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ws2019/ana/lectures/analysis7.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{enumerate}
+
+\begin{document}
+
+\textbf{Heute:} Frustcafé (deswegen kürzere Plenarübung)
+
+\textbf{Nächsten Mittwoch:} Vorlesung fällt aus, aber Ersatztermin
+wird gesucht.
+
+\section{Reelle Zahlen}
+
+Fortsetzung Beweis:
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Zz: $\forall [ (a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$ $\exists z \in \R$
+            \[
+                z = \pm \left( z_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots ) \right) 
+            .\] 
+            O.B.d.A. $z > 0, a_n > 0, n \in \N$
+            \[
+                (a_n)_{n\in\N} \text{ C.F. } \implies 0 < a_n < N
+                \text{ } \forall n \in \N
+            .\] $\implies z_0 \in \N_0$, s.d.
+            O.B.d.A. $(a_n)_{n\in\N} \subset I_0$
+            \[
+            I_0 := \{ x \in \Q  \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < N\} 
+            .\] 
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw (0, 0) -- (10, 0);
+            \end{tikzpicture}
+
+            $I_0$ wird unterteilt in 10 Teilintervalle.
+
+            Für ein $d_1 \in \{0, \ldots, 9\} $ ein Intervall
+            \[
+                I_1 := \{ x \in I_0  \mid  z_0 + d_1 \cdot 10^{-1}
+                \le x < z_0 + (d_1 + 1) \cdot 10^{-1}\} 
+            .\] 
+            Sei $z_1 = z_0 + 0,d_1 $, dann
+            \[
+            I_1 = \{ x \in I_0  \mid z_1 \le x < z_1 + 10^{-1}\} 
+            .\] 
+            $\implies \exists n_1$ Index s.d. $|z_1-a_{n_1}| \le 10^{-1}$
+
+            usw. $\ldots$
+
+            Ergebnis: eine Folge von Teilintervallen
+
+            o.B.d.A.
+            \[
+            (a_n)_{n\in\N} \subset \ldots \subset I_{k+1} \subset I_k \subset \ldots \subset I_1 \subset I_0
+            .\] 
+            \[
+            z_k := z_{k-1} + d_k \cdot 10^{-k} \in \Q
+            .\] 
+            \[
+            I_k = \{x \in I_{k-1}  \mid z_k \le x < z_k + 10^{-k}\} 
+            .\] 
+            $\exists n_k:$ Index s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$
+
+            Das heißt für eine Folge
+            \[
+            z_k := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \in \Q, k \in \N
+            .\] 
+            existiert eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\N}$ von der
+            C.F. $(a_n)_{n\in\N}$, s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$, $k \in \N$
+            $\implies (z_k - a_{n_k})_{k \in \N}$ Nullfolge, d.h. \\
+            $\implies (z_k)_{k\in\N} \sim  (a_{n_k})_{k\in\N}$ \\
+            $\implies (z_k)_{k\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N} $ \\
+            $\implies (z_k)_{k\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}]$ 
+
+            und der resultierende Dezimalbruch ist:
+            \[
+            z := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \ldots \in \R
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+
+    Wir haben gezeigt:
+    \[
+        \forall [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R} \text{: } \exists z \in \R
+    .\] Damit: $\implies$ Abbildung ist surjektiv und damit bijektiv.
+    \[
+        \implies \exists \text{ ,,inverse Abbildung''}: \overline{\R} \to \R
+    .\] die auch bijektiv ist.
+
+    Diese Abbildung ist auch verträglich mit der Addition und der
+    Multiplikation, d.h. $[(a_n)_{n\in\N}] \mapsto a$ und $[(a_n')_{n \in \N}    \mapsto a']$
+
+    Dann $[ (a_n)_{n\in\N}] + [(a'_n)_{n\in\N}] := a + a'$ \\
+    $[ (a_n)_{n\in\N}] \cdot [(a'_n)_{n\in\N}] := a \cdot a'$
+
+    Abbildung $\R \longleftrightarrow \overline{\R}$ ist Isomorphismus.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+
+    Die Darstellung ist durch einen Dezimalbruch ist nicht immer eindeutig.
+    z.B.:
+    \[
+    0,9999 \ldots = 0,\overline{9} = 1 = 1,0000 \ldots
+    .\] 
+    Deshalb, falls $z = z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k 999 $ $d_k \le 8$ dann:
+
+    $z := z_0 + 0, d_1 d_2 \ldots (d_k + 1) 0 \ldots$
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+    Der Satz gilt auch für ,,b-adische'' Brüche mit Basis $b \in \N, b \ge 2$ :
+    $a \in \R$ besitzt eine sogenannte ,,b-adische Entwicklung'':
+    \[
+        a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2 \ldots) = \pm (a_0 + d_1 \cdot b^{-1} + d_2 \cdot b^{-2} + \ldots )
+    .\] mit $a_0 = g_0 + g_1 \cdot b + g_2 \cdot b^{2} + \ldots$ $\in \N_0$
+    mit Ziffern $d_n, g_n \in \{0, 1, \ldots, b-1\} $
+    Für $b=2$ : dijadische Entwicklung
+\end{bem}
+
+\subsubsection{Zusammenfassung}
+
+Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge 
+$(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen.
+
+Beispiel: $\sqrt{2} $
+
+\begin{tikzpicture}
+    \draw (0, 0) -- (10, 0) -- (10, 0.5) -- (0, 0.5) -- (0,0);
+    \draw (2, 0) -- (8, 0) -- (8, 0.3) -- (2, 0.3) -- (2,0);
+    \draw (4, 0) -- (6, 0) -- (6, 0.2) -- (4, 0.2) -- (4,0);
+\end{tikzpicture}
+
+$\forall (a_n), (b_n)$ $a_n \to a, b_n \to a \iff (a_n - b_n)_{n \in \N}$ Nullfolge.
+
+Deshalb:
+
+\begin{itemize}
+    \item Definiere C.F. rationaler Zahlen
+    \item Äquivalenzrelation:
+        \[
+            (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} :\iff (a_n - b_n)_{n \in \N} \text{ Nullfolge }
+        .\] 
+        und Äquivalenzklasse:
+        \[
+            \overline{R} := \{ [(a_n)_{n\in\N}]\} 
+        .\] 
+    \item Eine Klasse aus $\overline{\R} \iff$ eine reelle Zahl 
+\end{itemize}
+
+Konstruktion nach Cantor, 1873
+
+Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'',
+,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''.
+
+\subsection{Der Körper $\R$}
+
+Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$
+zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen.
+
+Alle Struktureigenschaften von $\Q$ sind über den Grenzübergang
+auf $\R$ übertragbar.
+
+\begin{definition}[Absolutbetrag]
+    \[
+    |a| := \lim_{n \to \infty} |a_n|
+    .\] 
+    Folglich: Begriffe ,,Konvergenz'' und ,,Cauchy-Folgen'' gelten auch
+    für Folgen reeller Zahlen.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Arithmetische Grundoperationen]
+    \[
+        a + b := \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)
+    .\] 
+    \[
+        a \cdot b := \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) 
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Ordnungsrelation]
+    \[
+        a > b :\iff \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) > 0
+    .\] 
+    und folglich: $\exists \alpha \in \Q_+$ s.d. $a_n - b_n \ge \alpha$ für
+    fast alle $n \in \N$.
+    \[
+        a \ge b :\iff a > b \text{ oder } a = b
+    .\] 
+    \[
+    a < b :\iff b > a
+    .\] 
+    \[
+    a \le b :\iff b \ge a
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Positivität]
+    \[
+    \R^{+} := \{a \in \R  \mid  a > 0\} 
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Folge:
+
+    \begin{proof}[Beispiel für Absolutbetrag]
+        Seien $(a_n)_{n\in\N}, (a'_n)_{n\in\N}$ zwei approximierende
+        Folgen von $a$, d.h. $(a_n - a'_n)_{n \in \N}$ ist eine Nullfolge.
+
+        Zu zeigen:
+        \[
+        |a| = \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n|
+        .\] d.h. zu zeigen:
+        \begin{align*}
+        &\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| \\
+            \iff &\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| - |a'_n|\right) = 0
+        .\end{align*}
+
+        Betrachte:
+        \[
+         | |a_n| - |a'_n| | \le | a_n - a_n'| < \epsilon 
+        .\] $\implies \left( |a_n| - |a'_n| \right) $ ist Nullfolge \\
+        $\implies |a_n| = |a_n'|$ \\
+        $\implies \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| = |a|$
+    \end{proof}
+
+    Die anderen Beweise folgen analog.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Der vollständige Körper $\R$]
+    \begin{enumerate}
+        \item $(\R, +, \cdot, >)$ ist angeordneter Körper
+        \item $\Q$ ist Unterkörper von $\R$
+        \item Der Körper $\Q$ ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge in
+            $\R$ hat einen Grenzwert in $\R$.
+        \item Der Unterkörper $\Q$ ist ,,dicht'' in $\R$, d.h. 
+            \[
+                \forall a \in \R, \forall \epsilon > 0, \exists g_\epsilon \in \Q \text{ s.d. } |a - q_\epsilon| < \epsilon
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Körperaxiome (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität)
+            sind trivial
+
+            Neutrales Element der Addition:
+            \[
+                0 := 0, 0\ldots \text{ Klasse der Nullfolgen z.B.: }
+                a_n = 0 \forall n \in \N
+            .\] 
+            Neutrales Element der Multiplikation
+            \[
+                1 := 1,0 \ldots 0 \text{\hspace{10mm}} [(1)_{n \in\N}]
+            .\] 
+            Existenz der inversen Elemente bezüglich der Addition
+            \[
+            a + x = 0, a \in \R
+            .\] 
+            \[
+                x = -a = \lim_{n \to \infty} (- a_n)
+            .\] 
+
+            Existenz der inversen Elemente bezüglich der Multiplikation
+            \[
+            b \cdot x = 1, b \in \R \setminus \{0\}
+            .\] 
+            \[
+            x = \frac{1}{b} := \lim_{n \to \infty} c_n
+            .\] 
+            \[
+                (c_n)_{n\in\N} = \text{ ? }
+            .\] 
+            $b \in \R \setminus \{0\} \implies \lim_{n \to \infty} b_n = b \neq  0$ \\
+            $ \implies (b_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ fast
+            alle Elemente $b_n \neq  0$ (Übung!)
+
+
+            Definiere:
+            \[
+            c_n := \begin{cases}
+                0 & b_n = 0 \\
+                \frac{1}{b_n} & b_n \neq 0
+            \end{cases}
+            .\] 
+            Dann $(b_n \cdot c_n) $ = 
+            \[
+                (b_n \cdot c_n) = \begin{cases}
+                    0 & b_n = 0 \\
+                    1 & b_n \neq 0
+                \end{cases}
+            .\] 
+            $\implies \lim_{n \to \infty} (b_n \cdot c_n) = 1$
+        \item $a \in \Q$ entspricht $[(a_n)_{n \in \N}]$ mit
+            $a_n = a$ $\forall n \in \N$ $\implies$ $\Q \subset \R$,
+            $\Q$ Körper \\
+            $\implies Q$ Unterkörper von $\R$.
+        \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine C.F. reeller Zahlen.
+            \[
+                \forall a_n \in \R \text{ } \exists \text{ approx. Folge} (a_{n, m})_{m \in \N}
+            .\] 
+            \[
+            a_{n, m} \in \Q \forall n, m \in \Q
+            .\] 
+            \[
+            a_n := \lim_{n \to \infty} a_{n, m} n \in \N
+            .\] 
+            $\forall n \in \N$ wähle $k_n \in \N$ mit:
+            \[
+            |a_n - a_{n, k_{n}}| < \frac{1}{n}
+        .\] Wir zeigen, dass $(a_{n, k_n})_{n \in \N}$ rationaler Zahlen eine
+        C.F. ist.
+
+        Sei $\epsilon > 0$. Dann 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\end{document}