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| \documentclass[uebung]{../../../lecture} | |||
| \title{Analysis I: Übungsblatt 10} | |||
| \author{Leon Burgard, Christian Merten, Übungsgruppe Mittwoch} | |||
| \usepackage[]{mathtools} | |||
| \begin{document} | |||
| % punkte tabelle | |||
| \begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}} | |||
| \hline | |||
| Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering A5 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline | |||
| Punkte & & & & & & & \\[5mm] \hline | |||
| \end{tabular} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetige Funktion mit $f(a) = 0$ und $f(x) \neq 42$ $\forall x \in [a,b]$. | |||
| Beh.: $f(b) < 42$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Angenommen: $f(b) \ge 42$. Dann folgt mit ZWS: $\exists x \in [a,b]$, s.d. | |||
| $f(x) = 42$. Widerspruch zu $f(x) \neq 42 \; \forall x \in [a,b]$. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Seien $f, g\colon \R \to \R$ stetige Funktionen mit | |||
| $f(42) > g(42)$ und $f(x) \neq g(x)$ $\forall x \in \R$. | |||
| Beh.: $f(x) > g(x)$ $\forall x \in \R$ | |||
| \begin{proof} | |||
| Angenommen: $\exists a \in \R$, s.d. $f(a) < g(a)$. Dann definiere | |||
| $d(x) := f(x) - g(x)$. Wegen $f, g$ stetig, ist auch $d$ stetig. | |||
| O.B.d.A. $a < 42$. Dann wähle $b := 42$. Wegen | |||
| $f(b) > g(b) \implies d(b) > 0$ und da | |||
| $f(a) < g(a) \implies d(a) < 0$.\\ | |||
| $\stackrel{\text{ZWS}}{\implies} \exists x' \in [a,b]$ mit | |||
| $d(x') = 0 \implies f(x') = g(x')$. Widerspruch. | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig-stetig. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $f\colon D \to \R$ Lipschitz-stetig auf $D \subset \R$. Dann | |||
| $\exists L > 0$, s.d. $|f(x) - f(y)| \le L |x - y|$ $\forall x,y \in D$. | |||
| Sei nun $\epsilon > 0$ beliebig. Wähle $\delta := \frac{\epsilon}{L}$. Dann gilt | |||
| $\forall x, y \in D$ mit $|x - y| < \delta = \frac{\epsilon}{L}$ | |||
| \[ | |||
| |f(x) - f(y)| \le L |x-y| < L \cdot \frac{\epsilon}{L} = \epsilon | |||
| .\] | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $f\colon \R^{+} \to \R$ mit $f(x) = \sqrt{x}$ | |||
| ist gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $\epsilon > 0$ bel. dann wähle $\delta := \left( \frac{\epsilon}{2} \right)^2$. | |||
| Dann gilt $\forall x, y \in \R^{+}$ mit $|x-y| < \delta$: | |||
| \[ | |||
| |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \stackrel{\sqrt{x} \text{ monoton steigend}}{<} | |||
| |\sqrt{x + \delta } - \sqrt{x}| | |||
| = \left| \frac{\delta}{\sqrt{x + \delta } + \sqrt{x} } \right| | |||
| < \left| \frac{\delta}{\sqrt{\delta }} \right| | |||
| = \frac{\epsilon^2}{4} \cdot \frac{2}{\epsilon} | |||
| = \frac{\epsilon}{2} | |||
| < \epsilon | |||
| .\] $\implies$ $f$ gleichmäßig-stetig. | |||
| Sei nun $L \in \R$ beliebig und wähle $x := 0$. Dann gilt | |||
| \[ | |||
| \frac{|\sqrt{x} - \sqrt{y}| }{|x-y|} = \frac{\sqrt{y} }{|y|} | |||
| = \frac{1}{\sqrt{y}} \xrightarrow{y \searrow 0} \infty > L | |||
| .\] $\implies$ $f$ in $x_0 = 0$ nicht Lipschitz-stetig. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $f\colon D \to \R$ gleichmäßig stetig auf $D \subset \R$. | |||
| Sei $\epsilon > 0$ bel. dann ex. ein $\delta > 0$ mit | |||
| $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ $\forall x, y \in D$ mit $|x - y| < \delta $. | |||
| Insbesondere für ein beliebiges $a \in D$ gilt also | |||
| $\forall x \in D$ mit $|x - a| < \delta $: | |||
| \[ | |||
| |f(x) - f(a)| < \epsilon | |||
| .\] $\implies f$ stetig. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: Die Funktion $f\colon \R \to \R$ mit $f(x) = x^2$ ist stetig, | |||
| aber nicht gleichmäßig stetig. | |||
| \begin{proof} | |||
| $f$ ist als Polynom stetig. Wähle nun $\epsilon := 1$ und $\delta > 0$ beliebig. | |||
| Dann wähle $x > \frac{1}{\delta} - \frac{\delta }{4}$ und | |||
| $y := x + \frac{\delta}{2}$. Dann gilt $|x - y| = \frac{\delta}{2} < \delta $, aber | |||
| \[ | |||
| \left| \left( x + \frac{\delta}{2} \right)^2 - x^2 \right| | |||
| = \left| x^2 + \delta x + \frac{\delta^2}{4} - x^2 \right| | |||
| = \left|\delta x + \frac{\delta ^2}{4} \right| | |||
| > \left| 1 - \frac{\delta ^2}{4} + \frac{\delta ^2}{4} \right| = 1 = \epsilon | |||
| .\] $\implies f$ nicht gleichmäßig stetig. | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{itemize} | |||
| \item $\sin(0) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \cdot 0 = 0$ | |||
| \item $\cos(0) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \cdot \frac{0^{2k}}{(2k)!} = 1$ | |||
| \item $\sin(\pi) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \underbrace{\cos \frac{\pi}{2}}_{= 0} + | |||
| \underbrace{\cos \frac{\pi}{2}}_{= 0} \cdot \sin \frac{\pi}{2} = 0$ | |||
| \item $\sin(2\pi) = \underbrace{\sin \pi}_{=0} \cdot \cos \pi | |||
| + \cos \pi \cdot \underbrace{\sin \pi}_{=0} = 0$ | |||
| \item $\cos \pi = \underbrace{\cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2}}_{= 0} | |||
| - \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} (*)$ | |||
| \begin{align*} | |||
| &\cos \pi - \cos 0 = - 2\cdot \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} \\ | |||
| \implies& \cos \pi - 1 = - 2 \left( \sin \frac{\pi}{2} \right)^2 \\ | |||
| \stackrel{(*)}{\implies}& - \left( \sin \frac{\pi}{2} \right)^2 | |||
| - 1 = - 2 \left( \sin \frac{\pi}{2} \right)^2 \\ | |||
| \implies & \left( \sin \frac{\pi}{2} \right)^2 = 1 \\ | |||
| \stackrel{(*)}{\implies} & \cos \pi = -1 | |||
| .\end{align*} | |||
| \item $\cos 2\pi = \underbrace{\cos \pi \cdot \cos \pi}_{= 1} | |||
| - \underbrace{\sin \pi \cdot \sin \pi}_{= 0} = 1$ | |||
| \item $\sin \frac{3}{2}\pi - \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cos(\pi) \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) | |||
| \stackrel{\cos \pi = -1}{\implies} \sin \frac{3}{2} \pi = - \sin \frac{\pi}{2}$ | |||
| \item $\sin 2\pi - \sin \pi = 0 = 2 \cos \frac{3}{2} \pi \cdot \sin \frac{\pi}{2} | |||
| \stackrel{\sin \frac{\pi}{2} \neq 0}{\implies} \cos \frac{3}{2} \pi = 0$ | |||
| \item Aus VL folgt $\sin x > 0$ $\forall x \in ]0,2[$ und $\frac{\pi}{2} \in ]0,2[$ | |||
| $\implies \sin \frac{\pi}{2} = 1$ und damit $\sin \frac{3}{2} \pi = -1$. | |||
| \end{itemize} | |||
| \end{proof} | |||
| \item | |||
| \begin{proof} Mit $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ und (a) folgen direkt | |||
| \begin{itemize} | |||
| \item $e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$ | |||
| \item $e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$ | |||
| \item $e^{i\frac{3\pi}{2}} = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$ | |||
| \item $e^{i 2\pi} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$ | |||
| \end{itemize} | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item $f(x) = (x^{x})^{x} = e^{\ln(x) \cdot x^2}$, $x > 0$. Mit Ketten- und Produktregel folgt | |||
| \[ | |||
| f'(x) = e^{\ln(x)\cdot x^2} (x + 2x \cdot \ln(x)) = (x^{x})^{x} (x + 2 x \ln x) | |||
| .\] | |||
| \item $f(x) = \ln(x)^{x} = e^{\ln(\ln x) \cdot x}$, $x > 0$. Mit Ketten- und Produktregel folgt | |||
| \[ | |||
| f'(x) = \ln(x)^{x} \left(\frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \cdot x + \ln(\ln(x))\right) | |||
| = \ln(x)^{x}\left(\frac{1}{\ln(x)} + \ln(\ln(x))\right) | |||
| .\] | |||
| \item $f(x) = \frac{x^{4} + 2x^{3} -x}{x^{3} + 1}$, $x \neq -1$. Mit Quotientenregel folgt | |||
| \[ | |||
| f'(x) = \frac{(4 x^{3} + 6x^2 - 1)(x^{3}+1)-(x^{4}+2x^{3}-x)(3x^2)}{(x^{3}+1)^2} | |||
| = \frac{x^{6}+6x^{3}+6x^2-1}{x^{6}+2x^{3}+1} | |||
| .\] | |||
| \item $f(x) = \left( \sqrt{x} +1 \right) \left( \frac{1}{\sqrt{x} } - 1 \right) $, $x > 0$. | |||
| Mit Produktregel folgt | |||
| \[ | |||
| f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \left( \frac{1}{\sqrt{x} } -1 \right) | |||
| + \left( \sqrt{x} +1 \right) \left( -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} \right) | |||
| = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2\sqrt{x} } - \frac{\sqrt{x} }{2x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = \frac{-x-1}{2x^{\frac{3}{2}}} | |||
| .\] | |||
| \item $f(x) = \frac{\ln(x)}{1+x^2}$, $x > 0$. Mit Quotientenregel folgt | |||
| \[ | |||
| f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(1+x^2) - \ln(x)\cdot 2x}{(1+x^2)^2} | |||
| = \frac{\frac{1}{x} + x - \ln(x)\cdot 2x}{(1+x^2)^2} | |||
| = \frac{1 + x^2(1 - \ln(x))}{x(1+x^2)^2} | |||
| .\] | |||
| \item $f(x) = \sin(x)^{\cos(x)} = e^{\ln(\sin(x)) \cdot \cos(x)}$, | |||
| $x \in \{ 0 < x - 2\pi k < \pi \mid k \in \Z\} $. | |||
| Mit Ketten- und Produktregel folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| f'(x) &= \sin(x)^{\cos(x)} \left(\frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) \cdot \cos(x) - \ln(\sin(x)) \cdot \sin(x)\right) \\ | |||
| &= \sin(x)^{\cos(x)} \left( \cot(x) \cdot \cos(x) - \ln(\sin(x)) \cdot \sin(x) \right) \\ | |||
| &= \sin(x)^{\cos(x)+1} (\cot(x)^2 - \ln(\sin(x))) | |||
| .\end{align*} | |||
| Für $x = 2\pi k$, $k \in \Z$: | |||
| \begin{align*} | |||
| D_h f(2\pi k) = D_h f(0) &= \frac{\sin(h)^{\cos(h)} - \sin(0)^{\cos(0)}}{h} \\ | |||
| &= \frac{e^{\ln(\sin(h)) \cdot \cos(h)}}{e^{\ln(h)}} \\ | |||
| &= e^{\underbrace{\ln(\sin(h))}_{\to \ln(h)} \cdot \underbrace{\cos(h)}_{\to 1} - \ln(h)} | |||
| \xrightarrow{h \to 0} e^{0} = 1 | |||
| .\end{align*} $\implies f'(2\pi k) = 1$. | |||
| Für $\pi \le x - 2\pi k < 2\pi$: $\sin(x) < 0 \implies \sin(x)^{\cos(x))} \not\in \R$. | |||
| \item $f(x) = \ln(\tan(x)) - \frac{\cos(2x)}{\sin^2(2x)}$, $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) $. | |||
| Mit Quotientenregel folgt für | |||
| $(\tan(x))' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}$. Damit folgt mit Ketten- und Quotientenregel: | |||
| \begin{align*} | |||
| f'(x) &= \frac{1}{\tan(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} - | |||
| \frac{2 \sin(2x) \cdot \sin^2(2x) - \cos(2x) \cdot 2 \sin(2x) \cdot 2 \cos(2x)}{\sin^{4}(2x)} \\ | |||
| &= 2 \cdot \frac{\cos^2(2x) + 1}{\sin^{3}(2x) \sin(x)\cos(x)} | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $f_n(x) := \left| \cos^{n}(x) \right| $, $n \in \N$ konvergiert auf dem | |||
| Intervall $D := [0, \pi]$ punktweise gegen $f(x) := \begin{cases} | |||
| 1 & x \in \{0, \pi\} \\ | |||
| 0 & \text{sonst} | |||
| \end{cases}$, aber nicht gleichmäßig. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $0 < \epsilon < 1$ und $x \in [0, \pi]$ beliebig. Für $x \in \{0, \pi\} $ | |||
| gilt $\forall n \in \N$ | |||
| \[ | |||
| |f_n(x) - f(x)| = |\cos^{n}(x) - f(x)| = |1^{n} - 1| = 0 < \epsilon | |||
| .\] Für $0 < x < \pi$: Wähle $n_{\epsilon} := \left\lceil \frac{\ln(\epsilon)}{\ln|\cos(x)|}\right\rceil$. | |||
| Dann gilt $\forall n \in \N$, $n > n_{\epsilon}$: | |||
| \[ | |||
| |f_n(x) - f(x)| = |\cos^{n}(x)| | |||
| \stackrel{|\cos(x)| < 1} < |\cos^{n_{\epsilon}}(x)| | |||
| \le \left|\cos^{\frac{\ln(x)}{\ln|\cos(x)|}}\right| | |||
| = e^{\frac{\ln(\epsilon)}{\ln|\cos(x)|} \ln|\cos(x)|} | |||
| = \epsilon | |||
| .\] $\implies f_n(x)$ punktweise konvergent | |||
| Sei nun $n_{\epsilon} \in \N$ beliebig. Definiere | |||
| $\zeta = e^{\frac{\ln(\epsilon)}{n_{\epsilon}}} > 0$. Wegen | |||
| $\epsilon < 1 \implies \ln(\epsilon) < 0 \implies \zeta < 1$. | |||
| Damit definiere $\xi := \arccos\left( \zeta \right)$. | |||
| Dann gilt | |||
| $\forall x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ mit $x < \xi$: | |||
| \begin{align*} | |||
| |f_{n_{\epsilon}}(x) - f(x)| | |||
| = \left| \cos^{n_{\epsilon}}(x) \right| | |||
| > \left| \cos^{n_{\epsilon}}\left( \arccos\left( e^{\frac{\ln(\epsilon)}{n_{\epsilon}}} \right) \right) \right| | |||
| = e^{\frac{\ln(\epsilon)}{n_{\epsilon}} \cdot n_{\epsilon}} | |||
| = \epsilon | |||
| .\end{align*} | |||
| $\implies f_n$ nicht gleichmäßig konvergent. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $f_n(x)$ konvergiert auf dem Intervall | |||
| $\widetilde{D} := \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right] $ gleichmäßig | |||
| mit $f(x) = 0$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Dann wähle | |||
| $n_{\epsilon} := \left\lceil \frac{\ln(\epsilon)}{\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} \right\rceil $. Sei nun $x \in \widetilde{D}$ bel. Dann | |||
| gilt $\forall n \in \N$, $n > n_{\epsilon}$ | |||
| \begin{align*} | |||
| |f_n(x) - f(x)| \qquad \qquad | |||
| &= \qquad \qquad |\cos^{n}(x)| \\[2mm] | |||
| &\stackrel{\mathclap{|\cos(x)| < 1}}{<} \qquad \qquad |\cos^{n_{\epsilon}(x)}| \\[2mm] | |||
| &\le \qquad \qquad e^{\ln|\cos(x)| \frac{\ln(\epsilon)}{\ln\left( \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) \right) }} \\[2mm] | |||
| &\stackrel{\mathclap{\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) \;>\; |\cos(x)|}}{\le} \qquad \qquad | |||
| e^{\ln\left( \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) \right) \cdot \frac{\ln(\epsilon)}{\ln\left( \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) \right) } } \\[2mm] | |||
| &= \qquad \qquad \epsilon | |||
| .\end{align*} | |||
| $\implies f_n$ gleichmäßig konvergent. | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \end{document} | |||