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ws2019/ana/lectures/analysis14.tex

@@ -0,0 +1,341 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{satz}[Majoranten Kriterium]
+    Es sei $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ eine reelle Reihe ($b_n \in \R$ $\forall n \in \N)$.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ konvergent und gilt
+            $|a_n| \le b_n$ ($a_n \in \mathbb{C}$ oder $\R$ ) für
+            fast alle $n \in \N$ (d.h. $\forall n \ge N_0)$, so
+            ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ absolut konvergent.
+
+            Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ heißt Majorante der Reihe
+            $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
+        \item Ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ divergent und $a_n \in \R$ mit
+            $a_n \ge |b_n|$ für fast alle $n \in \N$, so ist
+            die reelle Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent. Die
+            Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ heißt Minorante der Reihe
+            $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $(s_n)_{n\in\N}, (t_n)_{n\in\N}$ Partialsummen von
+            $(a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}$. Dann 
+            \[
+            |s_n - s_m| \le \sum_{k=m+1}^{n} |a_k| \le \sum_{k=m+1}^{n} b_k
+            = |t_n - t_m|
+        .\] $\implies (s_n)_{n \in \N}$ ist C.F.\\
+        $\implies (s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.
+        \item Ann. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ konvergiert
+            $\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ konvergente Majorante
+            zu $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \implies \sum_{n=1}^{\infty} b_n$
+            konvergiert. Widerspruch.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
+            \[
+                2^{n} = (1+1)^{n} \ge 1+n \quad \forall n
+                \implies \frac{n}{2^{n}} \le \frac{n}{1+n} < 1 \quad \forall n
+            .\] $\implies$
+            \[
+            \frac{n}{4^{n}} \le \frac{n}{2^{n}} \cdot \frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n}} \quad \forall n
+        .\] $\implies \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n}$ konvergente
+        Majorante für $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
+    \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } $ ist divergent, weil
+        $\frac{1}{\sqrt{n} } \ge \frac{1}{n}$ ($\sqrt{n} \ge 1$
+        $\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergente
+        Minorante.
+\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Quotientenkriterium]
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge mit $|a_n| \neq 0$ für fast alle
+    $n \in \N (a_n \in \mathbb{C} \text{ oder } \R)$.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Falls ein $0 < q < 1$ mit
+            \[
+            \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \le q \quad \forall n \in \N, n \ge N_0
+            ,\] dann ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolut konvergent.
+        \item Falls $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \ge 1 \quad \forall n \ge N_0$,
+            so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht sicher.
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\forall n \ge N_0$ gilt:
+            \[
+            |a_n| \le q |a_{n-1}| \le  \ldots \le q^{n-N_0} |a_{N_0}|
+            .\] $\implies \frac{|a_{N_0}}{q^{N_0}} \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$
+             ist konvergente Majorante.
+         \item $|a_n| \ge  |a_{n-1}| \ge \ldots \ge |a_n| \implies
+             (a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n$
+             divergiert.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Exponentialreihe]
+    $\forall z \in C$ :
+    \[
+        \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} =: \text{exp}(z) \text{ oder } e^{z}
+    .\] Zahl $e := \text{exp}(1)$
+    $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} $ absolut konvergent, für alle
+    $z \in \mathbb{C}$.
+    \[
+    a_n := \frac{z^{n}}{n!} \implies \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =
+    \frac{\frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^{n}}{n!}} = \frac{|z|}{n+1}
+    .\] Für $n \ge 2 |z|$ gilt:
+    \[
+    \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|z|}{n+1} \le \frac{1}{2} =: q < 1
+    .\] 
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Wurzelkriterium]
+    Es sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe
+    ($a_n \in \R$ oder $\mathbb{C}$ ).
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Falls $\exists \quad 0 < q < 1$ und $N_0 \in \N$ mit
+            \[
+                \sqrt[n]{|a_n|} \le q \quad \forall n \ge N_0
+            ,\] so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolut
+            konvergent.
+        \item Falls $\exists N_0$ mit $\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1 $ $\forall n \ge N_0$, so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Für $n \ge N_0$ ist $|a_n| \le q^{n} \implies$ konvergente
+            Majorante
+        \item $\sqrt[n]{|a_n|}  \ge 1 \implies |a_n| \ge 1 \implies (a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ Divergenz.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Im Quotientenkriterium und Wurzelkriterium wird gefordert:
+    \[
+        \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \text{ bzw. } \sqrt[n]{|a_n|}  \le q < 1
+    .\] Die Forderung $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ bzw. $\sqrt[n]{|a_n|} < 1$
+     reicht nicht: Bsp.: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ divergent.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Verdichtungskriterium von Cauchy]
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$, $a_n \in \R_{+}$, eine reelle, positive
+    monoton fallende Nullfolge. Dann gilt
+    \[
+    \sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ konvergent } \iff \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} a_{2k} \text{ konvergent}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    durch Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
+    \begin{enumerate}
+        \item $\alpha \le 0$: $\left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n \in \N} $ 
+            keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
+            divergent.
+        \item $\alpha > 0$ :
+            \[
+                \left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n \in \N}
+            .\] eine monoton fallende Nullfolge mit
+            \[
+                \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} \frac{1}{(2^{k})^\alpha}
+                = \sum_{k=1}^{\infty} (\underbrace{2^{1-\alpha}}_{=: q})^{k} =
+                \sum_{k=1}^{\infty} q^{k}
+            .\] mit $q = 2^{1-\alpha}$
+
+            Falls $|q| < 1 \iff $ konvergenz \\
+            d.h. $\alpha > 1 \iff $  konvergenz
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\subsection{Umordnen von Reihen}
+
+\begin{definition}[Umordnung]
+    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: N \to N$ eine
+    bijektive Abbildung.
+
+    Dann heißt $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)} =
+    a_{\tau(1)} + a_{\tau(2)} + \ldots$ eine Umordnung der Reihe
+    $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \[
+        \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots \text{ konvergiert}
+    .\] Umordnung:
+    \begin{align*}
+        1 - \frac{1}{2} &+ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}
+        - \frac{1}{6} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15}}_{> 4 \frac{1}{15} > \frac{1}{4}}
+        - \frac{1}{8} \\
+                        &+ \ldots +
+        \underbrace{\left( \frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + \ldots + \frac{1}{2^{n} + 2^{n} - 1} \right)}_{> 2^{n-1} \frac{1}{2^{n+1} - 1} > \frac{1}{4}} - \frac{1}{2n +2}
+    .\end{align*}
+    divergiert!
+
+    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergent, aber nicht
+    absolut konvergent, deshalb kann eine Umordnung die
+    Konvergenzeigenschaften drastisch ändern !!!
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Umordnungssatz]
+    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine absolut konvergente Reihe.
+
+    Dann konvergiert jede Umordnung dieser Reihe absolut gegen
+    denselben Grenzwert.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Forster.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine reelle Reihe, welche konvergiert, 
+    aber nicht absolut, so gibt es zu jedem $c \in \R$ oder $c = \pm \infty$
+    eine Umordnung $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)}$, welche
+    gegen $c \in \R$ konvergiert (oder divergiert).
+\end{bem}
+
+\subsection{Das Cauchy-Produkt von Reihen}
+
+\begin{satz}[Cauchy-Produkt]
+    Seien $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ und $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 
+    absolut konvergente Reihen. Für $n \in \N_0$ sei $c_n$ definiert
+    durch
+    \[
+        c_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
+        + \ldots + a_nb_0
+    .\] Dann ist die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ absolut konvergent
+    mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_n = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
+    \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right)$ 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Forster.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz ist wichtig:
+    \[
+    \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text{ mit }
+    a_n := b_n := \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1} }
+    .\] konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt:
+    \[
+    c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}, \quad n \in \N_0
+    .\] divergiert
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    durch Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp} Für $x, y \in \mathbb{C}$ gilt
+    \[
+        \text{exp}(x+y) = \text{exp}(x)\cdot \text{exp}(y)
+    .\] 
+
+    \begin{proof}
+        \[
+            \text{exp}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!},
+            \text{exp}(y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!}
+        .\] Bilde Cauchy-Produkt
+        \[
+        .\] 
+        \begin{align*}
+            c_n &:= \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}
+            \cdot \frac{y^{n-k}}{(n-k)!} \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}
+            x^{k} y^{n-k} \\
+            &= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}y^{n-k}
+            = \frac{1}{n!} (x+y)^{n}
+        .\end{align*}
+    \end{proof}
+\end{bsp}
+
+\begin{korrolar}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\forall z \in \mathbb{C}$ gilt $(\exp(z))^{-1} = \exp(-z)$
+        \item $\forall x \in \R$ gilt $\exp(x) > 0$
+        \item $\forall n \in \Z$ ist
+            \[
+                \exp(n) = e^{n} = \begin{cases}
+                    e \cdot e \cdot \ldots \cdot e & n > 0 \\
+                    e^{-1} \cdot e^{-1} \cdot \ldots \cdot e^{-1} & n < 0 \\
+                    1 & n = 0
+            \end{cases}
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\exp(-z)\cdot \exp(z) = \exp(-z+z) = \exp(0) = 1$
+        \item Für $x \in \R, x \ge 0$ ist $\exp(z) = 1 + x + \ldots > 0$
+
+            Für $x < 0 $ ist $(\exp(x))^{-1} = (\exp(-x)) > 0 \implies \exp(x) > 0$.
+        \item Zz.: $\exp(n) = e^{n}$ $\forall n \in \N$
+            
+            Vollständige Induktion:\\
+            $n = 1$ : $\exp(1) = e$ nach Definition\\
+            $n \to n+1$ : $\exp(n+1) = \exp(n) \cdot \exp(1) =e^{n} \cdot e
+            = e^{n+1}$
+
+            Für $n \in \Z$ mit $n < 0$ gilt:
+
+            $(\exp(n))^{-1} = \exp(-n) = e^{-n} \implies \exp(n) = e^{n}$
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsection{Potenzreihen}
+
+\begin{definition}
+    Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0 \in \mathbb{C}$ ist
+    definiert durch
+    \[
+        \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}, z \in \mathbb{C}
+    .\] $a_n \in \mathbb{C}, \forall n \in N_0$
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[Exponentialreihe]
+    $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n} $ mit Entwicklungspunkt
+    $0 \in \mathbb{C}$ konvergiert für $\forall z \in \mathbb{C}$.
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Konvergenzradius]
+    Zur Potenzreihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-z_0)^{k}$ definiere
+    den Konvergenzradius $\rho$ durch
+    \[
+        \rho := \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \text{sup } \sqrt[n]{|a_n|} }
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}$ konvergiert absolut
+            $\forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < \rho$
+        \item $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (z-z_0)^{n} $ divergiert für $\forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z-z_0| > \rho$
+        \item für $|z-z_0| = \rho$ ist keine allgemeine Aussage möglich.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}
+    \[
+        \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty}}_{\text{divergent für }|x|=1} x^{k} \qquad
+        \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}}_{\text{div für } |z}
+        \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^2}
+    .\] $\rho$ für alle Reihen.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ws2019/ipi/uebungen/ipi7.tex

@@ -0,0 +1,40 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{IPI: Übungsblatt 7}
+\author{Samuel Weidemaier, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}
+        \item Kunden in einer Bäckerei
+
+            FIFO: Der erste Kunde wird zu erst bedient
+        \item Menschen in einem Aufzug
+
+            LIFO: Der letzte Mensch verlässt den Aufzug als erstes (bei einer Tür)
+        \item Lebensmittel in Ihrem Kühlschrank
+
+            FIFO: Die ältesten Lebensmittel müssen als erstes verbraucht werden.
+        \item Autos auf einer Autofähre
+
+            FIFO: Das erste Auto steht ganz vorne auf der Fähre und verlässt diese als erstes
+            auf der anderen Seite.
+        \item Druckanträge auf einen Drucker
+
+            FIFO: Der erste Druckauftrag wird als erstes ausgeführt.
+        \item Besuchen der Knoten eines Baums nach dem Depth-First-Prinzip
+
+            FIFO: Die Elemente, die als erstes dem Baum hinzugefügt wurden, also ganz oben
+            stehen, werden bei der Depth-First-Suche auch als erstes ausgewertet.
+        \item Rekursive Funktionsaufrufe
+
+            LIFO: Der letzte Funktionsaufruf wird als erstes vollständig ausgewertet.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}

ws2019/la/uebungen/la8.tex

@@ -0,0 +1,34 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{aufgabe}
+    
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        \item
+        \item Beh.: Für $f : V \to V$ eine lineare Abbildung gilt
+            \[
+                V \stackrel{\sim }{=} \text{Bild}(f) \oplus \text{ker } f
+            .\] 
+
+            \begin{proof}
+                Sei $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $V \setminus \text{ker } f$.
+
+                Definiere $f: V / \text{ker } f \oplus \text{ker } f \to V$ mit
+                \[
+                    ([u_i + \text{ker }f], k) \mapsto u_i + k
+                .\] Wohldefiniert, da $([u_i + \text{ker }f])_{i \in I}$
+                nach Blatt 6 Basis von $V / \text{ker }f$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}