la9 final

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@@ -12,7 +12,7 @@
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item Es seien $f\colon V \to W$ und $g: W \to V$ lineare Abbildungen
-            zwischen $V$ und $W$ Vektorräumen.
+            zwischen Vektorräumen $V$ und $W$.
 
             Beh.: Es existiert genau dann ein $v \in V \setminus \{0\} $ mit $(g \circ f)(v) = v$, wenn
             es ein $w \in W \setminus \{0\} $ gibt mit $(f \circ g)(w) = w$.
@@ -37,10 +37,10 @@
                 \begin{align*}
                     &\text{ker}(id_{K^{n}} - a \circ b) = \{0\}  \\
                     \implies & id_{K^{n}}(v) - a(b(v)) \neq 0 \quad \forall v \in V \setminus \{0\} \\
-                    \implies &v \neq a(b(v)) \quad \forall v \in V \setminus \{0\}
+                    \implies &v \neq a(b(v)) \quad \forall v \in V \setminus \{0\} \quad (*)
                     \intertext{Sei nun $w \in K^{m}$ mit $id_{K^{m}} - b(a(w)) = 0$.}
                     \implies & w = b(a(w)) \\
-                    \stackrel{\text{1a)}}{\implies} &w = 0
+                    \stackrel{\text{(a) und } * }{\implies} &w = 0
                 .\end{align*}
                 Damit ist $id_{K^{m}} - b \circ a$ ein injektiver Endomorphismus, also
                 auch bijektiv, also Automorphismus.\\
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     \begin{enumerate}[(a)]
         \item Beh.: $\text{ker } A = \{x - BAx  \mid x \in K^{m}\} $
             \begin{proof}
-                Zz.: $\text{ker } A \subset \{x - BAx  \mid x \in K^{m}\} $
+                Zz.: $\text{ker } A \subset \{x' - BAx'  \mid x' \in K^{m}\} $
                 
                 Sei $x \in \text{ker } A$, d.h. $Ax = 0$, damit:
-                \[
+                \begin{align*}
-                    x - BAx = x - B\cdot 0 = x
+                    &x - BAx = x - B\cdot 0 = x \\
-                .\] 
+                    \implies & x \in \{x' - BAx'  \mid x' \in K^{m}\} 
+                .\end{align*}
 
                 Zz.: $\{x - BAx  \mid x \in K^{m}\} \subset \text{ker } A$
 
                 Sei $r \in K^{m}$, dann $x := r - BAr$. Damit folgt:
                 \begin{align*}
-                    Ax = Ar - ABAr \stackrel{ABA=A}{=} Ar - Ar = 0
+                    &Ax = Ar - ABAr \stackrel{ABA=A}{=} Ar - Ar = 0\\
+                    \implies & x \in \text{ker } A
                 .\end{align*}
             \end{proof}
         \item Beh.: $Ax = b$ hat eine Lösung $\iff ABb = b$
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                     &a \cdot \binom{1}{2} + b \binom{0}{-1} = 0 \\
                     \implies & a = 0 \land 2a -b = 0 \implies b = 0
                 .\end{align*}
-                $\implies$  $\underline{v}$ ist linear unabhängig wegen $\text{dim } \Q^{2} = 2$ eine Basis
+                $\implies$  $\underline{v}$ ist linear unabhängig und wegen $\text{dim } \Q^{2} = 2$ eine Basis
                 von $\Q^{2}$.
             \end{proof}
             Beh.: $\underline{w} = \left( (1,1)^{t}, (3,2)^{t} \right) $ ist Basis von $\Q^{2}$
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                     \implies & a + 3b = 0 \land a +2b = 0
                     \implies b = a = 0
                 .\end{align*}
-                $\implies$  $\underline{v}$ ist linear unabhängig wegen $\text{dim } \Q^{2} = 2$ eine Basis
+                $\implies$  $\underline{v}$ ist linear unabhängig und wegen $\text{dim } \Q^{2} = 2$ eine Basis
                 von $\Q^{2}$.
             \end{proof}