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\documentclass{lecture}
\begin{document}
\section{Grundlagen}
\subsection{Vollständige Induktion}
\begin{bsp}
Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
.\]
\begin{proof}
Induktionsanfang für $n=1$:
\[
\sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1(1+2)}{2} = 1
.\]
Induktionsschritt
\[
\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
= \frac{n(n+1)+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
.\]
\end{proof}
\end{bsp}
\begin{definition}
Seien $m, n \in \N, m \le n$\\
$a_{m}, a_{m+1}, \ldots, a_n \in \R$. Dann
$a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n = \sum_{k=m}^{n} a_{k}$.
Falls $m>n$, dann $\sum_{k=m}^{n} a_{k} := 0$
\end{definition}
\begin{bsp}
Definiere rekursiv für $x \in \R$:
$x^0 := 1$ und $x^{n+1} := x \cdot x^n, n \in \N_0$
Betrachte
\[
\sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^n, x \in \R
.\]
Dann heißt
\[
\sum_{k=0}^n x^{k} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
\] geometrische Summenformel.
\begin{proof}
Induktionsanfang für $n = 1$:
\[
1+x = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x}
.\]
Induktionsschritt: $n \to n + 1$
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{n+1} x^k &= \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1}\\
&= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1}
&= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)(x^{n+1})}{1-x}
&= \frac{1 - x^{n+2}}{1-x}
.\end{align*}
\end{proof}
\begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
\begin{align*}
1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
&= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
&= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
&= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
.\end{align*}
\end{proof}
\end{bsp}
Als Anwendung der geometrischen Summenformel ergeben sich nützliche Formeln, z.B.
$ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
\begin{align*}
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
\end{align*}
\begin{proof}
Für $a=0$ und $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
\[
1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
= (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
\]
\[
a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
\]
\end{proof}
\subsection{Elemente der Kombinatorik}
Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
\[
1! := 1 \text{ und } \forall n \in \N: (n + 1)! = n!(n+1)
.\] Per Definition $0! := 1$
\begin{satz}[Permutationen]
Die Anzahl aller Anordnungen (oder Permutationen) von $n \in \N$ Elementen ist $n!$.
\end{satz}
\begin{proof}
Induktionsanfang:
$n=1$: Eine Anordnung 1 \\
$n=2$: Zwei Anordnungen 12, 21
Induktionsschritt $n \to n+1$: Anzahl von Anordnungen der Elemente ${1, \ldots, n+1}$,
die das Element $(n+1)$ auf Platz 1 hat bei beliebiger Anordnung der
anderen Elemente nach Induktionsannahme ist $n!$. Für jedes der $n+1$
Plätze ergeben sich wieder $n!$ Anordnungen, d.h. insgesamt:
$n!(n+1) = (n+1)!$
\end{proof}
\begin{definition}[Binomialkoeffizient]
Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
\begin{align*}
n \ge k \ge 1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
k = 0:& \binom{n}{0} := 1
\end{align*}
$\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
\begin{align*}
\binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
&= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
&= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
.\end{align*}
Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$
\end{definition}
\begin{figure}[ht]
\centering
\incfig{figur1}
\caption{figur1}
\label{fig:figur1}
\end{figure}
\end{document}
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\documentclass{lecture}
\begin{document}
\section{Grundlagen}
\subsection{Organisatorisches}
\begin{enumerate}
\item Freitag 1.11. Feiertag
\item Abgabe Donnerstag davor
\end{enumerate}
\begin{lemma}[]
Für $n, k \in \N$ mit $0 < k < n$ gilt:
\[
\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
\begin{align*}
\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &=
\frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-(k-1)+1)}{(k-1)!}
+ \frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-k+1)}{(k-1)!k}\\
&= \frac{(n-1)\ldots(n-k+1)(k+n-k}{k!} \\
&= \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} = \binom{n}{k}
.\end{align*}
\end{proof}
\begin{bem}[]
Mit Hilfe der Rekursionsformel
\[
\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
.\] bzw
\[
\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}
.\] berechnet man die Binomialkoeffizienten explizit, auch bekannt als
,,Pascalsches Dreieck''.
\end{bem}
\begin{figure}[ht]
\centering
\incfig{pascal2}
\caption{Pascalsches Dreieck}
\label{fig:pascal2}
\end{figure}
\begin{satz}[Binomische Formel]
Für $a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
\[
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}
.\]
bzw.
\[
(a+b)^{n} = \binom{n}{0} a^{n} + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
\binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n} b^{n}
.\]
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Induktion]
Induktionsanfang $n=1$:
\[
a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b = 1a + 1b
.\]
Annahme: Die Formel gilt für ein $n \ge 1$
Induktionsschritt: $n \to n+1$
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^{n}\\
&= (a+b) \left(\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
\binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n}b^{n}\right) \\
&= \binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{1}a^{n}b + \ldots +
\binom{n}{n-1} a^{2} b^{n-1} + \binom{n}{n} a b^{n} \\
&+ \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
\binom{n}{n-1}a b^{n}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\
&= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^{n}b+\ldots+
\binom{n+1}{n}ab^{n} + \binom{n+1}{n+1}b^{n+1}
.\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
\[
\N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
.\] auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
(Multiplikation) definiert. Für diese gelten u.a. die Regeln:
\begin{align*}
n + m = m + n &\text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n \text{ Kommutativität} \\
(n + m) + k = n + (m + k) &\text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \text{ Assoziativität}\\
(n + m) \cdot k &= n \cdot k + m \cdot k \text{ Distributivität}
\end{align*}
Subtraktion und Division sind nicht für alle Paare der natürlichen Zahlen definiert
($1 - 2 \not\in \N, \frac{1}{2} \not\in \N$), d.h. die natürlichen Zahlen
sind bezüglich der Subtraktion und Division ,,unvollständig''. Dies bedeutet,
dass für $n, m \in \N$ z.B.: die Gleichung
\[
n + x = m
\] nicht immer lösbar ist.
Deshalb werden die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert.
\[
\Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \text{ ganze Zahlen}
.\] In $\Z$ hat die Gleichung $n+x = m$ die (eindeutige) Lösung:
$x = m - n \in \Z$.
$\Z$ ist vollständig bezüglich der Subtraktion aber unvollständig bezüglich
der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, die ,,lineare''
Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar ist.
Diese Beschränkung wird durch die Einführung der rationalen Zahlen behoben:
\[
\Q = \left\{\frac{r}{s} \mid r \in \Z, s \in \N\right\}
.\] Die Menge $\Q$ ist vollständig bezüglich der vier elementaren
arithmetischen Operationen (bis auf die unzulässige Division durch Null).
\[
a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
a+b = \frac{r}{s} + \frac{u}{v} &:= \frac{r\cdot v + u\cdot s}{s\cdot v} \\
a-b &:= \frac{r\cdot v - u \cdot s}{s \cdot v} \\
a \cdot b &:= \frac{r \cdot u}{s \cdot v} \\
\frac{a}{b} &:= \frac{r \cdot v}{s \cdot u} \\
\end{cases}
.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,+'' und ,,-'' einen ,,Körper'' bildet.
\subsection{Was ist ein Körper?}
Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
Operation ,,$+$'' erfüllt die Axiome der Addition
\begin{enumerate}
\item Kommutativität $\forall a,b \in K: a + b = b + a$
\item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a+b)+c = a+(b+c)$
\item Neutrales Element $\exists 0 \in K: \forall a \in K: a + 0 = a$
\item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists -a \in K: a + (-a) = 0$
\end{enumerate}
Operation ,,$\cdot$'' erfüllt Axiome der Multiplikation
\begin{enumerate}
\item Kommutativität $\forall a,b \in K: a \cdot b = b \cdot a$
\item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
\item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =: K^{*}: \forall a \in K: a \cdot 1 = a$
\item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists a^{-1} \in K: a \cdot a^{-1} = 1$
\end{enumerate}
Zusätzlich gilt ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' erfüllen die Distributivität (D):
\[
\forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
.\]
\begin{definition}[Körper]
Eine Menge $K$ mit Operationen ,,$ +$'' und ,,$\cdot$ '' (K, $+$, $\cdot$)
die Axiome A1-A4, M1-M4 und D erfüllt, heißt Körper.
\end{definition}
\begin{bsp}[]
($\Q$, $+$, $\cdot$) ist ein Körper \\
($\Z$, $+$, $\cdot$ ) ist kein Körper \\
\end{bsp}
\begin{definition}[Angeordneter Körper]
Sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper. Es $\exists p \subset K$ eine Teilmenge,
die Axiome erfüllt:
\begin{enumerate}
\item $\forall \in K$ gilt genau eine der folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}
\item $a \in P$
\item $a = 0$
\item $-a \in P$
\end{enumerate}
\item Aus $a > 0$ und auch $b > 0$ folgt: $a+b > 0 $ und
$a\cdot b$ > 0
\end{enumerate}
Dann heißt $(K, +, \cdot, >)$ angeordneter Körper.
\end{definition}
\end{document}
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\documentclass{lecture}
\begin{document}
\section{Grundlagen}
\begin{definition}[Positivität]
Sei $\left( K, +, \cdot, > \right)$ ein angeordneter Körper.
$a \in K $ heißt positiv falls $a > 0$.
$a \in K$ heißt negativ falls $a < 0$.
\[
K^{+} := \{a \in K \mid a > 0\}
.\]
\[
K^{-} := \{a \in K \mid a < 0\}
.\]
Ordnungsrelation für $a, b \in K$
\begin{align*}
a < b \iff b - a \in K^{+} \\
b > a:\iff a < b \\
a \le b: \iff a < b \wedge a = b \\
b \ge a: \iff a \le b \\
.\end{align*}
Für je zwei $a \in K, b \in K$ gilt genau eine der Relationen
$a<b, a = b, a >b$.
\end{definition}
Es gelten Regeln:
\begin{itemize}
\item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
\item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
\item $a < b \implies a \cdot c < b \cdot c, c \in K^{+}$
\item $a \ge b, b \ge a \iff a = b$
\item $a < b, a > 0, b > 0 \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
\end{itemize}
\begin{bsp}[Positivität auf $\Q$]
\[
\Q^{+} := \left\{a \in Q \mid a = \frac{r}{s} , r, s \in \N\right\}
.\]
\end{bsp}
\begin{definition}[Absolutbetrag]
Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
Dann
\[
|a| := \begin{cases}
a & \text{für } a > 0 \\
0 & \text{für } a = 0 \\
-a & \text{für } a < 0 \\
\end{cases}
.\]
Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit)
\item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
\item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{proof}[Beweis der Dreiecksungleichung]
Beobachtung: $\pm a \le |a| \implies a + b \le |a| + |b|
\implies -(a+b) \le |a| + |b|$
\end{proof}
Es folgt aus den Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item $|a-b| = 0 \implies a = b$
\item $|-a| = |a|$
\item $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0$
\item $| |a| - |b| | \le |a - b| $
(folgt aus: $|a| = |a-b+b| \le |a-b| + |b|$ und
$|b| = |b - a + a| \le |b-a| + |a|$)
\end{itemize}
\begin{satz}[Dezimalbruchdarstellung]
Jede rationale Zahl $a$ besitzt eine endliche
oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
\[
a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
.\] bzw.
\[
a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
.\]
$a_0 \in N_0, d_1\ldots d_s \in \{0, 1, \ldots ,9\}$ Ziffern
Umgekehrt stellt jede Dezimalbruchzerlegung dieser Art eine rationale
Zahl dar.\\
Hier: bei periodischen Dezimalbrüchen ist die Periode $\overline{9}$
nicht zugelassen:
\[
a_0,d_1\ldots d_{k-1} d_k \overline{9}
:= a_0 + 0,d_1\ldots d_k (d_k+1), d_k < 9
.\]
\end{satz}
\begin{proof}
Siehe Lehrbuch
\end{proof}
\section{Die Reellen Zahlen}
\subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}
\begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel]
Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale
Lösung.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
Angenommen: Es existiert eine rationale Lösung
\[
x := \sqrt{2} = \frac{r}{s}
.\] mit Zahlen $r \in \Z$ und $s \in \N$.
O.B.d.A. (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) nehmen wir
an, dass $r$ und $s$ teilerfremd sind.
Dann gilt: $r \neq 0$ und $r^2 = 2s^2$ und $\frac{1}{2}r^2 = s^2$.
Also muss $r^2$ und auch $r$ gerade sein, denn $(2n+1)^2 = 4n^2+ 4n +1$
ungerade (Kontraposition).
Damit sind auch $\frac{1}{2}r^2$ gerade und $s^2$ gerade.
Aber wegen Teilerfremdheit können $r^2$ und $s^2$ nicht beide
durch zwei teilbar sein. $\implies$ Widerspruch zur Annahme
\end{proof}
\begin{bem}
Allgemeiner: ,,quadratische'' Gleichung
\[
a+bx +c x^2 = 0
.\] ist nicht für beliebig gewählte $a, b, c \in \Q$ durch
ein $x \in \Q$ lösbar.
\end{bem}
\begin{bem}[Beweisarten]
Direkter Beweeis:
\[
E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
.\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
\end{bem}
\textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
Gleichung $x^2 = 2$ mit zunehmender Genauigkeit erfüllen,
z.B. rekursiv durch Einschließung mit Hilfe von Dezimalbrüchen.
Wir nutzen die Eigenschaft: $a, b > 0$ und $a^2 < b^2 \implies a < b$, folgt
aus:
\[
b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), (b+a > 0)
.\]
Start: $a_1 := 1,4$, $b_1 := 1,5$ mit
$a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$
2 Fälle:
Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
\[
a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
.\]
\[
a_n^2 < 2 < b_n^2
.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $
Die nächste Einschließung ist
\[
a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1}, d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\}
.\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.
und
\[
b_{n+1} := \begin{cases}
1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
\end{cases}
.\] Nach Konstruktion:
\[
a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
.\]
\[
a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
.\]
Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
\[
a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
.\]
\[
a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
.\]
\[
d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
.\]
Die nächste Einschließung
\[
a_{n+1} := 1,d_1 \ldots d_{n}, d_{n+1}, d_{n+1} \in {0, 1, \ldots, 9}
.\] $a_{n+1}$ möglichst groß, aber $a_{n+1}^2 < 2$.
\[
b_{n+1} = \begin{cases}
1,d_1\ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
1,d_1\ldots d_{m-1}(d_m + 1) 0 \ldots 0 & \text{für } d_{n+1} = 9
\end{cases}
.\] Der Fall b) kann nur endlich oft hintereinander auftreten, dann wäre
$a_n = b_n$ ab einem gewissen n und folglich $a_n ^2 = 2$
Nach Konstruktion:
\[
a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
.\]
\[
a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
.\] Wir erhalten 2 Folgen $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in N}$ mit
den Eigenschaften
\[
1,4 = a_1 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n \le \ldots b_1 = 1,5
.\] Konkret: $a_1 = 1,4$, $a_2 = 1,41$, $a_3 = 1,414$
$b_1 = 1,5$, $b_2 = 1,42$, $b_3 = 1,415$
Abstand $b_n - a_n \le 10^{-n}$, $n \in \N$ wird immer kleiner
$\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!
\begin{definition}[Zahlenfolge]
Eine Menge $(a_n)_{n \in \N}$ nummerierter rationaler Zahlen wird
,,Folge'' genannt.
\end{definition}
\begin{bsp}
$a_n = 1 + \frac{1}{n}$
$a_1 = 2$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{4}$
\end{bsp}
Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
bzw.
\[
\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
.\] d.h. Folge konvergiert gegen 1
\begin{definition}[Konvergenz]
Eine Folge $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent, gegen einen ,,Limes''
a, wenn gilt:
\[
|a_n - a| \to 0, n \to \infty
.\] Falls $|a_n|$, $n \to \infty$ heißt $(a_n)_{n \in \N}$
strikt divergent.
Präziser (Cauchy)
Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ ist ,,konvergent'' gegen einen
Grenzwert a, wenn:
\[
\forall \epsilon > 0: \exists n := n(\epsilon) = n_{\epsilon}
.\] sodass
\[
|a_n - a| < \epsilon \text{ für } n \ge n_{\epsilon}
.\]
\end{definition}
\end{document}
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\documentclass{lecture}
\begin{document}
\section{Grundlagen}
\subsection{Abbildungen}
Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.
\begin{definition}[]
Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
Mengenabbildung auffassen:
\[
\circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
\]
\[
(f, g) \mapsto g \circ f
.\]
\end{definition}
\begin{lemma}[]
Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in I}$ die
Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
\[
\Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
links: Abbildung $f: I \to M$.
Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in I$
ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
Zuordnung:
\[
\Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
.\]
Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
ist $\Phi$ injektiv.
Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
$f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
ist $\Phi$ surjektiv.
\end{proof}
\section{Gruppen, Ringe, Körper}
\subsection{Gruppen}
\begin{definition}[Verknüpfung]
Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
\[
*: M \times M \to M
.\]
\end{definition}
\begin{definition}[Gruppe]
Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
\begin{enumerate}
\item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
\item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
\item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
\end{enumerate}
Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
\begin{enumerate}
\item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{bsp}[]
\begin{enumerate}
\item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
\item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
\item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
\item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{bem}[]
Menge der Restklassen:
\[
\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z
.\]
$(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
Wie ist die Summe von Restklassen definiert?
Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
\begin{enumerate}
\item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
$b \in B$.
\item bilde $a+b$ in $\Z$
\item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
$a+b$ gehört.
\end{enumerate}
Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
\end{bem}
\begin{bsp}[]
Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
\[
O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
\pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\}
.\]
(sogennante Permutationen)
$* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
$e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
Wir schreiben Permutationen in der Form:
\[
\pi =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
\pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
\end{pmatrix}
.\]
Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
\[
\#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
.\]
Verifikation der Gruppenaxiome
\begin{enumerate}
\item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
\item $e * g = id * g = g$
\item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
\end{enumerate}
Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
\end{pmatrix}
\circ
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
\end{pmatrix}
.\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
\end{pmatrix}
\circ
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
\end{pmatrix}
.\]
\end{bsp}
\begin{satz}[]
Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
\begin{enumerate}
\item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
\item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
\item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
\item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
\item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
$g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
\item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
\item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis 1]
Sei $g * h = g * k$.
Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
Daraus folgt: $h = k$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 3]
Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.
Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
Nach (1) folgt $g*e=g$
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3)
$h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 2]
Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).
$\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
$\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
Daraus folgt $g = h$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 4]
$g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
$h*g = g = e*g \implies h=e$
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
$h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
$g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 7]
aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
\end{proof}
\begin{bem}[]
$g, h \in G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
\end{bem}
\end{document}
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\documentclass{lecture}
\begin{document}
\section{Gruppen, Ringe, Körper}
\subsection{Ringe}
\begin{definition}[Ring]
Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to R$ und einem
Element $O_{R} \in R$ so dass:
\begin{enumerate}
\item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
\item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
\item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
\end{enumerate}
Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
$(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
\end{enumerate}
Ein Ring heißt kommutativ, wenn
\begin{enumerate}
\item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{bem}[Notation]
Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
$-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.
Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
\end{bem}
\begin{bsp}
$(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
\end{bsp}
\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
\begin{enumerate}
\item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
\item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
\item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
\end{enumerate}
Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
im ersten Schritt.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
ist ein kommutativer Ring ohne 1.
\end{bsp}
\begin{lemma}
$R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
\item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
\end{enumerate}
Ist R unitär, so gilt:
\begin{enumerate}
\item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis 1]
\[
0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
.\]
Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 2]
\[
0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
\] also $a(-b) = -ab$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis 3]
Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
\end{proof}
\begin{bsp}
$R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
heißt der \textit{Nullring}.
Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.
Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
\[
r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
.\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
$R$ muss ein Nullring sein.
\end{bsp}
\begin{lemma}
Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
$R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
\[
R^{\times } = \{r \in R \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
.\]
Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
mit
\[
s r = 1 = r t
.\] und
\[
\overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
.\] Dann
\[
(s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
.\]
\[
(r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1
.\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$
Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2
$1 \in R$ ist neutral $\to$ G2
Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:
Wähle $t \in R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
$\implies$ rs = rt = 1.
\end{proof}
\begin{bem}
$0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
\end{bem}
\begin{definition}[Körper]
Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
\end{definition}
\begin{bsp}
\begin{enumerate}
\item $\Q, \R, \C$ sind Körper
\item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{lemma}[]
In einem Körper $K$ gilt, dass
\[
a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
$a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
\[
b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
.\]
\end{proof}
\begin{lemma}
Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
\end{lemma}
\begin{proof}[]
$\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).
Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
\[
A\cdot : \Z / p \Z \to \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
.\]
Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.
Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in \Z / p \Z$ mit
\[
A \cdot B = A \cdot C
.\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.
Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
$p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$
\end{proof}
\begin{bem}
Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
\end{bem}
\begin{proof}
Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
$\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
$\overline{b} \neq \overline{0}$ aber
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
\end{proof}
\begin{definition}[Charakteristik]
Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
$1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
Charakteristik von K.
Notation: char(K).
Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
\end{definition}
\begin{bem}
\begin{enumerate}
\item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
\item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
\item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
\end{enumerate}
\end{bem}
\begin{satz}
char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
\end{satz}
\begin{proof}
Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.
Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
mit $ab = n$. Dann gilt:
\[
(1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
= (1_K + \ldots + 1_K) = 0
.\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$
Das Widerspricht der Minimalität von n.
\end{proof}
\subsection{Homomorphismen}
\begin{definition}
Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
$g, g' \in G$ gilt:
\[
f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
.\]
\end{definition}
\end{document}