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sose2020/la/uebungen/la5.tex

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                 Mit dem Satz von Cayley-Hamilton gilt
                 $\chi_{A}^{\text{char}}(A) = 0 \implies \chi_A^{\text{char}} \in I_A$.
             \end{proof}
-        \item Beh.: Es ex. ein eindeutig bestimmtes Polynom $\chi_{A}^{\text{min}} \in K[t] \setminus \{0\} $
+        \item Beh.: Es ex. ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom
+            $\chi_{A}^{\text{min}} \in K[t] \setminus \{0\} $
             mit $I_A = \left( \chi_{A}^{\text{min}} \right) $.
             \begin{proof}
                 Es ist $\chi_{A}^{\text{char}} \neq 0$ und $\chi_{A}^{\text{char}} \in I_A$, also
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                     \iff & f(A) = 0 \\
                     \stackrel{S \neq 0}{\iff} & S f(A) S^{-1} = 0 \\
                     \iff& f(SAS^{-1}) = 0 \\
-                    \iff & f(B) = 0
+                    \iff & f(B) = 0 \\
+                    \iff & f \in I_B
                 .\end{salign*}
                 Also ist $(\chi_{A}^{\text{min}}) = I_A = I_B = (\chi_{B}^{\text{min}})$ und,
                 wegen $\chi_{A}^{\text{min}}$ und $\chi_{B}^{\text{min}} $ normiert,

sose2020/num/uebungen/num5.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 5}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Beh.: Sei $P \in \R^{n \times n}$ mit $P^2 = P$ und $P \neq 0$. Dann gilt für $\Vert P \Vert \ge 1$ für
+            jede natürliche Matrixnorm $\Vert \cdot \Vert$.
+            \begin{proof}
+            Sei $P \in \R^{n \times n} \setminus \{0\} $ mit $P^2 = P$ und $\Vert \cdot \Vert$ natürlich.
+            Dann ist $\Vert \cdot \Vert$ insbesondere submultiplikativ, also folgt
+            $\Vert P \Vert = \Vert P^2 \Vert \le \Vert P \Vert \cdot \Vert P \Vert \implies 1 \le \Vert P \Vert$.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Sei $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$. Dann gilt
+            \[
+                A = \bar{A}^{T} \iff (Ax, y)_2 = (x, Ay)_2 \quad \forall x, y \in \mathbb{C}^{n}
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                Sei $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$. Es ist
+                \begin{salign*}
+                    &(Ax, y)_2 = (x, Ay)_2 \quad \forall x, y \in \mathbb{C}^{n}\\
+                    \iff &x^{T}A^{T} \bar{y} = x^{T}\bar{A}\bar{y} \quad \forall x, y \in \mathbb{C}^{n} \\
+                    \stackrel{(*)}{\iff}& A^{T} = \bar{A} \\
+                    \iff& A = \bar{A}^{T}
+                .\end{salign*}
+                $(*)$ folgt durch Einsetzen von allen Koordinateneinheitsvektoren für $x$ und $y$.
+            \end{proof}
+        \item Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ symmetrisch und positiv definit.
+            Beh.: Es existiert ein $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ mit $A = B \cdot B$.
+            \begin{proof}
+                Da $A$ symmetrisch und positiv definit, existiert eine orthogonale Matrix $Q$ und
+                eine Diagonalmatrix $D$ mit $A = QDQ^{T}$. Da $A$ symmetrisch und positiv definit,
+                sind alle Eigenwerte $\lambda_i$ positiv. Definiere
+                \begin{align*}
+                    \widetilde{D} := \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} & 0 & \\
+                    0 & \ddots & \\
+                    & & \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix}
+                .\end{align*}
+                Dann gilt also $D= \widetilde{D}^2$. Dann wähle $B := Q \widetilde{D}Q^{T}$. Dann folgt
+                \begin{align*}
+                    B \cdot B =
+                    Q\widetilde{D} \underbrace{Q^{T} \cdot Q}_{= E_n} \widetilde{D}Q^{T}
+                    = Q \widetilde{D}^2 Q^{T} = QDQ^{T} = A
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ positiv definit und für $\mathbb{K} = \R$ sei $A$ symmetrisch. Es
+    sei außerdem für $x \in \mathbb{K}^{n}$:
+    \[
+        R_A(x) = \frac{(Ax, x)_2}{(x,x)_2}
+    .\] 
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Beh.:
+            \begin{align*}
+                \sup_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } R_A(x) &= \lambda_{\text{max}}(A) \\
+                \inf_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } R_A(x) &= \lambda_{\text{min}}(A)
+            .\end{align*}
+            \begin{proof}
+                Falls $\mathbb{K} = \R$, dann ist $A$ bereits symmetrisch. Falls $\mathbb{K} = \mathbb{C}$,
+                ist $A$ nach VL hermitesch, da $A$ positiv definit, d.h. $(Ax, x)_2 \in \R$
+                $\forall x \in \mathbb{C}^{n}$.
+
+                $\lambda_i$ seien die Eigenwerte von $A$. Da $A$ positiv definit, gilt $\lambda_i > 0$.
+                Da $A$ symmetrisch bzw. hermitesch, gilt dann:
+                \[
+                \sup_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } \frac{\Vert A x \Vert_2}{\Vert x \Vert_2}
+                = \max_{1 \le i \le n} | \lambda_i | = \lambda_{\text{max}}(A)
+                .\] Weiter gilt $\forall x \in \mathbb{K}^{n}$:
+                \begin{align*}
+                    \frac{(Ax, x)_2}{(x,x)_2} \quad \stackrel{\text{C.S.U.}}{\le} \quad
+                    \frac{\Vert Ax \Vert_2 \Vert x \Vert_2}{\Vert x \Vert_2^2}
+                    = \frac{\Vert Ax \Vert_2}{\Vert x \Vert_2}
+                .\end{align*}
+                Damit folgt
+                \begin{align*}
+                    \sup_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } R_A(x)
+                    \le \sup_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } \frac{\Vert A x \Vert_2}{\Vert x \Vert_2}
+                    = \lambda_{\text{max}}(A)
+                .\end{align*}
+                Also ist $\lambda_{\text{max}}(A)$ eine obere Schranke von $R_A(x)$.
+
+                Weiter existiert ein Eigenvektor $v \in \mathbb{K}^{n}$
+                zum Eigenwert $\lambda_{\text{max}}(A)$ mit
+                $Av = \lambda_{\text{max}}(A) v$. Damit folgt
+                \begin{align*}
+                    R_A(v) = \frac{(Av, v)_2}{(v,v)_2} = \frac{\lambda_{\text{max}}(A)(v,v)_2}{(v,v)_2}
+                    = \lambda_{\text{max}}(A)
+                .\end{align*}
+                Also folgt die Behauptung für das Supremum.
+
+                Für das Infimum gilt
+                \begin{align*}
+                    \inf_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } R_A(x) &=
+                    - \sup_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } - R_A(x) \\
+                    &\ge - \sup_{x \in \mathbb{K}^{n} \setminus \{0\} } - \frac{\Vert Ax \Vert}{\Vert x \Vert_2} \\
+                    &= - \max_{1 \le i \le n} - | \lambda_i | \\
+                    &= \min_{1 \le i \le n} |\lambda_i| \\
+                    &= \lambda_{\text{min}}(A)
+                .\end{align*}
+                Also ist $\lambda_{\text{min}}(A)$ eine untere Schranke von $R_A(x)$. Analog
+                zu $\lambda_{\text{max}}(A)$ existiert wieder ein Eigenvektor, sodass
+                die Infimumseigenschaft folgt.
+            \end{proof}
+        \item Beh.:
+            \[
+                \text{cond}_2(A) = \Vert A \Vert_2 \Vert A^{-1} \Vert_2 = \frac{\lambda_{\text{max}}(A)}{\lambda_{\text{min}}(A)}
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                $A$ ist wie in (a) immer noch symmetrisch bzw. hermitesch. Dann gilt nach VL
+                \[
+                    \Vert A \Vert_2 = \lambda_{\text{max}}(A)
+                .\] Außerdem existiert $A^{-1}$, da $A$ positiv definit und symmetrisch bzw. hermitesch und
+                damit alle Eigenwerte positiv. Weiter ist $A^{-1}$ ebenfalls symmetrisch bzw. hermitesch,
+                denn $A$ ist symmetrisch bzw. hermitesch und damit
+                $\overline{A^{-1}}^{T} = \left( \bar{A}^{T} \right)^{-1} = A^{-1}$.
+
+                Weiter gilt $\lambda \neq 0$ Eigenwert von $A$, dann ist $\frac{1}{\lambda}$ Eigenwert
+                von $A^{-1}$ zu den selben Eigenvektoren, denn
+                \[
+                Av = \lambda v \implies A^{-1} A v = \lambda A^{-1} v \implies v = \lambda A^{-1} v \implies
+                \frac{1}{\lambda} v = A^{-1} v
+                .\] Da $A$ positiv definit und symmetrisch bzw. hermitesch, sind alle Eigenwerte positiv und
+                damit $\lambda_{\text{max}}(A^{-1}) = \frac{1}{\lambda_{\text{min}}(A)}$. Damit folgt
+                \begin{align*}
+                    \text{cond}_2(A) = \Vert A \Vert_2 \Vert A^{-1} \Vert_2 = \lambda_{\text{max}}(A)
+                    \lambda_{\text{max}}(A^{-1}) = \frac{\lambda_{\text{max}}(A)}{\lambda_{\text{min}}(A)}
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Ansatz 1. Bezeichne
+    \[
+    G := \{ A \in \mathbb{K}^{n \times n}  \mid A \text{ untere Dreicksmatrix mit 1-en auf Hauptdiagonale }\} 
+    .\] 
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Beh.: $G$ ist Gruppe.
+            \begin{proof}
+                \begin{enumerate}[(G1)]
+                    \item Seien $A, B \in G$ mit $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ und $B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n}$.
+                        Dann ist $C = AB$ mit $C = (c_{ij})_{i,j=1}^{n}$. Wegen
+                        $A$, $B \in G$ , gilt $a_{ij} = b_{ij} = 0$ für $i < j$ und
+                        $a_{ij} = b_{ij} = 1$ für $i = j$. Damit folgt:
+                        \begin{salign*}
+                            c_{ij} &= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
+                            = \sum_{k=j}^{i} a_{ik}b_{kj}
+                            = \begin{cases}
+                                0 & i < j \\
+                                1 & i = j \\
+                                \sum_{k=j}^{i} a_{ik}b_{kj} & \text{sonst}
+                            \end{cases}
+                        .\end{salign*}
+                        Also ist $C \in G$.
+                    \item Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix $E_n \in \mathbb{K}^{n \times n}$. Diese
+                        ist untere Dreiecksmatrix mit 1-en auf Hauptdiagonale also $E_n \in G$.
+                    \item Sei $A \in G$. Dann ist $\text{det}(A) = 1$, wegen der Dreiecksgestalt und
+                        allen Hauptdiagonalelementen gleich $1$. Also ex. $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$.
+
+                        Zz.: $A^{-1} \in G$. Betrachte die Adjunkte $\tilde{A}$ zu $A$ mit
+                        Einträgen $\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} | A_{ji}|$,
+                        wobei $A_{ji}$ die Matrix bezeichnet, die durch Streichen der $j$-ten Zeile
+                        und $i$-ten Spalte in $A$ entsteht.
+
+                        Seien $1 \le i,j \le n$. Falls $i = j$. Dann ist
+                        $\tilde{a}_{ii} = (-1)^{2i} | A_{ii}| = |\underbrace{A_{ii}}_{\in G}| = 1$.
+                        Falls $i < j$. Dann ist $A_{ij}$ obere Dreiecksmatrix mit $0$ auf der
+                        Hauptdiagonale, oder eine $4 \times 4$ Blockmatrix, mit zwei Nullblöcken nebeneinander.
+                        Also $|A_{ij}| = 0$ und damit $\tilde{A} \in G$.
+
+                        Damit folgt mit der 2. Cramerschen Regel:
+                        \[
+                            A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} \in G
+                        .\] 
+                \end{enumerate}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $G$ ist nicht abelsch.
+            \begin{proof}
+                \begin{align*}
+                    \begin{pmatrix} 
+                        1 & 0 & 0 \\
+                        1 & 1 & 0 \\
+                        0 & 1 & 1
+                    \end{pmatrix} 
+                    \cdot 
+                    \begin{pmatrix} 
+                        1 & 0 & 0 \\
+                        0 & 1 & 0 \\
+                        0 & 1 & 1
+                    \end{pmatrix} 
+                    =
+                    \begin{pmatrix} 
+                        1 & 0 & 0 \\
+                        1 & 1 & 0 \\
+                        0 & 2 & 1
+                    \end{pmatrix} 
+                    \neq
+                    \begin{pmatrix} 
+                        1 & 0 & 0 \\
+                        1 & 1 & 0 \\
+                        1 & 2 & 1
+                    \end{pmatrix} 
+                    =
+                    \begin{pmatrix} 
+                        1 & 0 & 0 \\
+                        0 & 1 & 0 \\
+                        0 & 1 & 1
+                    \end{pmatrix} 
+                    \cdot 
+                    \begin{pmatrix} 
+                        1 & 0 & 0 \\
+                        1 & 1 & 0 \\
+                        0 & 1 & 1
+                    \end{pmatrix} 
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $LU$ Zerlegung eindeutig.
+            \begin{proof}
+                Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
+                $A = LU = \tilde{L}\tilde{U}$ mit $L, \tilde{L} \in G$ und
+                $U, \tilde{U}$ obere Dreicksmatrizen.
+
+                Dann ist zunächst $U, \tilde{U}$ regulär, denn: $L, \tilde{L} \in G$, also regulär und
+                die Menge der regulären Matrizen in $\mathbb{K}^{n \times n}$ Gruppe. Somit
+                \[
+                    A = LU = \tilde{L} \tilde{U} \implies L^{-1}A = U \land \tilde{L}^{-1}A = \tilde{U}
+                .\]
+                Damit folgt
+                \begin{align*}
+                    &A = LU \\
+                    \implies & A = \tilde{L}\tilde{U} (\tilde{L}\tilde{U})^{-1} LU \\
+                    \implies & A = A (\tilde{L}\tilde{U})^{-1} LU \\
+                    \implies & E_n = (\tilde{L}\tilde{U})^{-1} LU \\
+                    \implies & E_n = \tilde{U}^{-1} \tilde{L}^{-1} L U \\
+                    \implies &\tilde{U}U^{-1} = \tilde{L}^{-1}L \in G
+                .\end{align*}
+                Da $\tilde{U}$ und $U^{-1}$ obere Dreiecksmatrizen, ist auch das Produkt,
+                analog zu (a) eine obere Dreicksmatrix, d.h.
+                $\tilde{U}U^{-1} \in G$ ist obere Dreicksmatrix, damit folgt
+                $\tilde{U}U^{-1} = E_n$, also $\tilde{L}^{-1}L = E_n \implies L = \tilde{L}$. Also
+                $LU = A =  L \tilde{U}$. Da $L$ regulär, folgt $U = \tilde{U}$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}