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lecture.cls

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+% integral d sign
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ws2019/ana/lectures/analysis26.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\subsection{Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale}
+
+\begin{satz}[Cauchy-Kriterium]
+    Es sei $-\infty < a < b \le + \infty$ und $f\colon [a,b) \to \R$ lokal
+    integrierbar $\forall [a,c] \subset [a,b)$.
+    Dann gilt: $\int_{a}^{b} f(x) dx $ konvergiert genau dann, wenn
+    $\forall \epsilon > 0$ $\exists a < b_{\epsilon} < b$ s.d.
+    $\forall b_{\epsilon} < b_1 < b_2 < b$ gilt
+    \begin{align*}
+        \left| \int_{b_1}^{b_2} f(x) dx  \right|  < \epsilon
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Majoranten-Minoranten Kriterium]
+    Seien $f, g, h \colon [a, b) \to \R (b \le \infty)$
+    integrierbar $\forall [a,c] \subset [a,b)$ und
+    $ 0 \le h(x) \le |f(x)| \le g(x)$ $\forall x \in [a,b)$.
+    Dann gilt:
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} |f(x)| dx \begin{cases}
+            \text{konvergent, falls } \int_{a}^{b} g(x) \d x \text{ konvergent}  \\
+            \text{divergent, falls } \int_{a}^{b} h(x) \d t \text{ divergent} 
+        \end{cases}
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Grenzwertkriterium]
+    Seien $f, g\colon [a, b) \to \R$ $(b \le \infty)$ integrierbar
+    $\forall [a,c] \subset [a,b)$ und es ex. der Grenzwert
+    $\lim_{t \nearrow b} \frac{f(t)}{g(t)} \in (0, +\infty) $ Dann
+    sind die Integrale $\int_{a}^{b} f(x) \d x $ und
+    $\int_{a}^{b} g(x) \d x $ entweder beide konvergent oder beide
+    divergent.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+    Seien $a_n, b_n$ positiv und $\frac{a_n}{b_n} \xrightarrow{n \to \infty} q \in (0, \infty)$. Dann sind $\sum_{k=1}^{\infty} a_n$ und
+    $\sum_{k=1}^{\infty} b_n$ entweder beide konvergent oder beide divergent.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Dirichlet-Kriterium]
+    Sei $f\colon [a, \infty) \to \R$ in $[a, \infty)$ integrierbar und
+    $\sup_{x \ge a} \left| \int_{a}^{x} f(t) \d t \right| = M < \infty$.
+
+    Sei $g\colon [a, \infty) \to \R_{+}$ differenzierbar und
+    monoton gegen Null fallend, dann ex. das uneigentliche Integral
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{\infty} f(t) g(t) \d t = \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} f(t)g(t) \d t 
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}
+    $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \d x$ mit
+    $f(x) = \sin x$ und $g(x) = \frac{1}{x}$.
+\end{bsp}
+
+\begin{proof}
+    $f, g$ sind integrierbar, $f\cdot g$ auch
+    integrierbar auf $[a,x] \subset [a, \infty)$ $\forall x$.
+    Das Integral $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \d t $ ex. und
+    ist Stammfunktion von $f$ nach HDI.
+
+    Es gilt (partielle Integration)
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{x} f(t) g(t) \d t = F(t) g(t) \Big|_{a}^{x} -
+        \int_{a}^{x} f(t) g'(t) \d t
+    .\end{align*}
+    Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Dann ex. $\beta_{\epsilon} > a$ s.d.
+    \begin{align*}
+        g(x) < \frac{\epsilon}{2M} \text{ für } x \ge \beta_{\epsilon}
+        \quad g \text{ (monoton gegen Null fallend)}
+    .\end{align*} und $g'(x) \le 0$.
+
+    Sei $\beta > \alpha \ge \beta_{\epsilon}$ 
+    \begin{align*}
+        \left| \int_{\alpha}^{\beta} F(t) g'(t)\d t  \right| 
+        &\le M \int_{\alpha}^{\beta} |g'(t)| \d t  \\
+        &= - M \int_{\alpha}^{\beta} g'(t) \d t \\
+        &= - M g(t) \Big|_{\alpha}^{\beta} \\
+        &= - M (g(\beta) - g(\alpha)) = M (g(\alpha) - g(\beta)) \\
+        &\le 2 M g(\alpha) \le \epsilon \quad
+        \forall \alpha \ge \beta_{\epsilon}
+    .\end{align*}
+
+    Nach Cauchy-Kriterium existiert
+    \begin{align*}
+        \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} F(t) g'(t) \d t 
+        = \int_{a}^{\infty} F(t) g'(t) \d t
+    .\end{align*}
+
+    Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} f(t) g(t) \d t
+        = \lim_{x \to \infty} \underbrace{F(x)}_{\text{beschränkt}}
+        \underbrace{g(x)}_{\xrightarrow{x \to \infty} 0}
+        - \lim_{x \to \infty} \underbrace{F(a)}_{= 0} g(a) -
+        \underbrace{\int_{a}^{\infty} F(t) g'(t) \d t}_{\text{existiert}}
+    .\end{align*}
+    $\implies \lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x} f(t) g(t) \d t $ existiert.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Integralkriterium für Reihen]
+    Sei $f\colon [n_0, \infty) \to \R$ eine stetige
+    monton fallende Funktion. Dann gilt:
+    \[
+        \sum_{k=n_0}^{\infty} f(k) < \infty \iff
+        \int_{n_0}^{\infty} f(x) \d x < \infty
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ,,$\implies$'' Die Reihe ist konvergent. Sei $n > n_0$, $n \in \N$
+    \[
+        \int_{n_0}^{n+1} f(x) \d x = \sum_{k=n_0}^{n} \int_{k}^{k+1} f(x) \d x
+        \quad \qquad \stackrel{f \text{ monoton fallend}}{\le } \qquad \quad
+        \sum_{k=n_0}^{n} f(k) \cdot 1 \le \sum_{k=n_0}^{\infty} f(k) < \infty
+    .\] $\implies \int_{n_0}^{\infty} f(x) \d x $ existiert.
+
+    ,,$\impliedby$'' $\int_{n_0}^{\infty} f(x) \d x $ existiert. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \sum_{k=n_0}^{n} f(k) &= f(n_0) + \sum_{k=n_0}^{n-1} f(k+1) \\
+                              &\le f(n_0) + \sum_{k=n_0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(t) \d t \\
+                              &\le f(n_0) + \int_{n_0}^{\infty} f(t) \d t 
+                              < \infty \quad \forall n
+    .\end{align*}
+    $\implies$ die Reihe ist konvergent.
+\end{proof}
+
+\end{document}