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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Algebra I: Übungsblatt 5}
+\author{Lukas Nullmeier, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $L$ ist ein Zerfällungskörper von $X^{4} - 2 \in \Q[X]$.
+            \begin{proof}
+                Es ist zunächst
+                \[
+                    X^{4} - 2 = (X^2 - \sqrt{2} )(X^2 + \sqrt{2}) = (X - \sqrt[4]{2})(X + \sqrt[4]{2})(X + i \sqrt[4]{2})(X - i \sqrt[4]{2})
+                .\] Weiter ist $i \in \Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2})$, denn
+                \[
+                    \Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) \ni  \frac{1}{2} \sqrt[4]{2}  (i \sqrt[4]{2} )(\sqrt[4]{2})^2
+                    = i
+                .\] Also $\Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) = \Q(\sqrt[4]{2}, i) = L$, also
+                $L$ Zerfällungskörper von $X^{4} - 2$.
+            \end{proof}
+        \item Es ist $\Q \subseteq L$ endliche Körpererweiterung und $\text{char}(\Q) = 0$, also
+            folgt mit dem letzten Zettel
+            \[
+            8 = [ L \colon \Q] = [ L \colon \Q]_s = \# \text{Hom}_\Q(L, \overline{\Q})
+            \] 
+            mit $\overline{\Q}$ ein algebraischer Abschluss von $\Q$. Da jeder
+            $\Q$-Automorphismus von $L \subseteq \overline{Q}$
+            insbesondere $\Q$-Homomorphismus $L \to \overline{Q}$, folgt
+            \[
+                \# \text{Aut}_\Q(L, L) \le 8
+            .\] Sei $x \in \Q(L, L)$. Dann gilt für $a_0, \ldots, a_7 \in \Q$:
+            \[
+                x = a_0 + i a_1 + \sqrt[4]{2} a_2 + \sqrt[4]{2}^{3} a_3 +
+                \sqrt{2} a_4 + i \sqrt[4]{2} a_5 + i \sqrt{2}  a_6 + i \sqrt[4]{2} a_7
+            .\] Diese Darstellung ist eindeutig, da die Vorfaktoren der $a_i$ eine
+            $\Q$ Basis von $L$ darstellen.
+            Sei nun $\tau_i \colon L \to L$ für $i \ge 1$ mit
+            $\tau_i$ ändert Vorzeichen des $i$-ten Koeffizienten. Dabei bezeichne
+            $\tau_0 = \text{id}_L$. Da $\sigma \colon \Q \to \Q, r \mapsto -r$ ein Körperhomomorphismus
+            folgt durch Nachrechnen, dass die $\tau_i$ ebenfalls Körperhomomorphismen sind. Dabei
+            ist $\tau_i \mid_\Q = \text{id}$, da für $x \in \Q$ folgt $x = a_0$ und
+            damit $\tau_i(x) = \tau_i(a_0) = a_0 = x$.
+
+            Die $\tau_i$ sind bereits $8$ $\Q$-Automorphismen von $L$, d.h. mit der Vorüberlegung alle
+            $\Q$-Automorphismen von $L$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $L = \Q(\sqrt{2} e^{i \pi /4}, -\sqrt{2}e^{i \pi /4}, \sqrt{2}  e^{- i \pi / 4}, - \sqrt{2} e^{- i \pi / 4} $, denn
+            \[
+                X^{4} + 4 = (X^2 - 2i)(X^2 + 2i)
+                = (X - \sqrt{2} e^{\pi i /4})
+                (X + \sqrt{2} e^{\pi i /4})(X - \sqrt{2}e^{- \pi i /4})
+                (X + \sqrt{2} e^{- \pi i/4})
+            .\]
+        \item $L = \Q\left(\left( \exp\left( \frac{k \pi}{4} \right)  \right)_{k=1}^{8}\right)$, denn
+            das sind gerade die $8$-ten Einheitswurzeln, also folgt
+            \[
+                X^{8} - 1 = \prod_{k=1}^{8} (X - e^{k \pi i /4})
+            .\] 
+        \item $L = \Q\left(\sqrt{\sqrt{3} -1}, - \sqrt{\sqrt{3} -1}, \sqrt{-\sqrt{3} -1}, - \sqrt{-\sqrt{3} - 1} \right)$
+            , denn
+            \begin{salign*}
+                X^{4} + 2 X^2 -2 &= (X^2 + 1 - \sqrt{3}) (X^2 +1 + \sqrt{3}) \\
+                &= \left(X - \sqrt{\sqrt{3} -1} \right)
+                \left( X + \sqrt{-1 + \sqrt{3} }  \right)
+                \left( X - \sqrt{-1 - \sqrt{3} }  \right) 
+                \left( X + \sqrt{-1 - \sqrt{3} }  \right) 
+            .\end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $L = K(\alpha)$.
+            \begin{proof}
+                Es ist $[L \colon K] = n$. Da $\sigma_i$ $K$-Automorphismus,
+                ist $\sigma \coloneqq \sigma_i |_K = \text{id}$. 
+
+                Sei nun $f$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$.
+                Dann
+                ist $f^{\sigma} = f^{\text{id}} = f$. Betrachte
+                $\sigma_i'\colon K(\alpha) \to L$ mit $\sigma_i' = \sigma_i|_{K(\alpha)}$. Dann
+                setzt $\sigma_i'$ $\sigma$ fort, es folgt also mit 3.40
+                $\sigma_i'(\alpha)$ Nullstelle von $f^{\sigma} = f$. Da
+                die $\sigma_i'(\alpha)$ paarweise verschieden, folgt
+                $\text{deg}(f) \ge n$. Da $\text{deg}(f) = [K(\alpha) \colon K] \le [ L \colon K] = n$ folgt
+                $\text{deg}(f) = n$. Damit folgt mit Gradsatz
+                \[
+                    n = [L \colon K] = [ L \colon K(\alpha)] [ K(\alpha) \colon K]
+                    = [L \colon K(\alpha) ] n \implies [ L \colon  K(\alpha)] = 1
+                .\] Also $L = K(\alpha)$.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Jeder $K$ Homomorphismus $\sigma\colon L \to L$ ist Automorphismus.
+            \begin{proof}
+                Sei $\sigma\colon L \to L$ ein $K$-Hom.
+                Sei $\alpha \in L$ und $f \in K[X]$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $L$. Seien
+                weiter $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ Nullstellen von $f$ über $L$ mit
+                $\Gamma \coloneqq \{ \gamma_1, \ldots, \gamma_r\} $. Dann gilt, da
+                $\sigma|_K = \text{id}$ und $\sigma$ Ringhom, folgt
+                \[
+                    f(\sigma(\gamma)) = \sigma (f(\gamma)) = \sigma(0) = 0 \qquad \forall \gamma \in \Gamma
+                .\] Damit gilt $\sigma(\Gamma) \subseteq \Gamma$. Da $\sigma$ als Körperhom.
+                injektiv und $\Gamma$ endlich (da $\# \Gamma \le \text{deg}(f) < \infty$)
+                folgt $\sigma(\Gamma) = \Gamma$, also $\exists \gamma \in \Gamma\colon \sigma(\gamma) = \alpha$.
+
+                Also ist $\sigma$ auch surjektiv und damit bijektiv.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $K \subseteq R \subseteq L$ Unterring. Beh.: $R$ Körper.
+            \begin{proof}
+                Sei $\alpha \in R \setminus \{0\} $. Dann ist $\alpha \in L$ algebraisch über $K$, also
+                sei $f \in K[X]$ Minimalpolynom zu $\alpha$ mit
+                \[
+                f = X^{n} + c_{n-1} X^{n-1} + \ldots + c_0
+                \] für $c_i \in K$. Es ist $c_0 \neq 0$, da $f$ irreduzibel. In $L$ existiert
+                $\alpha ^{-1}$. Damit folgt
+                \begin{salign*}
+                    0 = \alpha ^{-1}f(\alpha) = \alpha ^{-1} (\alpha^{n} + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \ldots + c_0)
+                    = \alpha^{n-1}+ c_{n-1}\alpha^{n-2} + \ldots + c_0 \alpha^{-1}
+                .\end{salign*}
+                Da $c_0 \neq 0$ folgt
+                \begin{salign*}
+                    \alpha^{-1} = - c_0^{-1} (\alpha^{n-1}+c_{n-1}\alpha^{n-2} + \ldots + c_1)
+                .\end{salign*}
+                Da $\alpha \in R$, $c_i \in K$ und $R$ Ring mit $K \subseteq R$ folgt
+                $\alpha^{-1} \in R$.
+            \end{proof}
+        \item Es bezeichne $R$ die Menge aus der Aufgabenstellung. Beh.: $EF = R$.
+            \begin{proof}
+                \begin{enumerate}[(i)]
+                    \item Z.z.: $R$ Ring. Da $K \subseteq E, F$ ist $1 = 1_K 1_K \in R$ und $0 = 0_K 0_K \in R$.
+                        Weiter seien $x, y \in R$ mit $x = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$
+                        und $y = \sum_{i=1}^{m} c_i d_i$ mit $a_i, c_i \in E$, $b_i, d_i \in F$. Durch
+                        Ergänzung der $a_i$ und $b_i$ am Ende durch $c_i$ bzw. $d_i$ folgt direkt
+                        \[
+                        x + y = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{i=1}^{m} c_i d_i
+                        = \sum_{i=1}^{n+m} a_i b_i \in R
+                        .\] Für $x y$ entstehen durch Ausmultiplizieren Summanden
+                        der Form $a_i b_i c_j d_j = \underbrace{a_i c_j}_{\in E} \underbrace{b_i d_j}_{\in F}$,
+                        also folgt durch Umbenennung $xy \in R$ aus $x + y \in R$.
+                        Da $E$ und $F$ Körper übertragen sich Assoziativ und Distributivgesetz
+                        direkt auf $R$. Auch additive Inverse existieren, da $E, F$ Körper sind folgt
+                        \[
+                            x + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} -(a_i b_i)}_{=: -x} = \sum_{i=1}^{n} (a_i b_i - a_i b_i) = 0
+                        .\] Also $-x \in R$.
+                    \item Sei nun $H \subseteq L$ Körper, der $E$ und $F$ enthält, dann
+                        folgt insbesondere $R \subseteq H$.
+                    \item Nach (i) ist $R$ Ring und offensichtlich Teilring von $L$, damit
+                        nach (a) Körper und wegen (ii) kleinster Teilkörper von $L$, der
+                        $E$ und $F$ enthält. Also $EF = R$.
+                \end{enumerate}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Sind $[ E \colon K]$ und $[F \colon K]$ endlich, so auch $[EF \colon K]$ und es
+            gilt
+            \[
+                [EF \colon K] \le [ E \colon K ] [ F \colon K]
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                Seien $[E \colon K]$, $[F \colon K]$ endlich. Dann sind $E$ und $F$ e.d.
+                als $K$ VR, insbesondere existieren $\alpha_i$, $\beta_i$, s.d.
+                $(\alpha_i)_{i=1}^{n}$ Basis von $E$ und $(\beta_i)_{i=1}^{m}$ Basis von $F$. Wegen (b)
+                ist damit $(\alpha_i \beta_j)_{i, j =1}^{n, m}$ endliches Erzeugendensystem
+                von $EF$ der Länge $nm$. Damit folgen beide Behauptungen.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}
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