update ana4
This commit is contained in:
+1
-1
Submodule sose2020/ana/lectures updated: 3ad08e7437...52281b1525
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,211 @@
|
|||||||
|
\documentclass[uebung]{../../../lecture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
\title{Analysis II: Übungsblatt 4}
|
||||||
|
\author{Leon Burgard, Christian Merten}
|
||||||
|
|
||||||
|
\punkte
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||||
|
\item Beh.: Mit $d(x, y) = \sqrt{|x - y|}$ und $\varphi = \sqrt{x}$ ist $\rho$ keine Norm.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Aus dem letzten Zettel, folgt, dass $d(x,y) = \sqrt{|x-y|} $ eine Metrik
|
||||||
|
auf $\R$ ist. Es ist außerdem $\forall x, y \in \R$
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
d(x, y) = \sqrt{|x - y|} = \sqrt{\Vert x - y \Vert_2} = \varphi(\Vert x - y\Vert_2)
|
||||||
|
= \rho(x - y)
|
||||||
|
.\]
|
||||||
|
Dann ist
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\rho(4\cdot 4) = \sqrt{\Vert 16 \Vert_2} = 4 \neq 8 = 4 \cdot 2 = 4 \cdot \rho(4)
|
||||||
|
.\]
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: Teilmenge $O \subseteq \mathbb{K}^{n}$ g.d. offen, wenn sie keinen ihrer Randpunkte enthält.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
,,$\implies$``:
|
||||||
|
Sei $O \subseteq \mathbb{K}^{n}$ offen und $a \in \mathbb{K}^{n}$ ein Randpunkt von $O$.
|
||||||
|
Ang.: $a \in O \implies \exists \epsilon > 0$ mit $K_{\epsilon}(a) \subseteq O$. Also existiert
|
||||||
|
eine Umgebung von $a$, die ganz in $O$ liegt $\contr$.
|
||||||
|
|
||||||
|
,,$\impliedby$``:
|
||||||
|
Sei $O \subseteq \mathbb{K}^{n}$ nicht offen. Dann ex. $a \in O$, s.d.
|
||||||
|
$\forall \epsilon > 0$ gilt: $\exists y \in \mathbb{K}^{n} \setminus O$ mit
|
||||||
|
$y \in K_{\epsilon}(a)$. Da außerdem $a \in O$, ist $a$ Randpunkt von $O$, der
|
||||||
|
in $O$ liegt.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: $\partial M$ von $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist abgeschlossen.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Sei $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$. Dann folgt nach VL: $\partial M$ abgeschlossen.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: Die Aussage ist falsch.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Für $\mathbb{K}^{n} = \R$ und $M := [0,1]$ gilt $\partial M = \{0, 1\} $. Damit folgt
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\left( \overline{M} \right)^{\circ}
|
||||||
|
= (\overline{[0,1]})^{\circ} = \left( [0,1] \right)^{\circ} = (0, 1)
|
||||||
|
\neq [0,1] = \overline{\left( (0,1) \right) } = \overline{\left( [0,1]^{\circ} \right) }
|
||||||
|
= \overline{\left( M^{\circ} \right) }
|
||||||
|
.\]
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||||
|
\item Beh.: $\partial M = \{ x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert_{\infty} \le 1\} $,
|
||||||
|
$\overline{M} = \partial M$ und $M^{\circ} = \emptyset$.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Da $\Q$ dicht in $\R$, folgt $\forall a \in K_1(0)$, liegen in jeder Umgebung
|
||||||
|
von $a$ Punkte aus $K_1(0) \cap \Q^{n} = M$ und
|
||||||
|
Punkte aus $K_1(0) \cap (\R^{n} \setminus \Q^{n}) \subseteq M^{C}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Außerdem sind alle Punkte der Einheitssphäre Randpunkte, damit folgt
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\partial M = K_1(0) \cup \{ x \in R^{n} \mid \Vert x \Vert_\infty = 1\} =
|
||||||
|
\{x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert_\infty \le 1\}
|
||||||
|
.\] Da $M \subseteq \partial M$, folgt daraus
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\overline{M} &= M \cup \partial M = \partial M \\
|
||||||
|
M^{\circ} &= M \setminus \partial M = \emptyset
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: $\partial M = M$, $M^{\circ} = \emptyset$, $\overline{M} = M$.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Es gilt $\forall a \in M$, dass $\forall \epsilon > 0$
|
||||||
|
Punkte $x \in M^{C}$ existieren mit
|
||||||
|
$x_1 \neq 0$ und $\Vert a - x \Vert_2 < \epsilon$.
|
||||||
|
Außerdem gilt für alle Randpunkte $a \in \partial M$, $a_1 = 0$, denn
|
||||||
|
angenommen, $a_1 = \delta \neq 0$. Dann ist
|
||||||
|
$K_{\frac{\delta}{2}}(a) \cap M = \emptyset$. Weiter
|
||||||
|
gilt $\Vert x \Vert_2 \le 1$, denn angenommen, $\exists \delta > 0$, s.d.
|
||||||
|
$\Vert x \Vert_2 = 1 + \delta > 1$, dann folgt analog
|
||||||
|
$K_{\frac{\delta}{2}}(a) \cap M = \emptyset$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Damit folgt
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\overline{M} &= M \cup \partial M = M \cup M = M \\
|
||||||
|
M^{\circ} &= M \setminus \partial M = M \setminus M = \emptyset
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: $\partial M = \{-1, 1\}^{n}$, $\overline{M} = M$,
|
||||||
|
$M^{\circ} = \{x \in \R^{n} \mid x \not\in [-1,1]^{n}\} $
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Es ist
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
M = \{ x \in \R^{n} \mid f(x) < 1\} = \{ x \in \R^{n} \mid x \not\in (-1,1)^{n}\}
|
||||||
|
.\] Als Randpunkte ergeben sich damit durch komponentenweise Anwendung
|
||||||
|
des eindimensionalen Falls:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\partial M = \{-1, 1\}^{n}
|
||||||
|
.\] Damit ist
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
M^{\circ} &= M \setminus \partial M = \{ x \in \R^{n} \mid x \not\in [-1, 1]^{n}\} \\
|
||||||
|
\overline{M} &= M \cup \partial M = \{x \in \R^{n} \mid x \not\in (-1,1)^{n}\} = M
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: $\partial M = \{ x \in \R^{n} \mid g(x) \le 1\} $,
|
||||||
|
$M^{\circ} = M$, $M = [-1,1]^{n}$.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Es ist
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
g(x) = \frac{3}{2} - f(x) = \begin{cases}
|
||||||
|
\frac{1}{2} & x \in (-1,1)^{n} \\
|
||||||
|
\frac{3}{2} & \text{sonst}
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
.\] Also folgt
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
M = \{ x \in \R^{n} \mid x \in (-1,1)^{n}\} = (-1,1)^{n}
|
||||||
|
.\] Analog zu (c) folgt damit direkt
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\partial M &= \{x \in \R^{n} \mid x \in \{-1,1\}^{n}\} \\
|
||||||
|
M^{\circ} &= (-1,1)^{n} \setminus \{-1, 1\}^{n} = (-1,1)^{n} = M \\
|
||||||
|
\overline{M} &= (-1,1)^{n} \cup \{-1, 1\}^{n} = [-1,1]^{n}
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
Seien $a < b \in \R$ und $\tilde{V}$, $V$ wie gegeben.
|
||||||
|
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||||
|
\item Beh.: $(\cdot , \cdot )$ ist kein Skalarprodukt auf $\tilde{V}$.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Für $a = 0$, $b = 1$ und $f = 1 \in \tilde{V}$, folgt $f' = 0$ und
|
||||||
|
$f \neq 0$, aber
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(f,f) = \int_{0}^{1} f'(x)f'(x) \d x = \int_{0}^{1} 0 \d x = 0
|
||||||
|
.\] Damit ist (S1) nicht erfüllt.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\item Beh.: $(\cdot , \cdot )$ ist ein Skalarprodukt auf $V$.
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Seien $f, g \in V$ beliebig.
|
||||||
|
|
||||||
|
Zunächst ist $(f,g)$ wohldefiniert, da $f$ und $g$ stückweise stetig differenzierbar,
|
||||||
|
sind $f'$ und $g'$ stückweise stetig, also stückweise R.-integrierbar.
|
||||||
|
\begin{enumerate}[(S1)]
|
||||||
|
\item Wegen der Monotonie des R.-Integrals
|
||||||
|
ist
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(f,f) = \int_{a}^{b} \underbrace{(f'(x))^2}_{\ge 0} \d x \ge 0
|
||||||
|
.\]
|
||||||
|
Sei nun
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(f, f) = \int_{a}^{b} f'(x)^2 \d x = 0
|
||||||
|
.\] Wegen $f \in \tilde{V}$, ex. eine Zerlegung $\Delta $ von $[a,b]$, s.d.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(f,f) = \sum_{[\tilde{a}, \tilde{b}] \in \Delta }
|
||||||
|
\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} \underbrace{f'(x)^2}_{\ge 0} \d x
|
||||||
|
.\] Da die einzelnen Summanden alle nicht negativ sind, folgt
|
||||||
|
$\forall [\tilde{a}, \tilde{b}] \in \Delta $ mit
|
||||||
|
der Definitheit des R.-Integrals:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} \underbrace{f'(x)^2}_{\ge 0} \d x = 0
|
||||||
|
\qquad \quad \stackrel{f' \text{ stetig auf } [\tilde{a}, \tilde{b}]}{\implies}
|
||||||
|
\qquad \quad
|
||||||
|
f'(x)^2 = 0 \quad \forall x \in [\tilde{a}, \tilde{b}]
|
||||||
|
.\] Da dies für alle Teilintervalle gilt, folgt
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f'(x)^2 = 0 \quad \forall x \in [a,b] \implies f' \equiv 0
|
||||||
|
\implies \exists h \in \R: f(x) = h
|
||||||
|
.\]
|
||||||
|
Wegen $f(a) = f(b) = 0 \implies f(a) = h = 0 \implies h = 0$. Also $f \equiv 0$.
|
||||||
|
\item Folgt aus der Symmetrie des R.-Integrals.
|
||||||
|
\item Folgt aus der Linearität des R.-Integrals und der Linearität der Ableitung.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{aufgabe}
|
||||||
|
Mit Gram-Schmidt-Verfahren folgt
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
b_1 &= \frac{1}{\sqrt{(1,1)}} = \frac{1}{\int_{0}^{1} 1 \d t } = 1 \\
|
||||||
|
\widetilde{b_2} &= t - (1, t) = t - \int_{0}^{1} t \d t = t - \frac{1}{2}
|
||||||
|
\intertext{Es ist weiter}
|
||||||
|
(\widetilde{b_2}, \widetilde{b_2})
|
||||||
|
&= \int_{0}^{1} \left(t-\frac{1}{2}\right)\left( t - \frac{1}{2} \right) \d x = \frac{1}{12} \\
|
||||||
|
b_2 &= \sqrt{12} \left( t - \frac{1}{2} \right)
|
||||||
|
\intertext{Damit folgt}
|
||||||
|
\widetilde{b_3} &= t^2 - (t, t^2) - 12 \left( t - \frac{1}{2}, t^2 \right) t = t^2 - t + \frac{1}{6}\\
|
||||||
|
(\widetilde{b_3}, \widetilde{b_3}) &= \int_{0}^{1} \left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right)^2 \d x
|
||||||
|
= \frac{1}{180} \\
|
||||||
|
b_3 &= \sqrt{180} \left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right) \\
|
||||||
|
\widetilde{b_4} &= t^3 - (1, t ^{3}) - 12 \left( t - \frac{1}{2}, t ^{3} \right)
|
||||||
|
\left( t - \frac{1}{2} \right) - 180 \left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right)\left( t^2 - 1 + \frac{1}{6} \right) \\
|
||||||
|
&= t ^{3} - \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{5} t - \frac{1}{20} \\
|
||||||
|
(\widetilde{b_4}, \widetilde{b_4}) &=
|
||||||
|
\int_{0}^{1} \left( t ^{3} - \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{5} t - \frac{1}{20} \right)^2 \d x
|
||||||
|
= \frac{1}{2800} \\
|
||||||
|
b_4 &= \sqrt{2800} \left( t ^{3} - \frac{3}{2}t^2 + \frac{3}{5}t - \frac{1}{20}\right)
|
||||||
|
\intertext{Also ist}
|
||||||
|
\mathcal{B} &= \left\{1, \sqrt{12}\left( t - \frac{1}{2} \right),
|
||||||
|
\sqrt{180}\left( t^2 - t + \frac{1}{6} \right), \sqrt{2800}
|
||||||
|
\left( t ^{3} - \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{5} t - \frac{1}{20} \right) \right\}
|
||||||
|
.\end{align*}
|
||||||
|
eine Orthonormalbasis auf $C([0,1])$ mit dem gegebenen Skalarprodukt.
|
||||||
|
\end{aufgabe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
Reference in New Issue
Block a user