diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis23.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis23.pdf new file mode 100644 index 0000000..c1f376b Binary files /dev/null and b/ws2019/ana/lectures/analysis23.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis23.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis23.tex new file mode 100644 index 0000000..b2af169 --- /dev/null +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis23.tex @@ -0,0 +1,288 @@ +\documentclass{../../../lecture} + +\usepackage{pgf,tikz} +\usepackage{pgfplots} +\usetikzlibrary{intersections} +\usetikzlibrary{arrows} +\usetikzlibrary{positioning} +\tikzset{>=stealth',inner sep=0pt,outer sep=2pt} + +\begin{document} + +\section{Integration} + +Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen +berechnen. + +\subsection{Riemannintegral} + +\begin{definition}[Zerlegungen] + Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist + eine endliche Folge $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit + $x_0 = a < x_1 < \ldots < x_n = b$. $x_k$ heißen Teilungs- oder + Stützpunkte. Die Intervalle $I_k = [x_{k-1}, x_k]$ heißen + Teilintervalle. $h := \max_{k = 1\ldots n} \left| x_k - x_{k-1} \right| $ heißt + Feinheit der Zerlegung. + + Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt + äquidistant. + + $Z(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$ +\end{definition} + +\begin{definition}[Ober- und Untersumme] + Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d. + $|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$. + + Die Riemannsche Ober- / Untersummen sind + \[ + \overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1}) + .\] bzw. + \[ + \underline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \inf_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1}) + .\] +\end{definition} + +\begin{bem} + Eine Verfeinerung der Zerlegung $Z$ ist eine + Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''}$ + s.d. $(x_0, \ldots, x_n) \subset (x_0'', \ldots, x''_{n''})$ und + $h'' \le h$. Zu Zerlegungen $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ und + $Z' = (x_0', \ldots, x'_{n'})$ gibt es eine + gemeinsame Verfeinerung $Z''$ + \begin{align*} + (x_0, \ldots, x_n) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\ + (x'_0, \ldots, x'_{n'}) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\ + .\end{align*} + und $h'' \le \min \{h, h'\} $ +\end{bem} + +\begin{bem} + Seien $Z_1, Z_2$ Zerlegungen und $Z_1$ feiner als $Z_2$ ist, dann gilt + \[ + \inf \{f(x) \mid x \in [a,b]\} \cdot (b-a) \le \underline{S}_{Z_2}(f) \le \underline{S}_{Z_1}(f) + \le \overline{S}_{Z_1}(f) \le \overline{S}_{Z_2}(f) \le + \sup \{f(x) \mid x \in [a,b] \} \cdot (b-a) + .\] +\end{bem} + +\begin{definition}[Ober-/Unterintegral] + Das Ober- / Unterintegral von $f$ sind definiert durch + \[ + \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx := + \inf \{\overline{S}_Z(f) \mid z \in Z(a,b)\} + .\] bzw. + \[ + \underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx := + \sup \{\underline{S}_Z(f) \mid z \in Z(a,b)\} + .\] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das + Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen + $z_n \in Z(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt + \[ + \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{z_n} + = \underline{\int_{a}^{b} } f(x) dx + \le \overline{\int_{a}^{b}} dx + = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{z_n} + .\] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Rannacher. +\end{proof} + +\begin{definition}[Riemann-Integral] + Sind Ober- und Unterintegral für eine beschränkte Funktion + $f \colon [a,b] \to \R $ gleich, so heißt der gemeinsame Wert das + (bestimmte) Riemann-Integral für $f$ über $I = [a,b]$ + \begin{align*} + \underline{\int_{a}^{b} } f(x) dx + = \overline{\int_{a}^{b} } f(x) dx + = \int_{a}^{b} f(x) dx + .\end{align*} + Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar. +\end{definition} + +\begin{satz}[Riemannsches Integrabilitätskriterium] + Eine beschränkte Funktion $f\colon [a,b] \to \R$ ist + genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls + $\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung + $z \in Z(a,b)$, s.d. + $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$. +\end{satz} + +\begin{proof} + ohne Beweis. +\end{proof} + +\begin{definition}[Riemann-Summen] + Sei $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von + $[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$. + \[ + RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) + .\] heißt eine Riemann-Summe von $f$. +\end{definition} + +\begin{figure}[h!] + \centering +\begin{tikzpicture} + \def\a{1.7} + \def\b{5.7} + \def\c{3.7} + \def\L{0.5} % width of interval + + \pgfmathsetmacro{\Va}{2*sin(\a r+1)+4} \pgfmathresult + \pgfmathsetmacro{\Vb}{2*sin(\b r+1)+4} \pgfmathresult + \pgfmathsetmacro{\Vc}{2*sin(\c r+1)+4} \pgfmathresult + + \draw[->,thick] (-0.5,0) -- (7,0) coordinate (x axis) node[below] {$x$}; + \draw[->,thick] (0,-0.5) -- (0,7) coordinate (y axis) node[left] {$y$}; + \foreach \f in {1.7,2.2,...,6.2} {\pgfmathparse{2*sin(\f r+1)+4} \pgfmathresult + \draw[fill=blue!20] (\f-\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- (\f-\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- cycle;} + \node at (\a-\L/2,-5pt) {\footnotesize{$a=x_0$}}; + \node at (\b+\L/2+\L,-5pt) {\footnotesize{$b=x_n$}}; + \draw[blue] (\c-\L/2,0) -- (\c-\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,0); + \draw[dashed] (\c,0) node[below] {\footnotesize{$\xi_i$}} -- (\c,\Vc) -- (0,\Vc) node[left] {$f(\xi_i)$}; + \node at (\a+5*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_{i-1}$}}; + \node at (\a+7*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_i$}}; + \node at (\a+5*\L,-5pt) {\footnotesize{$x_{i+1}$}}; + \draw[blue,thick,smooth,samples=100,domain=1.45:6.2] plot(\x,{2*sin(\x r+1)+4}); + \filldraw[black] (\c,\Vc) circle (.03cm); +\end{tikzpicture} +\caption{Riemannsche Summen} +\end{figure} + +\begin{satz} + Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau + dann R-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $z_n \in Z(a,b)$ mit + $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen + zu dem selben Limes konvergieren. + \[ + RS_{z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx + .\] +\end{satz} + +\begin{proof} + ,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ z \in Z(a,b)$ mit + Feinheit $h$. Dann + \[ + \underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f) + .\] Aus der Konvergenz + $|\underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)| \to 0$, $n \to \infty$ + $\stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} RS_z \xrightarrow{n \to \infty} + \int_{a}^{b} f(x) dx$. + + ,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben + Limes. Sei $ z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig. + + Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$ + s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und + $\overline{S}_Z(f) \le \overline{RS}_Z(f) + \epsilon$. + + Dann + \begin{align*} + \underbrace{\underline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0} \int_{a}^{b} f(x) dx} - \epsilon \le \underline{S}_Z(f) + \le \overline{S}_Z(f) + \le + \underbrace{\overline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0} + \int_{a}^{b} f(x) dx} + \epsilon + .\end{align*} Wegen $\epsilon$ beliebig folgt: + \[ + \left| \underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)\right| + \xrightarrow{h \to 0} 0 + .\] +\end{proof} + +\begin{satz} + Eine stetige Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist + Riemann-integrierbar. +\end{satz} + +\begin{proof} + $I = [a,b]$ kompakt $\implies f$ auch gleichmäßig + stetig $\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_\epsilon >0$, s.d. + $\forall x, x' \in I$ mit $|x - x'| < \delta_\epsilon$ gilt + $|f(x) - f(x')| < \epsilon$. + + Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit Feinheit $h < \delta_\epsilon$, dann + \begin{align*} + |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| + &\le \sum_{k=1}^{n} + \underbrace{\left| \sup_{x \in I_k} f(x) - \inf_{x \in I_k} f(x)\right|}_{< \epsilon} \cdot (x_k - x_{k-1}) \\ + &< \epsilon \cdot \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) = \epsilon (b-a) + .\end{align*} + $\implies |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| \to 0$, $h \to 0$ \\ + $\implies f$ Riemann-integrierbar. +\end{proof} + +\begin{satz} + Eine beschränkte monotone Funktion $f \colon I = [a,b] \to \R$ + ist Riemann-integrierbar. +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $f$ monoton steigend. Dann gilt $f(a) \le f(x) \le f(b)$, $x \in I$. + + Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit $h$. + \begin{align*} + \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) + = \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) (f(x_k) - f(x_{k-1})) + \le h \sum_{k=1}^{n} \left( f(x_k) - f(x_{k-1}) \right) + = h (f(b) - f(a)) + .\end{align*} + Sei $\epsilon > 0$, dann wähle + $h_\epsilon := \frac{\epsilon}{f(b) - f(a)}$ ($f(b) \neq f(a)$, sonst + trivial). Dann gilt für $ h < h_{\epsilon}$ + \[ + \left| \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) \right| < \epsilon + .\] +\end{proof} + +\begin{bsp} + Nicht alle beschränkte Funktionen $f\colon I \to \R$ sind + R.-integrierbar, z.B.: + \[ + f(x) = \begin{cases} + 0 & x \in \Q \\ + 1 & x \in \R \setminus \Q + \end{cases} + .\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$. +\end{bsp} + +\subsection{Eigenschaften des Riemann-Integrals} + +\begin{satz}[Additivität] + \begin{enumerate} + \item Eine (beschr.) R.-integrierbare Funktion + $f\colon [a,b] \to \R$ ist auch über jedem + Teilintervall $[a', b'] \subset [a,b]$ R.-integrierbar. Insb. + gilt für $c \in (a,b)$: + \[ + \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + + \int_{b}^{c} f(x) dx \quad (*) + .\] + \item Ist eine (beschr.) Funktion $f \colon [a,b] \to \R$ + für ein $c \in (a,b)$ über $[a,c]$ und $[c,b]$ + R.-integrierbar, dann ist $f$ über $[a,b]$ integrierbar + und es gilt $(*)$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof} + ohne Beweis. +\end{proof} + +\begin{korrolar} + Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$, welche + bezüglich einer Zerlegung $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ von + $I$ stückweise stetig ist oder stückweise monoton ist, + ist über $I$ Riemann-integrierbar und es gilt + \begin{align*} + \int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) dx + .\end{align*} +\end{korrolar} + +\end{document}