diff --git a/sose2022/galois/vortrag_affin.tex b/sose2022/galois/vortrag_affin.tex index 3e086b3..64904e1 100644 --- a/sose2022/galois/vortrag_affin.tex +++ b/sose2022/galois/vortrag_affin.tex @@ -23,7 +23,7 @@ \begin{document} -\section{Projektive Moduln und Algebren} +\section{Projektive Moduln und Algebren (Vortrag 8)} \begin{satz}[Projektiv ist lokal frei] Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent: @@ -38,7 +38,7 @@ \end{satz} \begin{proof} - Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}. + Siehe Theorem 4.6 in Lenstra. \end{proof} \begin{satz} @@ -48,7 +48,7 @@ \end{satz} \begin{proof} - Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}. + Vortrag 8. Theorem 4.14 in Lenstra. \end{proof} \begin{satz} @@ -59,76 +59,7 @@ \end{satz} \begin{proof} - Vortrag 8. Proposition 4.16 in \cite{lenstra}. -\end{proof} - -\section{Endlich étale Morphismen} - -\begin{definition} - Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. - $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass - $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$. - - %Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn - %eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass - %$f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist. -\end{definition} - -\begin{lemma}[] - Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann - ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und - \[ - S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B - \] als $S^{-1}A$-Algebren. - \label{lemma:localisation} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus. -\end{proof} - -%\begin{lemma} -% Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte -% Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist -% \[ -% \varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g)) -% .\] Insbesondere gilt -% \[ -% \varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g -% .\] -% \label{lemma:d(f)} -%\end{lemma} -% -%\begin{proof} -% Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die -% zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter -% Verwendung des Ringisomorphismus -% \[ -% B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)} -% .\] -%\end{proof} - -\begin{bem} - Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei, - wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist. - \label{satz:morph-local-free-char} -\end{bem} - -\begin{proof} - \ref{satz:projectiveislocallyfree} -\end{proof} - -\begin{satz}[Komposition] - Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann - ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. - \label{satz:composition-projective} -\end{satz} - -\begin{proof} - Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln - \[ - A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m} - .\] + Vortrag 8. Proposition 4.16 in Lenstra. \end{proof} \begin{bem} @@ -178,91 +109,96 @@ $[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant. \end{proof} -\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$] - Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$ - von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere - existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass - $\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$. - \label{bem:clopen-sets} -\end{bem} -\begin{definition}[Treuprojektive Algebren] - Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$. -\end{definition} +\subsection{Aufgaben nach Vortrag 8} -%\begin{definition}[Surjektive Algebren] -% Eine $A$-Algebra $B$ heißt $\emph{surjektiv}$, falls die induzierte Abbildung -% $\spec B \to \spec A$ surjektiv ist. -%\end{definition} +\begin{satz}[Komposition] + Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann + ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. + \label{satz:composition-projective} +\end{satz} -\begin{satz} - Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist - \begin{enumerate}[(a)] - \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$. - \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$. - \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra. - \end{enumerate} - \label{satz:degree} +\begin{proof} + Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln + \[ + A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m} + .\] +\end{proof} + +\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive] + Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann + ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra. + Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm + \[ + \begin{tikzcd} + \spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\ + & \Z &. + \end{tikzcd} + \] + \label{satz:basischange-projective} \end{satz} \begin{proof} - \begin{enumerate}[(a)] - \item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$ - $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$ - $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$ - $\iff [B : A] = 0$. - \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c). - \item - Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild - $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$. - Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus, - $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen - $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt - $S \subseteq T$. Und damit - \[ - B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}}, - \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt - auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also - $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv - und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt - die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10. - \end{enumerate} + Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, + existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass + $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus + $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch + Tensorieren mit $C$ + \[ + C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C) + .\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul. + + Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei + weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also + folgt + \[ + (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}} + \otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}} + .\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt + $\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da + $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von + $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die + Behauptung. \end{proof} -\begin{definition}[Endlich étale Algebren] - Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{endlich étale}, wenn Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ existieren, sodass - $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist für alle $i \in I$. -\end{definition} +\begin{lemma} + Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente. + \label{lemma:local-idempotents} +\end{lemma} -\begin{bem} - Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich. - \label{bem:finite-etale-is-locally-free} -\end{bem} +\begin{proof} + Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt + $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen + $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist + $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$. +\end{proof} -%\begin{lemma} -% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge -% \[ -% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0 -% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus -% \[ -% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) -% \] ein Isomorphismus. -% \label{lemma:localisation-finitely-pres} -%\end{lemma} -% -%\begin{proof} -% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$ -% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen -% \[ -% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) -% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m} -% \] und -% \[ -% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m} -% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis. -%\end{proof} +\begin{lemma} + Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann + ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$. + \label{lemma:no-idempotents} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus. + Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und + $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$. + + Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt + $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$. + Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist + $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also + genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$. + + Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann + gilt + $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und + \[ + \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)} + .\] +\end{proof} -\begin{lemma}[] +\begin{lemma} Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge \[ A^{m} \to A^{n} \to M \to 0 @@ -304,20 +240,87 @@ \label{lemma:localisation-finitely-pres} \end{korollar} -%\begin{korollar} -% Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn -% eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass -% $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist. -% -% \label{bem:finite-etale-basis} -%\end{korollar} -% -%\begin{proof} -% Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann -% separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ -% ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres} -% durch Lokalisieren erhalten. -%\end{proof} + +\section{Technische Randbemerkungen} + +\begin{lemma} + Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann + ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und + \[ + S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B + \] als $S^{-1}A$-Algebren. + \label{lemma:localisation} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist + \[ + M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f + \] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist. + \label{kor:localisation-is-colim} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert + ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen. + + Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet. + Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$, + also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit + $f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit + eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass + diese Abbildung bijektiv ist. + + Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$ + in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$. + Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann + existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also + existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$. + Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$. +\end{proof} + +\section{Endlich étale Morphismen} + +\begin{definition} + Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. + $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass + $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$. + \label{def:finite-locally-free} +\end{definition} + +\begin{bem} + Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei, + wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist. + \label{satz:morph-local-free-char} +\end{bem} + +\begin{proof} + \ref{satz:projectiveislocallyfree} +\end{proof} + +\begin{bem}[Zariskiüberdeckung] + Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung. +\end{bem} + +Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: + +\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale] + Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt. + \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass + $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{bem} + Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich. + \label{bem:finite-etale-is-locally-free} +\end{bem} \begin{lemma} Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn @@ -359,41 +362,7 @@ über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung. \end{proof} -\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive] - Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann - ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra. - Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm - \[ - \begin{tikzcd} - \spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\ - & \Z &. - \end{tikzcd} - \] - \label{satz:basischange-projective} -\end{satz} - -\begin{proof} - Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, - existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass - $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus - $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch - Tensorieren mit $C$ - \[ - C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C) - .\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul. - - Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei - weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also - folgt - \[ - (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}} - \otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}} - .\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt - $\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da - $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von - $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die - Behauptung. -\end{proof} +\subsection{Stabilität von endlich étale} \begin{satz}[Basiswechsel endlich étale] Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist @@ -402,6 +371,10 @@ \end{satz} \begin{proof} + Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Basiswechsel. + Außerdem ist $\Omega_{B \otimes_A C/C} = \Omega_{B / A} \otimes_A C = 0$. Also + ist $B \otimes_A C$ auch formal unverzweigt und damit endlich étale über $C$. + Mit \ref{satz:equiv-finite-etale} genügt es zu zeigen: Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra. Mit @@ -419,6 +392,115 @@ .\] \end{proof} +\begin{satz}[Komposition endlich étale] + Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist + $C$ endlich étale $A$-Algebra. +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei zunächst $B$ total zerlegbar über $A$ von konstantem Grad. Dann + ist $B = A^{n}$ und + nach \ref{satz:projective-prod} $C = \prod_{i=1}^{n} C_i$, wobei $C_i$ endlich étale $A$-Algebra. Dann + ist $C$ endlich étale nach \ref{ex:5.3}. + + Falls $B$ total zerlegbar über $A$ von nicht notwendig konstantem Grad, ist $A = \prod_{n \ge 0} A_n$ + und $B = \prod_{n \ge 0} A_n^{n}$. Dann ist $C = \prod_{n \ge 0} C_n$ mit $C_n$ endlich étale + $A_n^{n}$-Algebra nach \ref{satz:projective-prod}. Wende + nun den ersten Fall auf $A_n \to A_n^{n} \to C_n$ an. Mit \ref{satz:projective-prod} folgt dann die Behauptung. + + Im Allgemeinen: Mit \ref{th:5.10} wähle $D$ treuprojektive $A$-Algebra, sodass + $B \otimes_A D$ total zerlegbare $D$-Algebra. Nach \ref{satz:basischange} ist dann + $C \otimes_A D = C \otimes_B (B \otimes_A D)$ endlich étale $B \otimes_A D$-Algebra. Mit dem obigen Speziallfall + ist also $C \otimes_A D$ endlich étale $D$-Algebra. Da $A \to D$ treuprojektiv war, folgt + mit \ref{kor:finite-etale} die Behauptung. +\end{proof} + +\subsection{Grad} + +\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$] + Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$ + von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere + existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass + $\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$. + \label{bem:clopen-sets} +\end{bem} + +\begin{definition}[Treuprojektive Algebren] + Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$. +\end{definition} + +\begin{satz} + Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist + \begin{enumerate}[(a)] + \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$. + \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$. + \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra. + \end{enumerate} + \label{satz:degree} +\end{satz} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[(a)] + \item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$ + $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$ + $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$ + $\iff [B : A] = 0$. + \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c). + \item + Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild + $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$. + Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus, + $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen + $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt + $S \subseteq T$. Und damit + \[ + B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}}, + \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt + auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also + $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv + und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt + die Aussage aus Macdonald Theorem 5.10. + \end{enumerate} +\end{proof} + +%\begin{lemma} +% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge +% \[ +% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0 +% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus +% \[ +% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) +% \] ein Isomorphismus. +% \label{lemma:localisation-finitely-pres} +%\end{lemma} +% +%\begin{proof} +% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$ +% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen +% \[ +% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) +% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m} +% \] und +% \[ +% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m} +% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis. +%\end{proof} + +%\begin{korollar} +% Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn +% eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass +% $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist. +% +% \label{bem:finite-etale-basis} +%\end{korollar} +% +%\begin{proof} +% Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann +% separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ +% ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres} +% durch Lokalisieren erhalten. +%\end{proof} + \begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach] Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach. \label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} @@ -445,18 +527,6 @@ die Behauptung aus \ref{satz:4.14}. \end{proof} -\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren] - Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn - $A$ ein Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und - $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass - \[ - \begin{tikzcd} - B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n} \\ - A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u} - \end{tikzcd} - \] kommutiert. -\end{definition} - \begin{satz}[Aufgabe 5.3] Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn @@ -543,7 +613,7 @@ = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$. \end{proof} -\begin{satz} +\begin{satz}[Aufgabe 5.4] Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form. @@ -605,6 +675,18 @@ ersten Absatz. \end{proof} +\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren] + Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn + $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und + $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass + \[ + \begin{tikzcd} + B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n} \\ + A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u} + \end{tikzcd} + \] kommutiert. +\end{definition} + \begin{satz} Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$. @@ -657,29 +739,6 @@ \] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt. \end{proof} -\begin{satz}[] - Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist - $C$ endlich étale $A$-Algebra. -\end{satz} - -\begin{proof} - Sei zunächst $B$ total zerlegbar über $A$ von konstantem Grad. Dann - ist $B = A^{n}$ und - nach \ref{satz:projective-prod} $C = \prod_{i=1}^{n} C_i$, wobei $C_i$ endlich étale $A$-Algebra. Dann - ist $C$ endlich étale nach \ref{ex:5.3}. - - Falls $B$ total zerlegbar über $A$ von nicht notwendig konstantem Grad, ist $A = \prod_{n \ge 0} A_n$ - und $B = \prod_{n \ge 0} A_n^{n}$. Dann ist $C = \prod_{n \ge 0} C_n$ mit $C_n$ endlich étale - $A_n^{n}$-Algebra nach \ref{satz:projective-prod}. Wende - nun den ersten Fall auf $A_n \to A_n^{n} \to C_n$ an. Mit \ref{satz:projective-prod} folgt dann die Behauptung. - - Im Allgemeinen: Mit \ref{th:5.10} wähle $D$ treuprojektive $A$-Algebra, sodass - $B \otimes_A D$ total zerlegbare $D$-Algebra. Nach \ref{satz:basischange} ist dann - $C \otimes_A D = C \otimes_B (B \otimes_A D)$ endlich étale $B \otimes_A D$-Algebra. Mit dem obigen Speziallfall - ist also $C \otimes_A D$ endlich étale $D$-Algebra. Da $A \to D$ treuprojektiv war, folgt - mit \ref{kor:finite-etale} die Behauptung. -\end{proof} - Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei $\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei $\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert @@ -696,70 +755,6 @@ einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$. und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}. \end{proof} -\begin{lemma} - Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente. - \label{lemma:local-idempotents} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt - $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen - $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist - $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$. -\end{proof} - -\begin{lemma} - Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann - ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$. - \label{lemma:no-idempotents} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus. - Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und - $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$. - - Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt - $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$. - Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist - $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also - genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$. - - Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann - gilt - $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und - \[ - \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)} - .\] -\end{proof} - -\begin{lemma} - Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist - \[ - M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f - \] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist. - \label{kor:localisation-is-colim} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert - ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen. - - Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet. - Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$, - also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit - $f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit - eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass - diese Abbildung bijektiv ist. - - Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$ - in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$. - Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann - existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also - existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$. - Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$. -\end{proof} - \begin{lemma} Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann