
+    dass Supremum und Infimum von  $f(D)$ existieren. Nach Definition von
+    $s := \text{sup }\{f(x)  \mid x \in D\} $ ex. eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$
+    in $D$ mit $f(x_n) \to s, n \to \infty$. $(x_n)_{n\in\N}$ hat
+    eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})_{k \in\N}$ mit
+    $x_{n_k} \to x_{max}$, $k \to \infty$, $x_{max} \in D$.\\
+    $\implies$ $f(x_{n_k}) \to f(x_{max}), k \to \infty$\\
+    $\implies$ Behauptung für Supremum
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Zwischenwertsatz]
+    Sei $f\colon \underbrace{[a,b]}_{\text{kompakt}} \to \R$ stetig
+    mit $f(a) \neq f(b)$.
+    Dann gibt es zu jedem $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ($*$)
+    mindestens ein $c \in [a,b]$ mit $f(c) = y$.
+
+    $*$ d.h. $f(a) \le y \le f(b)$ falls $f(a) \le f(b)$,
+    sonst $f(b) \le y \le f(a)$)
+\end{satz}
+
+\end{document}