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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -5,8 +5,11 @@
 \usepackage{tikz-cd}
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
 
-\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
+%\newcommand{\smallbullet}{\tikz \draw (0,0) circle (1.5pt);}
+
+\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
 \newcommand{\K}{\mathcal{K}}
 \newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}}
 \renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}}
@@ -18,34 +21,60 @@
 
 \section{Einleitung}
 
-\section{Grundlagen}
+\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}
+
+Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und sei $F\colon \mathcal{A} \to 
+\mathcal{B}$ ein Funktor. Das Ziel ist es in natürlicher Weise für jedes Objekt
+$X \in \mathcal{A}$ einen Komplex $\text{R}F(X)$ zu definieren, dessen Kohomologiegruppen
+mit den klassischen Rechtsableitungen von $F$ bei $X$ übereinstimmen, falls
+$F$ linksexakt ist.
+
+Allgemeiner definieren wir $\text{R}F(\com{X})$
+für jeden Komplex $\com{X}$ in $\mathcal{A}$. Genauer gesagt konstruieren wir einen
+Funktor $\text{R}F$ von der derivierten Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ von
+$\mathcal{A}$ in die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ von $\mathcal{B}$.
+Die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ erhalten wir durch Lokalisierung,
+analog zum gleichnamigen Vorgang in der kommutativen Algebra: Wir starten mit der Kategorie
+$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, der Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, wobei die Morphismen
+Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Daraus erhalten
+wir dann $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ indem alle Quasiisomorphismen in
+$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, das heißt Komplexhomomorphismen, die Isomorphismen auf den
+Kohomologiegruppen induzieren, in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ zu Isomorphismen erklären.
+
+Dieser Lokalisierungsprozess wird im Folgenden skizziert. Die Vorgehensweise orientiert
+sich an Kapitel 1 von \cite{hartshorne}.
 
 \subsection{Triangulierte Kategorien}
 
+Auch wenn $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie ist, sind $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
+und $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ im Allgemeinen nicht abelsch; sie genügen jedoch einer
+anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
+
 \begin{definition}[Triangulierte Kategorie]
-    Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie $\mathcal{C}$ mit
+    Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie $\mathcal{T}$ mit
     \begin{enumerate}[(a)]
-        \item einem Kategorienautomorphismus $T\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$, dem Verschiebefunktor, und
-        \item einer Klasse von Sextupeln $(A, B, C, u, v, w)$, den ausgezeichneten Dreiecken von $\mathcal{C}$, wobei
-            $A, B, C \in \mathcal{T}$ und $u\colon A \to B$, $v\colon B \to C$, $w\colon C \to T(A)$.
+        \item einem additiven Kategorienautomorphismus
+            $T\colon \mathcal{T} \to \mathcal{T}$, dem Verschiebefunktor, und
+        \item einer Klasse von Sextupeln $(X, Y, Z, u, v, w)$, den ausgezeichneten Dreiecken von $\mathcal{T}$, wobei
+            $X, Y, Z \in \mathcal{T}$ und $u\colon X \to Y$, $v\colon Y \to Z$, $w\colon Z \to T(X)$ Morphismen sind.
     \end{enumerate}
     Ein Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken
-    $(A, B, C, u, v, w) \to (A', B', C', u', v', w')$ ist ein kommutatives Diagramm
+    $(X, Y, Z, u, v, w) \to (X', Y', Z', u', v', w')$ ist ein kommutatives Diagramm
     \[
     \begin{tikzcd}
-        A \arrow{r}{u} \arrow{d} & B \arrow{r}{v} \arrow{d} & C \arrow{r}{w} \arrow{d} & T(A) \arrow{d} \\
-        A' \arrow{r}{u'} & B' \arrow{r}{v'} & C' \arrow{r}{w'} & T(A) \\
+        X \arrow{r}{u} \arrow{d} & Y \arrow{r}{v} \arrow{d} & Z \arrow{r}{w} \arrow{d} & T(X) \arrow{d} \\
+        X' \arrow{r}{u'} & Y' \arrow{r}{v'} & Z' \arrow{r}{w'} & T(X') \\
     \end{tikzcd}
     .\] 
     Weiter unterliegen diese Daten den folgenden Axiomen:
     \begin{enumerate}[(TR1), leftmargin=14mm]
         \item Jedes zu einem ausgezeichneten Dreieck
-            isomorphe Sextupel $(A, B, C, u, v, w)$ wie oben, ist ein ausgezeichnetes Dreieck. Jeder
-            Morphismus $u\colon A \to B$ kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $(A, B, C, u, v, w)$ eingebettet werden
-            und das Sextupel $(A, A, 0, \text{id}_A, 0, 0)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck für alle $A \in \mathcal{C}$.
-        \item $(A, B, C, u, v, w)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck genau dann wenn $(B, C, T(A), v, w, -T(u))$ ein
+            isomorphe Sextupel $(X, Y, Z, u, v, w)$ wie oben, ist ein ausgezeichnetes Dreieck. Jeder
+            Morphismus $u\colon X \to Y$ kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ eingebettet werden
+            und das Sextupel $(X, X, 0, \text{id}_X, 0, 0)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck für alle $X \in \mathcal{T}$.
+        \item $(X, Y, Z, u, v, w)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck genau dann wenn $(Y, Z, T(X), v, w, -T(u))$ ein
             ausgezeichnetes Dreieck ist.
-        \item Für zwei ausgezeichnete Dreiecke $(A, B, C, u, v, w)$ und $(A', B', C', u', v', w')$, und
+        \item Für zwei ausgezeichnete Dreiecke $(X, Y, Z, u, v, w)$ und $(X', Y', Z', u', v', w')$, und
             Morphismen $f\colon X \to X'$, $g\colon Y \to Y'$, die mit $u$ und $u'$ kommutieren, existiert
             ein nicht notwendig eindeutiger Morphismus $h\colon Z \to Z'$, so dass $(f, g, h)$ ein Morphismus
             von ausgezeichneten Dreiecken ist.
@@ -55,7 +84,8 @@
 
 \begin{bem}
     Streng genommen ist die hier definierte Triangulierte Kategorie nur eine Pretriangulierte Kategorie. Für
-    eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom, das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
+    eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom
+    (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
 \end{bem}
 
 \begin{definition}[Triangulierter Funktor]
@@ -70,83 +100,129 @@
     ausgezeichnete Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ von $\mathcal{T}$ die lange Folge
     \[
     \begin{tikzcd}
-        \cdots \arrow{r} & H(T^{i}(X)) \arrow{r} & H(T^{i}Y) \arrow{r} & H(T^{i}Z) \arrow{r} & H(T^{i+1}X) \arrow{r}
+        \cdots \arrow{r} & H(T^{i}X) \arrow{r} & H(T^{i}Y) \arrow{r} & H(T^{i}Z) \arrow{r} & H(T^{i+1}X) \arrow{r}
         & \cdots
     \end{tikzcd}
-    \] exakt ist. Wenn $H$ ein kohomologischer Funktor ist, dann schreiben wir auch $H^{i}(X)$ für $H(T^{i}(X))$
+    \] exakt ist. Wenn $H$ ein kohomologischer Funktor ist, dann schreiben wir auch $H^{i}(X)$ für $H(T^{i}X)$
     für $i \in \Z$.
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}
-    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $A \in \mathcal{T}$.
-    Dann sind $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(A, -)$ und $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(-, A)$ kohomologische Funktoren.
+    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $X \in \mathcal{T}$.
+    Dann sind $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(X, -)$ und $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(-, X)$ kohomologische Funktoren.
     \label{hom-cohom-func}
 \end{lemma}
 
+\begin{proof}
+    siehe Proposition 1.1 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
 \subsection{Homotopiekategorie}
 
-Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie.
+Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie $\mathcal{C}$.
 
 \begin{definition}[Homotopiekategorie]
-    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann bezeichne $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ die
-    Kategorie der Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ mit Komplexhomomorphismen als Morphismen.
-    Bezeichne mit $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ weiter die Homotopiekategorie mit den selben Objekten wie
-    $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ und mit Komplexhomomorphismen modulo Homotopie als Morphismen.
+    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie
+    $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ von $\mathcal{C}$, die Kategorie, deren Objekte
+    Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ sind und
+    deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
 \end{definition}
 
-\begin{definition}[Abbildungskegel]
-    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{A} \to \com{B}$ ein
-    Komplexhomomorphismus. Dann sei der Abbildungskegel $\com{C}_f$ definiert durch
+%\begin{bem}
+In der Homotopiekategorie haben wir einen natürlichen Kategorienautomorphismus
+$T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$, der
+durch Verschieben nach links gegeben ist, das
+heißt für $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ durch
+\begin{equation}
+    T(\com{X})^{i} = X^{i+1} \text{ und } d_{T(\com{X})} = - d_{\com{X}}
+    \label{eq:shift-functor}
+\end{equation}
+%\end{bem}
+
+\begin{bem}[Notation]
+    Für $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ schreiben wir auch
     \[
-    C_f^{n} = A^{n+1} \oplus B^{n}
+        \com{X}[n] = T^{n}(\com{X})
+    .\] 
+\end{bem}
+
+Um die ausgezeichneten Dreiecke in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ zu erklären, benötigen wir
+den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$:
+
+\begin{definition}[Abbildungskegel]
+    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$ ein
+    Komplexhomomorphismus. Dann sei der Abbildungskegel
+    $\com{C}_f \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ definiert durch
+    \[
+    C_f^{n} = X^{n+1} \oplus Y^{n}
     \] mit Differential
     \[
     d_{\com{C}_f} = \begin{pmatrix} 
-        d_{\com{A}[1]} & 0 \\
-        f[1] & d_{\com{B} }
+        d_{\com{X}[1]} & 0 \\
+        f[1] & d_{\com{Y} }
     \end{pmatrix} 
     .\]
+    \label{def:mapping-cone}
 \end{definition}
 
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item In der Situation von \ref{def:mapping-cone} haben wir kanonische Morphismen
+            $i\colon \com{Y} \to \com{C}_{f}$ und $p\colon \com{C}_{f} \to \com{X}[1]$.
+        \item Oft wird auch die Notation $\com{C}_f = \com{X}[1] \oplus \com{Y}$ verwendet.
+            Man beachte jedoch, dass der Abbildungskegel \emph{nicht} das Koprodukt
+            von $\com{X}[1]$ und $\com{Y}$ ist.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
 \begin{satz}[Homotopiekategorie ist trianguliert]
     Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
     mit den folgenden Daten trianguliert:
     \begin{enumerate}[(a)]
-        \item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$
-            ist gegeben durch
-            \[
-                T(\com{A})^{i} = A^{i+1} \text{ und }d_{T(\com{A} )} = - d_{\com{A}}
-            .\] 
-        \item Ein Sextupel wie in \ref{TR2}
-            $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
-            ist ein ausgezeichnetes Dreieck
+        \item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$ wie in \ref{eq:shift-functor}.
+        \item Ein Sextupel $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$
+            wie in \ref{TR2} in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ 
+            ist ein ausgezeichnetes Dreieck,
             genau dann wenn
-            es im Sinne von ausgezeichneten Dreiecken isomorph ist zu einem Sextupel der Form
-            $(\com{X}, \com{Y}, \com{C_{u}}, f, i, p)$, wobei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Morphismus
-            in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ ist und $i\colon \com{B} \to  \com{C_{f}}$,
-            $p\colon \com{C}_{f} \to \com{C}$ die kanonischen Morphismen sind.
+            es im Sinne von ausgezeichneten Dreiecken isomorph ist zu einem Sextupel
+            der Form
+            $(\com{X}, \com{Y}, \com{C_{f}}, f, i, p)$,
+            wobei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Morphismus
+            in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ ist und $i\colon \com{Y} \to  \com{C_{f}}$,
+            $p\colon \com{C}_{f} \to \com{X}[1]$ die kanonischen Morphismen sind.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    siehe Kapitel 1, §2 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
 Sei nun $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie.
 
 \begin{lemma}
     Der Funktor $H\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ der einen Komplex $\com{A}$
     auf seine nullte Kohomologiegruppe abbildet, ist ein kohomologischer Funktor.
+
+    \label{lemma:cohom-is-cohom-functor}
 \end{lemma}
 
+\begin{proof}
+    siehe Kapitel 1, §2 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
 Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphismus ein Quasiisomorphismus ist:
 
 \begin{lemma}[]
     Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B} $ ein Komplexhomomorphismus.
-    Dann ist $f$ ein Quasiisomorphismus genau dann wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
+    Dann ist $f$ ein Quasiisomorphismus, genau dann wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
     \label{mapping-cone-exact-for-qis}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
     Es ist $(\com{A}, \com{B}, \com{C}_f, f, i, p)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$ mit
-    $i\colon \com{B} \to \com{C}_f$ und $p\colon \com{C}_f \to \com{A}[1]$ die natürlichen Abbildungen. Also
-    erhalten wir für $i \in \Z$ eine exakte Folge
+    $i\colon \com{B} \to \com{C}_f$ und $p\colon \com{C}_f \to \com{A}[1]$ die natürlichen
+    Morphismen. Also
+    erhalten wir mit \ref{lemma:cohom-is-cohom-functor} für $i \in \Z$ eine exakte Folge
     \[
         \begin{tikzcd}
             H^{i-1}(\com{C}_f) \arrow{r}
@@ -159,9 +235,14 @@ Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphism
     .\] Die Exaktheit liefert nun die Äquivalenz.
 \end{proof}
 
-
 \subsection{Lokalisierung von Kategorien}
 
+Wie anfangs erwähnt, ist die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ einer
+abelschen Kategorie $\mathcal{A}$
+eine Lokaliserung der Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
+Diese funktioniert analog zum gleichnamigen Prozess in der kommutativen Algebra, was
+uns zu folgendem Begriff führt:
+
 \begin{definition}[Multiplikatives System]
     Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Eine Klasse $\mathcal{S}$ von Morphismen von $\mathcal{C}$ heißt
     multiplikatives System, wenn es die folgenden Axiome erfüllt:
@@ -184,7 +265,7 @@ Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphism
         \item Für $f, g \colon X \to Y$ Morphismen in $\mathcal{C}$, sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
             \begin{enumerate}[(i)]
                 \item Es existiert ein $s\colon Y \to Y'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
-                \item Es existiert ein $t\colon X \to X'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
+                \item Es existiert ein $t\colon X \to X'$ in $\mathcal{S}$, sodass $ft = gt$.
             \end{enumerate}
     \end{enumerate}
     \label{def:mult-system}
@@ -244,18 +325,37 @@ Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphism
     \label{satz:existence-localisation}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    siehe Proposition 3.1 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
 \begin{bem}
-    Die Lokalisierung $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ einer Kategorie $\mathcal{C}$
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Da $\mathcal{S}$ eine echte Klasse sein kann, das heißt keine Menge, ist im
+            Allgemeinen auch $\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$ für
+            $X, Y \in \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
+            keine Menge. Das
+            heißt streng genommen ist $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ nur
+            eine große Kategorie. Auf diese mengentheoretischen Probleme gehen wir
+            im Folgenden jedoch nicht ein.
+        \item Die Lokalisierung $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ einer Kategorie $\mathcal{C}$
     kann auch dual, dass heißt durch Umdrehen aller Pfeile,
     konstruiert werden. Wenn im Folgenden der Kontext klar ist, dann schreiben wir auch einfach
     $X$ für $Q(X)$ für ein Objekt $X \in \mathcal{C}$. Ebenso schreiben wir für $X, Y \in \mathcal{C}$ auch
     $s^{-1}f$ bzw. in der dualen Konstruktion $fs^{-1}$ für die Äquivalenzklasse des Tripels
     $(f, Z, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$. In dieser Notation ist
-    dann $Q(f) = \text{id}^{-1}f$ bzw. $Q(f) f\text{id}^{-1}$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.
+    dann $Q(f) = \text{id}^{-1}f$ bzw. $Q(f) = f\text{id}^{-1}$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.
+    \end{enumerate}
 \end{bem}
 
+Falls $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie ist und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives
+System, stellt sich die Frage, ob sich
+die Triangulation von $\mathcal{C}$
+in natürlicher Weise auf $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ ausdehnt. Dazu fordern wir zusätzlich
+an $\mathcal{S}$:
+
 \begin{definition}[Mit Triangulation kompatibles multiplikatives System]
-    Sei $\mathcal{C}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$
+    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$
     und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System
     von Morphismen. Wir nennen $\mathcal{S}$ kompatibel mit der Triangulation, wenn die folgenden
     Axiome erfüllt sind:
@@ -267,26 +367,34 @@ Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphism
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
-    Sei $\mathcal{C}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{S}$ ein
+    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{S}$ ein
     mit der Triangulation kompatibles
-    multiplikatives System. Dann hat $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ eine eindeutige
+    multiplikatives System. Dann hat $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ eine eindeutige
     triangulierte Struktur, sodass $Q$ ein triangulierter Funktor ist und
     die universelle Eigenschaft b) aus \ref{def:localisation} für triangulierte Funktoren in triangulierte
     Kategorien erfüllt.
     \label{satz:existence-triangulated-localisation}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    siehe Proposition 3.2 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
 \subsection{Derivierte Kategorie}
 
 Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
-Homotopiekategorie.
+Homotopiekategorie. Wir bezeichnen im Folgenden die Klasse
+der Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}$ als $\mathcal{Q}is$.
 
 \begin{lemma}[$\mathcal{Q}is$ ist multiplikativ]
-    Die Klasse $\mathcal{Q}is$ der Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}$
-    ist ein mit der Triangulation von $\mathcal{K}$ kompatibles multiplikatives System.
+    $\mathcal{Q}is$ ist ein mit der Triangulation von $\mathcal{K}$ kompatibles multiplikatives System.
     \label{lemma:qis-mult}
 \end{lemma}
 
+\begin{proof}
+    siehe Proposition 4.1 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
 Nach \ref{satz:existence-localisation}, \ref{satz:existence-triangulated-localisation} und \ref{lemma:qis-mult} angewendet
 auf $\mathcal{K}$ und $\mathcal{Q}is$, existiert die triangulierte Kategorie $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$.
 
@@ -304,33 +412,46 @@ Um zu verstehen, wann zwei Morphismen in $\mathcal{K}$ den selben Morphismus in
 das folgende Lemma:
 
 \begin{lemma}
-    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B}$. Dann ist
-    $f = 0$ in $\mathcal{D}$ genau dann wenn ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{B}  \to \com{C} $ existiert, sodass
-    $sf = 0$ in $\mathcal{K}$.
+    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$. Dann
+    sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$.
+        \item Es existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{X'}  \to \com{X} $,
+            sodass $ft = 0$ in $\mathcal{K}$.
+        \item Es existiert ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{Y} \to \com{Y'} $,
+            sodass $sf = 0$ in $\mathcal{K}$.
+    \end{enumerate}
     
     \label{derived-cat-morphism-null}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    Es ist $f\text{id}^{-1} = 0$ genau dann wenn ein kommutatives Diagram existiert:
+    Wegen \hyperref[def:mult-system]{FR3} und \ref{lemma:qis-mult} genügt es
+    die Äquivalenz von
+    (i) und (ii) zu zeigen. Es ist $\text{id}^{-1}f = 0$, genau dann wenn
+    ein kommutatives Diagram
     \[
     \begin{tikzcd}
-        & \com{B} \arrow[dashed]{d} & \\
-        \com{A} \arrow{ur}{f} \arrow{dr}{0} & \com{C} & \com{B} \arrow[dashed]{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{dl}{\text{id}} \\
-        & \com{B} \arrow[dashed]{u} & 
+        & \com{X} \arrow{dl}{\text{id}} \arrow{dr}{f} & \\
+        \com{X}  & \arrow[dashed]{l}{t} \com{X'} \arrow[dashed]{d} \arrow[dashed]{u} & \com{Y} \\
+                 & \com{X} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{0} & 
     \end{tikzcd}
-    \] mit $s$ Quasiisomorphismus.
+    \] mit $t$ Quasiisomorphismus existiert. Das zeigt die Behauptung.
 \end{proof}
 
-Die derivierte Kategorie erlaubt es Ableitungen von Funktoren allgemeiner zu formulieren. Wir führen hier
-nur die Situation der Rechtsableitung kovarianter Funktoren aus.
+Wir möchten nun Ableitungen von Funktoren im Kontext von
+derivierten Kategorien betrachten.
 Seien dafür $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
-$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ein triangulierter Funktor.
+$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter
+(kovarianter) Funktor.
+Das ist zum Beispiel der Fall, wenn $F$ induziert ist von einem additiven Funktor
+$F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$.
 
 Falls $F$ exakt ist werden Quasiisomorphismen auf Quasiisomorphismen geschickt und $F$ induziert daher
 einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$.
-Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Dennoch möchten wir einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$
-nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ konstruieren, der $F$ so nahe wie möglich kommt.
+Im Allgemeinen ist das nicht der Fall und wir konstruieren dann, unter bestimmten
+Voraussetzungen an $F$ und die beteiligten Kategorien, einen Funktor
+$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$:
 
 \begin{definition}[Abgeleiteter Funktor]
     Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der rechts abgeleitete Funktor von $F$ ist
@@ -353,17 +474,21 @@ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ konstruieren, der $F$ so nahe wie möglich kommt
     \eta\colon \text{R}F \to G
     \] von Funktoren von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$, sodass
     \[
-        \xi = (\eta \circ Q_{\mathcal{A}}) \circ \xi
+        \zeta = (\eta \circ Q_{\mathcal{A}}) \circ \xi
     .\] 
 \end{definition}
 
 \begin{bem}[]
-    \begin{enumerate}[(1)]
+    \begin{enumerate}[(a)]
         \item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Transformationen eindeutig.
         \item Wir schreiben $R^{i}F$  für $H^{i}(\text{R}F)$ und wenn $F$ induziert ist von einem
             links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, sind
-            das genau die klassischen abgeleiteten Funktoren von $F$.
+            das genau die klassischen rechts-abgeleiteten Funktoren von $F$.
+        \item Es gibt den analogen Begriff der Linksableitung $\text{L}F$ (kovarianter)
+            Funktoren, bei dem sich die Pfeile umdrehen.
+            % TODO: präzisieren!!!
     \end{enumerate}
+    \label{bem:derived-functors}
 \end{bem}
 
 \begin{satz}
@@ -384,12 +509,27 @@ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ konstruieren, der $F$ so nahe wie möglich kommt
     \label{satz:existence-derived-functors}
 \end{satz}
 
-\begin{bem}
-    Die Voraussetzungen von \ref{satz:existence-derived-functors} sind im Allgemeinen schwer zu erfüllen. Ziel
-    dieser Arbeit ist es herauszuarbeiten, dass im Falle von $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ für einen kommutativen
+\begin{proof}
+    siehe Theorem 5.1 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
+Die Voraussetzungen von \ref{satz:existence-derived-functors} sind im Allgemeinen schwer zu erfüllen. Deshalb betrachtet man häufig gewisse Unterkategorien
+von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, beispielsweise die Kategeorie
+$\mathcal{K}^{+}(\mathcal{A})$ der nach unten beschränkten Komplexe. Dies genügt,
+um den Fall (b) aus \ref{bem:derived-functors} zu studieren.
+
+Für unbeschränkte Komplexe liegt die Schwierigkeit darin eine geeignete
+Unterkategorie $\mathcal{L}$ zu finden, die die Bedingungen aus
+\ref{satz:existence-derived-functors} erfüllt.
+Ziel
+dieser Arbeit ist es herauszuarbeiten, dass im Falle von $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$
+für einen kommutativen
 Ring $A$, die Bedingungen für die im Folgenden definierten Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$,
-    $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind.
-\end{bem}
+$\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind. Das
+wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
+\[
+- \otimes_A M \dashv \text{Hom}_{A\text{-Mod}}(M, -)
+\] für $M$ ein $A$-Modul auf die abgeleiteten Funktoren zu übertragen.
 
 \begin{definition}
     Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe in einer beliebigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$.
@@ -1768,4 +1908,9 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:
     $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
 \end{proof}
 
+\begin{thebibliography}{9}
+\bibitem{hartshorne}
+Robin Hartshorne. Residues and duality. \emph{Lecture Notes in Math.}. 20, Springer-Verlag (1966)
+\end{thebibliography}
+
 \end{document}