reorder

sose2022/galois/vortrag_affin.tex

@@ -312,6 +312,8 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
     Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt.
+        \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        %\item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$.
         \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
             $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist.
     \end{enumerate}
@@ -374,22 +376,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
     Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Basiswechsel.
     Außerdem ist $\Omega_{B \otimes_A C/C} = \Omega_{B / A} \otimes_A C = 0$. Also
     ist $B \otimes_A C$ auch formal unverzweigt und damit endlich étale über $C$.
-
-    Mit \ref{satz:equiv-finite-etale} genügt es zu zeigen:
-    Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
-    ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra. Mit
-    \ref{satz:basischange-projective} genügt es die Separabilität zu zeigen.
-
-    Es ist also zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
-    $B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
-    \ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
-    \[
-    \begin{tikzcd}
-        B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
-        B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
-        & \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
-    \end{tikzcd}
-    .\] 
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Komposition endlich étale]
@@ -398,21 +384,16 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    Sei zunächst $B$ total zerlegbar über $A$ von konstantem Grad. Dann
-    ist $B = A^{n}$ und
-    nach \ref{satz:projective-prod} $C = \prod_{i=1}^{n} C_i$, wobei $C_i$ endlich étale $A$-Algebra. Dann
-    ist $C$ endlich étale nach \ref{ex:5.3}.
-
-    Falls $B$ total zerlegbar über $A$ von nicht notwendig konstantem Grad, ist $A = \prod_{n \ge 0} A_n$
-    und $B = \prod_{n \ge 0} A_n^{n}$. Dann ist $C = \prod_{n \ge 0} C_n$ mit $C_n$ endlich étale
-    $A_n^{n}$-Algebra nach \ref{satz:projective-prod}. Wende
-    nun den ersten Fall auf $A_n \to A_n^{n} \to C_n$ an. Mit \ref{satz:projective-prod} folgt dann die Behauptung.
-
-    Im Allgemeinen: Mit \ref{th:5.10} wähle $D$ treuprojektive $A$-Algebra, sodass
-    $B \otimes_A D$ total zerlegbare $D$-Algebra. Nach \ref{satz:basischange} ist dann
-    $C \otimes_A D = C \otimes_B (B \otimes_A D)$ endlich étale $B \otimes_A D$-Algebra. Mit dem obigen Speziallfall
-    ist also $C \otimes_A D$ endlich étale $D$-Algebra. Da $A \to D$ treuprojektiv war, folgt
-    mit \ref{kor:finite-etale} die Behauptung.
+    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Komposition.
+    Außerdem haben wir die exakte Kotangentialfolge
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            \underbrace{C \otimes_B \Omega_{B / A}}_{= 0} \arrow{r}
+            & \Omega_{C / A} \arrow{r}
+            & \underbrace{\Omega_{C / B}}_{= 0} \arrow{r}
+            & 0
+        \end{tikzcd}
+    .\] Aus der Exaktheit folgt also $\Omega_{C / A} = 0$.
 \end{proof}
 
 \subsection{Grad}