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sose2020/theo/uebungen/theo1.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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+\usepackage{siunitx}
+
+\begin{document}
+
+\title{Theoretische Physik II: Übungsblatt 1}
+\author{Christian Merten}
+
+\begin{aufgabe}[Gravitative Lichtablenkung]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Die Lichtteilchen befinden sich offenbar auf ungebundenen Bahnen, da wir das Licht sehen können. Außerdem ist
+            $E > 0$, also bewegen sich die Lichtteilchen auf einer Hyperbelbahn.
+        \item $L = b m v_{\infty}$, mit $b = R = R_{\text{Sonne}}$ und $v_{\infty} = c$ folgt $L = Rmc$.
+        \item $r(\varphi) = \frac{p}{1 + \epsilon \cos(\varphi)}$. Für $r \to \infty$ folgt
+            $1 + \epsilon \cos \varphi \to 0$. Damit folgt
+            $\overline{\varphi} = \arccos\left( -\frac{1}{\epsilon} \right) $.
+
+            Für die numerische Exzentrizität gilt
+            \[
+            \epsilon
+            = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{m \alpha^2}}
+            = \sqrt{1 + \frac{c^4 R^2}{G^2M^2}}
+            .\] $\epsilon$ ist also masseunabhänig.
+            
+            $\varphi_a = \overline{\varphi} \implies \varphi_e = \pi - \overline{\varphi}$.
+        \item Mit (c) folgt $\vartheta = \varphi_a - \varphi_e = 2\overline{\varphi} - \pi$. Damit folgt
+            \begin{align*}
+                \vartheta &= 2\cdot \arccos\left( -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{c^4 R^2}{G^2M^2}}} \right) - \pi \\
+                &= 2\cdot \arccos\left( -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{(\SI{3e8}{ms^{-1}})^4 (\SI{7e8}{m})^2}
+                {(\SI{6.7e-11}{m^{3}kg^{-1}s^{-2}})^2(\SI{2e30}{kg})^2}}} \right) - \pi \\
+                &= \ang{;;0.88}
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Freier Fall auf zwei Wegen]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Hier bezeichnen die Integrationskonstanten $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und
+            $h_0$ die Anfangshöhe.
+            \begin{align*}
+                \ddot{x}(t) &= -g \\
+                \dot{x}(t) &= -gt + v_0 \\
+                x(t) &= -\frac{1}{2} gt^2 + v_0t + h_0
+            .\end{align*}
+        \item Zunächst: Lösung der homogenen DGL $\ddot{x}(t) = 0$. Zu erwarten ist ein Fundamentalsystem
+            von zwei linear unabhängigen Lösungen:
+            \begin{align*}
+                x_1(t) &= 1 \\
+                x_2(t) &= t
+            .\end{align*}
+            Diese sind offensichtlich linear unabhängig. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
+            $\ddot{x}(t) = -g$ ist:
+            \[
+                x_p(t) = -\frac{1}{2} gt^2
+            .\] 
+            Damit erhalten wir die allgemeine Lösung:
+            \begin{align*}
+                x(t) &= A x_1(t) + B x_2(t) + x_p(t) \\
+                     &= A + B t - \frac{1}{2} gt^2
+            .\end{align*}
+            Mit $A = h_0$ und $B = v_0$ folgt damit erneut:
+            \begin{align*}
+                x(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} gt^2
+            .\end{align*}
+        \item Die allgemeinen Lösungen in a) und b) sind wie zu erwarten die gleichen. Durch das schrittweise
+            Integrieren in a) müssen Integrationskonstanten hinzugefügt werden, um die Allgemeinheit der
+            Lösung zu erhalten.
+
+            Bei b) wird die Allgemeinheit durch die Linearkombination der zwei linear unabhängigen Lösungen
+            $x_1$ und $x_2$ sicher gestellt.
+    \end{enumerate}
+
+    \begin{aufgabe}[Gekoppelte Wasserbecken]
+        \begin{enumerate}[a)]
+            \item Becken A: Der Wasserabfluss ist proportional zum Wasservolumen. $f_A$ ist der
+                Proportionalitätsfaktor. Wegen $f_A < 0$ fließt das Wasser ab. Es handelt sich
+                um eine homogene DGL.
+
+                Becken B: Hier gibt es einen Wasserabfluss $-f_B V_B$, der proportional zum Wasservolumen ist.
+                $f_B$ ist hier der Proportionalitätsfaktor. Zudem gibt es einen Zufluss $f_AV_A$, der dem
+                Abfluss aus Becken A entspricht. Es handelt sich wegen $f_AV_A$ um eine inhomogene DGL.
+            \item Im folgenden sei $f = f_A = f_B$. Dann folgt:
+                \begin{align*}
+                    \frac{\d V_A}{\d t} &= - f V_A \\
+                    \frac{\d V_A}{V_A} &= -f \d t \\
+                    \ln(\V_A) &= -ft + C \\
+                    \intertext{Mit $V_{A,0} = e^{C}$ folgt}
+                    V_A &= V_{A,0} e^{-ft}
+                    \intertext{Für den homogenen Teil von $V_B$ folgt analog}
+                    V_{B_{h}} &= V_{B,0} e^{-ft}
+                .\end{align*}
+            \item Durch Variation der Konstanten $V_{B,0} = B(t)$ folgt $V_B(t) = B(t)e^{-ft}$. Damit
+                \begin{align*}
+                    \dot{V}_B &= \dot{B}e^{-ft} - f B e^{-ft} = \dot{B}e^{-ft} - f V_B
+                    \intertext{Durch Einsetzen in die Ausgangs DGL für B ergibt sich}
+                    \dot{B}e^{-ft} - fV_B &= - f V_B + f V_A
+                    \intertext{Mit $V_A = V_{A,0} e^{-ft}$ folgt}
+                    \dot{B} &= f V_{A,0}e^{-ft + ft} = f V_{A,0}
+                    \intertext{Durch Integration erhalten wir}
+                    B &= f V_{A,0} t + C
+                    \intertext{Mit $V_B(t = 0) = C \stackrel{!}{=}$ folgt $C = 0$. Damit folgt}
+                    V_B(t) &= f V_{A,0}t \cdot e^{-ft}
+                .\end{align*}
+            \item Das Volumen von B steigt zunächst durch den großen Abfluss von A an. Für sehr kleine
+                $t$ ist $e^{-ft} \approx 1$, das heißt der Anstieg kommt durch den linearen Teil $f V_{A,0} t$
+                zustande. Je größer das Volumen von B, desto mehr fließt auch ab, deswegen wird dann ein
+                Maximum erreicht, nach dem das Volumen monoton fällt.
+        \end{enumerate}
+    \end{aufgabe}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}