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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\title{Analysis III: Übungsblatt 1}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\begin{aufgabe}[]
+    Beh.: $\mathcal{A}_{\mu}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
+    \begin{proof}
+        \begin{enumerate}[(i)]
+            \item $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da
+                $\mu$ Maß und $X \triangle X = \emptyset$. Mit (ii) ist
+                auch $\emptyset = X^{C} \in \mathcal{A}_{\mu}$.
+            \item Sei $A \in \mathcal{A}_{\mu}$. Dann ex.
+                $B, C \in \mathcal{A}$ mit $\mu(C) = 0$ und
+                $A \triangle B \subset C$. Dann ist
+                \[
+                    A^{c} \triangle \underbrace{B^{c}}_{\in \mathcal{A}}
+                    = A^{c} \setminus B^{c} \cup B^{c} \setminus A^{c}
+                    = B \setminus A \cup A \setminus B
+                    = A \triangle B
+                    \subset C
+                .\] 
+                Also $A^{c} \in \mathcal{A}_{\mu}$.
+            \item Sei $A_i \in \mathcal{A}_{\mu}$ für $i \in \N$. Dann
+                ex. $\forall i \in \N$ ein $B_i \in \mathcal{A}$ und
+                $\mu$-Nullmenge $C_i \in \mathcal{A}$, s.d.
+                $A_i \triangle B_i \subset C_i$.
+
+                Betrachte nun $B := \bigcup_{i \in \N} B_i$
+                und $C := \bigcup_{i \in \N} C_i$. Es ist
+                $B, C \in \mathcal{A}$
+                da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra. Außerdem
+                ist $\mu(C) = 0$, wg. $\sigma$-Additivität von $\mu$.
+                Damit folgt
+                \begin{align*}
+                    A \triangle B &=
+                    \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right)
+                    \triangle
+                    \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \right)  \\
+                                  &=
+                                  \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus \bigcup_{i \in \N} B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \\
+                                  &\subset
+                                  \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus A_i \right) \\
+                                  &= \bigcup_{i \in \N} \left( A_i \setminus B_i \cup B_i \setminus A_i \right) \\
+                                  &\subset C_i \\
+                                  &= C
+                .\end{align*}
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+
+    Beh.: $\overline{\mu}$ ist ein Maß.
+    \begin{proof}
+        \begin{enumerate}[(i)]
+            \item Z.z.: $\overline{\mu}$ wohldefiniert. Sei dazu
+                $A \in \mathcal{A}_{\mu}$ und $B, B', C, C' \in \mathcal{A}$,
+                s.d. $A \triangle B \subset C$ und $A \triangle B' \subset C'$.
+                Definiere $\tilde{C} := C \cup C' \in \mathcal{A}$
+                Es folgt direkt $\mu(\tilde{C}) = 0$. Es
+                gilt weiter
+                \begin{align*}
+                    \tilde{C} \supset \underbrace{(A \triangle B)}_{\subset C} \triangle
+                    \underbrace{(A \triangle B')}_{\subset C'}
+                    &= \underbrace{A \triangle A}_{= \emptyset} \triangle B \triangle B' \\
+                    &= B \triangle B' \\
+                    &= B \setminus B' \cup B' \setminus B
+                .\end{align*}
+                Also insbesondere $B \setminus B' \subset \tilde{C}$ und
+                $B' \setminus B \subset \tilde{C}$.
+                Mit $B = (B \setminus B') \cup (B \cap B')$ disjunkt und
+                der $\sigma$-Additivität von $\mu$ folgt
+                \begin{align*}
+                    \mu(B) &= \mu(\underbrace{B \setminus B'}_{\subset \tilde{C}}) + \mu(B \cap B') \\
+                           &= 0 + \mu(B \cap B') + 0 \\
+                           &= \mu(B \cap B') + \mu(\underbrace{B' \setminus B}_{\subset \tilde{C}}) \\
+                           &= \mu(B')
+                .\end{align*}
+                Also $\overline{\mu}$ wohldefiniert.
+            \item Z.z.: $\overline{\mu}(\emptyset) = 0$. Es ist
+                $\emptyset \triangle \emptyset = \emptyset$, also
+                $\overline{\mu}(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0$.
+            \item Die $\sigma$-Additivität folgt direkt aus der
+                $\sigma$-Additivität von $\mu$.
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}