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@@ -0,0 +1,211 @@ |
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\documentclass[uebung]{../../../lecture} |
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\begin{document} |
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\title{Analysis II: Übungsblatt 4} |
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\author{Leon Burgard, Christian Merten} |
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\punkte |
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\begin{aufgabe} |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item Beh.: Mit $d(x, y) = \sqrt{|x - y|}$ und $\varphi = \sqrt{x}$ ist $\rho$ keine Norm. |
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\begin{proof} |
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Aus dem letzten Zettel, folgt, dass $d(x,y) = \sqrt{|x-y|} $ eine Metrik |
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auf $\R$ ist. Es ist außerdem $\forall x, y \in \R$ |
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\[ |
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d(x, y) = \sqrt{|x - y|} = \sqrt{\Vert x - y \Vert_2} = \varphi(\Vert x - y\Vert_2) |
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= \rho(x - y) |
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.\] |
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Dann ist |
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\[ |
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\rho(4\cdot 4) = \sqrt{\Vert 16 \Vert_2} = 4 \neq 8 = 4 \cdot 2 = 4 \cdot \rho(4) |
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.\] |
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\end{proof} |
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\item Beh.: Teilmenge $O \subseteq \mathbb{K}^{n}$ g.d. offen, wenn sie keinen ihrer Randpunkte enthält. |
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\begin{proof} |
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,,$\implies$``: |
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Sei $O \subseteq \mathbb{K}^{n}$ offen und $a \in \mathbb{K}^{n}$ ein Randpunkt von $O$. |
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Ang.: $a \in O \implies \exists \epsilon > 0$ mit $K_{\epsilon}(a) \subseteq O$. Also existiert |
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eine Umgebung von $a$, die ganz in $O$ liegt $\contr$. |
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,,$\impliedby$``: |
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Sei $O \subseteq \mathbb{K}^{n}$ nicht offen. Dann ex. $a \in O$, s.d. |
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$\forall \epsilon > 0$ gilt: $\exists y \in \mathbb{K}^{n} \setminus O$ mit |
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$y \in K_{\epsilon}(a)$. Da außerdem $a \in O$, ist $a$ Randpunkt von $O$, der |
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in $O$ liegt. |
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\end{proof} |
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\item Beh.: $\partial M$ von $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist abgeschlossen. |
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\begin{proof} |
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Sei $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$. Dann folgt nach VL: $\partial M$ abgeschlossen. |
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\end{proof} |
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\item Beh.: Die Aussage ist falsch. |
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\begin{proof} |
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Für $\mathbb{K}^{n} = \R$ und $M := [0,1]$ gilt $\partial M = \{0, 1\} $. Damit folgt |
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\[ |
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\left( \overline{M} \right)^{\circ} |
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= (\overline{[0,1]})^{\circ} = \left( [0,1] \right)^{\circ} = (0, 1) |
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\neq [0,1] = \overline{\left( (0,1) \right) } = \overline{\left( [0,1]^{\circ} \right) } |
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= \overline{\left( M^{\circ} \right) } |
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.\] |
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\end{proof} |
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\end{enumerate} |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe} |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item Beh.: $\partial M = \{ x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert_{\infty} \le 1\} $, |
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$\overline{M} = \partial M$ und $M^{\circ} = \emptyset$. |
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\begin{proof} |
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Da $\Q$ dicht in $\R$, folgt $\forall a \in K_1(0)$, liegen in jeder Umgebung |
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von $a$ Punkte aus $K_1(0) \cap \Q^{n} = M$ und |
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Punkte aus $K_1(0) \cap (\R^{n} \setminus \Q^{n}) \subseteq M^{C}$. |
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Außerdem sind alle Punkte der Einheitssphäre Randpunkte, damit folgt |
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\[ |
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\partial M = K_1(0) \cup \{ x \in R^{n} \mid \Vert x \Vert_\infty = 1\} = |
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\{x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert_\infty \le 1\} |
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.\] Da $M \subseteq \partial M$, folgt daraus |
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\begin{align*} |
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\overline{M} &= M \cup \partial M = \partial M \\ |
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M^{\circ} &= M \setminus \partial M = \emptyset |
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.\end{align*} |
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\end{proof} |
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\item Beh.: $\partial M = M$, $M^{\circ} = \emptyset$, $\overline{M} = M$. |
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\begin{proof} |
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Es gilt $\forall a \in M$, dass $\forall \epsilon > 0$ |
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Punkte $x \in M^{C}$ existieren mit |
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$x_1 \neq 0$ und $\Vert a - x \Vert_2 < \epsilon$. |
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Außerdem gilt für alle Randpunkte $a \in \partial M$, $a_1 = 0$, denn |
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angenommen, $a_1 = \delta \neq 0$. Dann ist |
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$K_{\frac{\delta}{2}}(a) \cap M = \emptyset$. Weiter |
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gilt $\Vert x \Vert_2 \le 1$, denn angenommen, $\exists \delta > 0$, s.d. |
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$\Vert x \Vert_2 = 1 + \delta > 1$, dann folgt analog |
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$K_{\frac{\delta}{2}}(a) \cap M = \emptyset$. |
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Damit folgt |
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\begin{align*} |
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\overline{M} &= M \cup \partial M = M \cup M = M \\ |
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M^{\circ} &= M \setminus \partial M = M \setminus M = \emptyset |
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.\end{align*} |
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\end{proof} |
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\item Beh.: $\partial M = \{-1, 1\}^{n}$, $\overline{M} = M$, |
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$M^{\circ} = \{x \in \R^{n} \mid x \not\in [-1,1]^{n}\} $ |
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\begin{proof} |
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Es ist |
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\[ |
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M = \{ x \in \R^{n} \mid f(x) < 1\} = \{ x \in \R^{n} \mid x \not\in (-1,1)^{n}\} |
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.\] Als Randpunkte ergeben sich damit durch komponentenweise Anwendung |
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des eindimensionalen Falls: |
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\[ |
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\partial M = \{-1, 1\}^{n} |
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.\] Damit ist |
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\begin{align*} |
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M^{\circ} &= M \setminus \partial M = \{ x \in \R^{n} \mid x \not\in [-1, 1]^{n}\} \\ |
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\overline{M} &= M \cup \partial M = \{x \in \R^{n} \mid x \not\in (-1,1)^{n}\} = M |
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.\end{align*} |
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\end{proof} |
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\item Beh.: $\partial M = \{ x \in \R^{n} \mid g(x) \le 1\} $, |
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$M^{\circ} = M$, $M = [-1,1]^{n}$. |
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\begin{proof} |
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Es ist |
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\[ |
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g(x) = \frac{3}{2} - f(x) = \begin{cases} |
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\frac{1}{2} & x \in (-1,1)^{n} \\ |
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\frac{3}{2} & \text{sonst} |
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\end{cases} |
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.\] Also folgt |
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\[ |
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M = \{ x \in \R^{n} \mid x \in (-1,1)^{n}\} = (-1,1)^{n} |
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.\] Analog zu (c) folgt damit direkt |
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\begin{align*} |
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\partial M &= \{x \in \R^{n} \mid x \in \{-1,1\}^{n}\} \\ |
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M^{\circ} &= (-1,1)^{n} \setminus \{-1, 1\}^{n} = (-1,1)^{n} = M \\ |
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\overline{M} &= (-1,1)^{n} \cup \{-1, 1\}^{n} = [-1,1]^{n} |
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.\end{align*} |
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\end{proof} |
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\end{enumerate} |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe} |
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Seien $a < b \in \R$ und $\tilde{V}$, $V$ wie gegeben. |
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\begin{enumerate}[(a)] |
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\item Beh.: $(\cdot , \cdot )$ ist kein Skalarprodukt auf $\tilde{V}$. |
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\begin{proof} |
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Für $a = 0$, $b = 1$ und $f = 1 \in \tilde{V}$, folgt $f' = 0$ und |
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$f \neq 0$, aber |
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\[ |
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(f,f) = \int_{0}^{1} f'(x)f'(x) \d x = \int_{0}^{1} 0 \d x = 0 |
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.\] Damit ist (S1) nicht erfüllt. |
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\end{proof} |
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\item Beh.: $(\cdot , \cdot )$ ist ein Skalarprodukt auf $V$. |
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\begin{proof} |
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Seien $f, g \in V$ beliebig. |
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Zunächst ist $(f,g)$ wohldefiniert, da $f$ und $g$ stückweise stetig differenzierbar, |
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sind $f'$ und $g'$ stückweise stetig, also stückweise R.-integrierbar. |
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\begin{enumerate}[(S1)] |
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\item Wegen der Monotonie des R.-Integrals |
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ist |
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\[ |
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(f,f) = \int_{a}^{b} \underbrace{(f'(x))^2}_{\ge 0} \d x \ge 0 |
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.\] |
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Sei nun |
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\[ |
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(f, f) = \int_{a}^{b} f'(x)^2 \d x = 0 |
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.\] Wegen $f \in \tilde{V}$, ex. eine Zerlegung $\Delta $ von $[a,b]$, s.d. |
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\[ |
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(f,f) = \sum_{[\tilde{a}, \tilde{b}] \in \Delta } |
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\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} \underbrace{f'(x)^2}_{\ge 0} \d x |
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.\] Da die einzelnen Summanden alle nicht negativ sind, folgt |
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$\forall [\tilde{a}, \tilde{b}] \in \Delta $ mit |
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der Definitheit des R.-Integrals: |
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\[ |
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\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} \underbrace{f'(x)^2}_{\ge 0} \d x = 0 |
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\qquad \quad \stackrel{f' \text{ stetig auf } [\tilde{a}, \tilde{b}]}{\implies} |
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\qquad \quad |
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f'(x)^2 = 0 \quad \forall x \in [\tilde{a}, \tilde{b}] |
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.\] Da dies für alle Teilintervalle gilt, folgt |
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\[ |
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f'(x)^2 = 0 \quad \forall x \in [a,b] \implies f' \equiv 0 |
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\implies \exists h \in \R: f(x) = h |
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.\] |
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Wegen $f(a) = f(b) = 0 \implies f(a) = h = 0 \implies h = 0$. Also $f \equiv 0$. |
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\item Folgt aus der Symmetrie des R.-Integrals. |
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\item Folgt aus der Linearität des R.-Integrals und der Linearität der Ableitung. |
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\end{enumerate} |
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\end{proof} |
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\end{enumerate} |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe} |
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Mit Gram-Schmidt-Verfahren folgt |
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\begin{align*} |
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b_1 &= \frac{1}{\sqrt{(1,1)}} = \frac{1}{\int_{0}^{1} 1 \d t } = 1 \\ |
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\widetilde{b_2} &= t - (1, t) = t - \int_{0}^{1} t \d t = t - \frac{1}{2} |
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\intertext{Es ist weiter} |
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(\widetilde{b_2}, \widetilde{b_2}) |
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&= \int_{0}^{1} \left(t-\frac{1}{2}\right)\left( t - \frac{1}{2} \right) \d x = \frac{1}{12} \\ |
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b_2 &= \sqrt{12} \left( t - \frac{1}{2} \right) |
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\intertext{Damit folgt} |
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\widetilde{b_3} &= t^2 - (t, t^2) - 12 \left( t - \frac{1}{2}, t^2 \right) t = t^2 - t + \frac{1}{6}\\ |
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(\widetilde{b_3}, \widetilde{b_3}) &= \int_{0}^{1} \left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right)^2 \d x |
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= \frac{1}{180} \\ |
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b_3 &= \sqrt{180} \left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right) \\ |
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\widetilde{b_4} &= t^3 - (1, t ^{3}) - 12 \left( t - \frac{1}{2}, t ^{3} \right) |
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\left( t - \frac{1}{2} \right) - 180 \left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right)\left( t^2 - 1 + \frac{1}{6} \right) \\ |
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&= t ^{3} - \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{5} t - \frac{1}{20} \\ |
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(\widetilde{b_4}, \widetilde{b_4}) &= |
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\int_{0}^{1} \left( t ^{3} - \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{5} t - \frac{1}{20} \right)^2 \d x |
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= \frac{1}{2800} \\ |
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b_4 &= \sqrt{2800} \left( t ^{3} - \frac{3}{2}t^2 + \frac{3}{5}t - \frac{1}{20}\right) |
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\intertext{Also ist} |
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\mathcal{B} &= \left\{1, \sqrt{12}\left( t - \frac{1}{2} \right), |
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\sqrt{180}\left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right), \sqrt{2800} |
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\left( t ^{3} - \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{5} t - \frac{1}{20} \right) \right\} |
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.\end{align*} |
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eine Orthonormalbasis auf $C([0,1])$ mit dem gegebenen Skalarprodukt. |
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\end{aufgabe} |
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\end{document} |
