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@@ -529,7 +529,7 @@ $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind. Das
 wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
 \[
 - \otimes_A M \dashv \text{Hom}_{A\text{-Mod}}(M, -)
-\] für $M$ ein $A$-Modul auf die abgeleiteten Funktoren zu übertragen.
+\] für einen $A$-Modul $M$ auf die abgeleiteten Funktoren zu übertragen.
 
 \begin{definition}
     Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe in einer beliebigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$.
@@ -538,7 +538,7 @@ wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
     \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})
     \] mit Differentialen
     \[
-    d^{n}(f) = d_{\com{B} } \circ f - (-1)^{n} f \circ d_{\com{A}}
+    d^{n}(f) = d_{\com{B} } f - (-1)^{n} f d_{\com{A}}
     \] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B})$.
 \end{definition}
 
@@ -553,30 +553,33 @@ wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
     \] für $m \in M^{i}, n \in N^{n-i}$.
 \end{definition}
 
-\begin{lemma}[]
+Die Kohomologiegruppen von $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y})$ für Komplexe
-    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
+$\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
+
+\begin{lemma}
+    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
     \[
-        H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A}, \com{B}[n])
+        H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
     .\]\label{hom-compl-cohomgroups}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-    Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})$. Dann ist:
+    Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n})$. Dann ist:
     \[
-        (f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{B}}^{i+n}  f^i = f^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
+        (f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n}  f^i = f^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
         \text{ für } i \in \Z
-    .\] Wegen $d_{\com{B}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{B}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann
+    .\] Wegen $d_{\com{Y}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{Y}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann
-    einen Komplexhomomorphismus $\com{A} \to \com{B}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$.
+    einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{Y}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$.
 
-    Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im } d^{n-1}$ genau dann wenn eine Familie
+    Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im } d^{n-1}$, genau dann wenn eine Familie
-    $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n-1})$ existiert, sodass
+    $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n-1})$ existiert, sodass
     %\[
-    %     f^{i} = d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
+    %     f^{i} = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
-    %     = d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} + (-1)^{n} k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
+    %     = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} + (-1)^{n} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
     %.\]
     \[
-        (-1)^{n}f^{i} = (-1)^{n} d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} + k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
+        (-1)^{n}f^{i} = (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} + k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
-    .\] Erneut wegen $d_{\com{B} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{B} }$, ist also für $(f_i)_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$
+    .\] Erneut wegen $d_{\com{Y} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{Y} }$, ist also für $(f_i)_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$
-    der induzierte Komplexhomomorphismus $f\colon \com{A} \to \com{B} $ genau dann nullhomotop,
+    der induzierte Komplexhomomorphismus $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ genau dann nullhomotop,
     wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
 \end{proof}
 
@@ -598,7 +601,6 @@ wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    
 \end{proof}
 
 % TODO: Bedingung (I) an Indexmengen
@@ -617,47 +619,87 @@ wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat
 
 \section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}
 
-In diesem Abschnitt möchten wir, in der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors}, jeweils eine
+Sei $\com{Y} \in \mathcal{K}$.
-Unterkategorie $\mathcal{L}$ finden, die die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors}
+Um die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors} für
-für die Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{A}, -) $ bzw. $\com{\text{Hom}}(- , \com{A})$ erfüllt. Dazu definieren
+$\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$)
-wir folgende Klasse von Komplexen:
+zu erfüllen, benötigen wir
+eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass
 
-\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
+\begin{enumerate}[(i)]
-    Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
+    \item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus
-    $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
+        $\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$
+        (bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$)
+        existiert und
+    \item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit
+        von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält.
+\end{enumerate}
+
+Dazu definieren wir:
+
+\begin{definition}[K-injektiv]
+    Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ heißt K-injektiv, wenn der Funktor
+    $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit erhält. Eine K-injektive
+    Auflösung eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist
+    ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit
+    $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv.
 \end{definition}
 
-\begin{bem}
+\begin{definition}[K-projektiv]
-    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn
+    Ein Komplex $\com{P} \in \mathcal{K}$ heißt K-projektiv, wenn der Funktor
-    $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$
+    $\com{\text{Hom}}(\com{P}, -)$ Exaktheit erhält. Eine K-projektive
-    (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$  $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält
+    Auflösung eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist
-    folgt also
+    ein Quasiisomorphismus $\com{P} \to \com{X} $ mit
-    \[
+    $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv.
-    \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
+\end{definition}
-    \]
+
-    \[
+Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat:
-    \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
+
-    .\]
+\begin{satz}
-\end{bem}
+    Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann
+    hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive
+    Auflösung.
+\end{satz}
+
+Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
 
 \subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 
 
+Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven
+Komplexen entwickelt.
+
+\begin{bem}
+    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
+    genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex
+    $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass
+    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$.
+    Da Verschieben Exaktheit erhält folgt also
+    \[
+        \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
+    .\]
+    Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir
+    \[
+        \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
+    \]
+\end{bem}
+
 \begin{bem}
     Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
     \begin{proof}
         Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
-        $\com{X} = 0$ in $\K$.
+        $\com{X} \stackrel{\sim }{=}  0$ in $\K$.
     \end{proof}
 \end{bem}
 
 \begin{satz}
-    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
+    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau
-    dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.
+    dann wenn $X^{0}$ projektiv (bzw. injektiv) in $\mathcal{A}$ ist.
 
     \label{satz:single-degree-compl-k-proj}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
+    Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen
+    aller Pfeile.
     ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
     $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
 \[\begin{tikzcd}
@@ -1908,9 +1950,12 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:
     $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
 \end{proof}
 
+% TODO: zitate richtig machen
 \begin{thebibliography}{9}
 \bibitem{hartshorne}
 Robin Hartshorne. Residues and duality. \emph{Lecture Notes in Math.}. 20, Springer-Verlag (1966)
+\bibitem{spaltenstein}
+N. Spaltenstein. Resolutions of unbounded complexes. \emph{Composito Mathematica 65}. (1988)
 \end{thebibliography}
 
 \end{document}