Merge branch 'master' of gitea:christian/uni
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@@ -0,0 +1,320 @@
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\documentclass{../../../lecture}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{enumerate}
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\begin{document}
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\textbf{Heute:} Frustcafé (deswegen kürzere Plenarübung)
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\textbf{Nächsten Mittwoch:} Vorlesung fällt aus, aber Ersatztermin
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wird gesucht.
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\section{Reelle Zahlen}
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Fortsetzung Beweis:
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}
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\item Zz: $\forall [ (a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$ $\exists z \in \R$
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\[
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z = \pm \left( z_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots ) \right)
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.\]
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O.B.d.A. $z > 0, a_n > 0, n \in \N$
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\[
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(a_n)_{n\in\N} \text{ C.F. } \implies 0 < a_n < N
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\text{ } \forall n \in \N
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.\] $\implies z_0 \in \N_0$, s.d.
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O.B.d.A. $(a_n)_{n\in\N} \subset I_0$
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\[
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I_0 := \{ x \in \Q \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < N\}
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.\]
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) -- (10, 0);
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\end{tikzpicture}
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$I_0$ wird unterteilt in 10 Teilintervalle.
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Für ein $d_1 \in \{0, \ldots, 9\} $ ein Intervall
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\[
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I_1 := \{ x \in I_0 \mid z_0 + d_1 \cdot 10^{-1}
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\le x < z_0 + (d_1 + 1) \cdot 10^{-1}\}
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.\]
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Sei $z_1 = z_0 + 0,d_1 $, dann
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\[
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I_1 = \{ x \in I_0 \mid z_1 \le x < z_1 + 10^{-1}\}
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.\]
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$\implies \exists n_1$ Index s.d. $|z_1-a_{n_1}| \le 10^{-1}$
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usw. $\ldots$
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Ergebnis: eine Folge von Teilintervallen
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o.B.d.A.
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\[
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(a_n)_{n\in\N} \subset \ldots \subset I_{k+1} \subset I_k \subset \ldots \subset I_1 \subset I_0
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.\]
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\[
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z_k := z_{k-1} + d_k \cdot 10^{-k} \in \Q
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.\]
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\[
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I_k = \{x \in I_{k-1} \mid z_k \le x < z_k + 10^{-k}\}
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.\]
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$\exists n_k:$ Index s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$
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Das heißt für eine Folge
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\[
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z_k := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \in \Q, k \in \N
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.\]
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existiert eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\N}$ von der
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C.F. $(a_n)_{n\in\N}$, s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$, $k \in \N$
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$\implies (z_k - a_{n_k})_{k \in \N}$ Nullfolge, d.h. \\
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$\implies (z_k)_{k\in\N} \sim (a_{n_k})_{k\in\N}$ \\
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||||
$\implies (z_k)_{k\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N} $ \\
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$\implies (z_k)_{k\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}]$
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und der resultierende Dezimalbruch ist:
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\[
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z := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \ldots \in \R
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.\]
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\end{enumerate}
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Wir haben gezeigt:
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\[
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\forall [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R} \text{: } \exists z \in \R
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.\] Damit: $\implies$ Abbildung ist surjektiv und damit bijektiv.
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\[
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\implies \exists \text{ ,,inverse Abbildung''}: \overline{\R} \to \R
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.\] die auch bijektiv ist.
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Diese Abbildung ist auch verträglich mit der Addition und der
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Multiplikation, d.h. $[(a_n)_{n\in\N}] \mapsto a$ und $[(a_n')_{n \in \N} \mapsto a']$
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Dann $[ (a_n)_{n\in\N}] + [(a'_n)_{n\in\N}] := a + a'$ \\
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$[ (a_n)_{n\in\N}] \cdot [(a'_n)_{n\in\N}] := a \cdot a'$
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Abbildung $\R \longleftrightarrow \overline{\R}$ ist Isomorphismus.
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\end{proof}
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\begin{bem}
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Die Darstellung ist durch einen Dezimalbruch ist nicht immer eindeutig.
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z.B.:
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\[
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0,9999 \ldots = 0,\overline{9} = 1 = 1,0000 \ldots
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.\]
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Deshalb, falls $z = z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k 999 $ $d_k \le 8$ dann:
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$z := z_0 + 0, d_1 d_2 \ldots (d_k + 1) 0 \ldots$
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\end{bem}
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\begin{bem}
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Der Satz gilt auch für ,,b-adische'' Brüche mit Basis $b \in \N, b \ge 2$ :
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$a \in \R$ besitzt eine sogenannte ,,b-adische Entwicklung'':
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\[
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a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2 \ldots) = \pm (a_0 + d_1 \cdot b^{-1} + d_2 \cdot b^{-2} + \ldots )
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.\] mit $a_0 = g_0 + g_1 \cdot b + g_2 \cdot b^{2} + \ldots$ $\in \N_0$
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mit Ziffern $d_n, g_n \in \{0, 1, \ldots, b-1\} $
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Für $b=2$ : dijadische Entwicklung
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\end{bem}
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\subsubsection{Zusammenfassung}
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Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge
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$(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen.
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Beispiel: $\sqrt{2} $
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0, 0) -- (10, 0) -- (10, 0.5) -- (0, 0.5) -- (0,0);
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||||
\draw (2, 0) -- (8, 0) -- (8, 0.3) -- (2, 0.3) -- (2,0);
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||||
\draw (4, 0) -- (6, 0) -- (6, 0.2) -- (4, 0.2) -- (4,0);
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||||
\end{tikzpicture}
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$\forall (a_n), (b_n)$ $a_n \to a, b_n \to a \iff (a_n - b_n)_{n \in \N}$ Nullfolge.
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Deshalb:
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\begin{itemize}
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\item Definiere C.F. rationaler Zahlen
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\item Äquivalenzrelation:
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\[
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||||
(a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} :\iff (a_n - b_n)_{n \in \N} \text{ Nullfolge }
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.\]
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||||
und Äquivalenzklasse:
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\[
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||||
\overline{R} := \{ [(a_n)_{n\in\N}]\}
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.\]
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\item Eine Klasse aus $\overline{\R} \iff$ eine reelle Zahl
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\end{itemize}
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Konstruktion nach Cantor, 1873
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Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'',
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,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''.
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\subsection{Der Körper $\R$}
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Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$
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zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen.
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Alle Struktureigenschaften von $\Q$ sind über den Grenzübergang
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auf $\R$ übertragbar.
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\begin{definition}[Absolutbetrag]
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\[
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|a| := \lim_{n \to \infty} |a_n|
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.\]
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Folglich: Begriffe ,,Konvergenz'' und ,,Cauchy-Folgen'' gelten auch
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für Folgen reeller Zahlen.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Arithmetische Grundoperationen]
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\[
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||||
a + b := \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)
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.\]
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\[
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||||
a \cdot b := \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right)
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.\]
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||||
\end{definition}
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\begin{definition}[Ordnungsrelation]
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\[
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||||
a > b :\iff \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) > 0
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.\]
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||||
und folglich: $\exists \alpha \in \Q_+$ s.d. $a_n - b_n \ge \alpha$ für
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fast alle $n \in \N$.
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\[
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||||
a \ge b :\iff a > b \text{ oder } a = b
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.\]
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\[
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a < b :\iff b > a
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.\]
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\[
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||||
a \le b :\iff b \ge a
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.\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Positivität]
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\[
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\R^{+} := \{a \in \R \mid a > 0\}
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.\]
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Folge:
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\begin{proof}[Beispiel für Absolutbetrag]
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Seien $(a_n)_{n\in\N}, (a'_n)_{n\in\N}$ zwei approximierende
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Folgen von $a$, d.h. $(a_n - a'_n)_{n \in \N}$ ist eine Nullfolge.
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Zu zeigen:
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\[
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|a| = \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n|
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.\] d.h. zu zeigen:
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\begin{align*}
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&\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| \\
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\iff &\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| - |a'_n|\right) = 0
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||||
.\end{align*}
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Betrachte:
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\[
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||||
| |a_n| - |a'_n| | \le | a_n - a_n'| < \epsilon
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.\] $\implies \left( |a_n| - |a'_n| \right) $ ist Nullfolge \\
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||||
$\implies |a_n| = |a_n'|$ \\
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||||
$\implies \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| = |a|$
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\end{proof}
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Die anderen Beweise folgen analog.
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\end{bem}
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\begin{satz}[Der vollständige Körper $\R$]
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\begin{enumerate}
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\item $(\R, +, \cdot, >)$ ist angeordneter Körper
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\item $\Q$ ist Unterkörper von $\R$
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\item Der Körper $\Q$ ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge in
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$\R$ hat einen Grenzwert in $\R$.
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||||
\item Der Unterkörper $\Q$ ist ,,dicht'' in $\R$, d.h.
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\[
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||||
\forall a \in \R, \forall \epsilon > 0, \exists g_\epsilon \in \Q \text{ s.d. } |a - q_\epsilon| < \epsilon
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.\]
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[1)]
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\item Körperaxiome (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität)
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sind trivial
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Neutrales Element der Addition:
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\[
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0 := 0, 0\ldots \text{ Klasse der Nullfolgen z.B.: }
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a_n = 0 \forall n \in \N
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.\]
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||||
Neutrales Element der Multiplikation
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\[
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||||
1 := 1,0 \ldots 0 \text{\hspace{10mm}} [(1)_{n \in\N}]
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.\]
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||||
Existenz der inversen Elemente bezüglich der Addition
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\[
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||||
a + x = 0, a \in \R
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.\]
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||||
\[
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x = -a = \lim_{n \to \infty} (- a_n)
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||||
.\]
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||||
|
||||
Existenz der inversen Elemente bezüglich der Multiplikation
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||||
\[
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||||
b \cdot x = 1, b \in \R \setminus \{0\}
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.\]
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||||
\[
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||||
x = \frac{1}{b} := \lim_{n \to \infty} c_n
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.\]
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||||
\[
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||||
(c_n)_{n\in\N} = \text{ ? }
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.\]
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||||
$b \in \R \setminus \{0\} \implies \lim_{n \to \infty} b_n = b \neq 0$ \\
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$ \implies (b_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ fast
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alle Elemente $b_n \neq 0$ (Übung!)
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Definiere:
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\[
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c_n := \begin{cases}
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||||
0 & b_n = 0 \\
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||||
\frac{1}{b_n} & b_n \neq 0
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||||
\end{cases}
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||||
.\]
|
||||
Dann $(b_n \cdot c_n) $ =
|
||||
\[
|
||||
(b_n \cdot c_n) = \begin{cases}
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||||
0 & b_n = 0 \\
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||||
1 & b_n \neq 0
|
||||
\end{cases}
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||||
.\]
|
||||
$\implies \lim_{n \to \infty} (b_n \cdot c_n) = 1$
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||||
\item $a \in \Q$ entspricht $[(a_n)_{n \in \N}]$ mit
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$a_n = a$ $\forall n \in \N$ $\implies$ $\Q \subset \R$,
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$\Q$ Körper \\
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||||
$\implies Q$ Unterkörper von $\R$.
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||||
\item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine C.F. reeller Zahlen.
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||||
\[
|
||||
\forall a_n \in \R \text{ } \exists \text{ approx. Folge} (a_{n, m})_{m \in \N}
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
a_{n, m} \in \Q \forall n, m \in \Q
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
a_n := \lim_{n \to \infty} a_{n, m} n \in \N
|
||||
.\]
|
||||
$\forall n \in \N$ wähle $k_n \in \N$ mit:
|
||||
\[
|
||||
|a_n - a_{n, k_{n}}| < \frac{1}{n}
|
||||
.\] Wir zeigen, dass $(a_{n, k_n})_{n \in \N}$ rationaler Zahlen eine
|
||||
C.F. ist.
|
||||
|
||||
Sei $\epsilon > 0$. Dann
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{document}
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