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ws2019/ana/lectures/analysis3.tex

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+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Grundlagen}
+
+\subsection{Vollständige Induktion}
+
+\begin{bsp}
+    Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
+    \[
+    \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
+    .\] 
+
+    \begin{proof}
+        Induktionsanfang für $n=1$:
+        \[
+        \sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1(1+2)}{2} = 1
+        .\] 
+        Induktionsschritt
+        \[
+        \sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
+        = \frac{n(n+1)+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
+        .\] 
+    \end{proof}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}
+    Seien $m, n \in \N, m \le n$\\
+    $a_{m}, a_{m+1}, \ldots,  a_n \in \R$. Dann
+    $a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n = \sum_{k=m}^{n} a_{k}$.
+    Falls $m>n$, dann $\sum_{k=m}^{n} a_{k} := 0$
+
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Definiere rekursiv für $x \in \R$:
+    $x^0 := 1$ und $x^{n+1} := x \cdot x^n, n \in \N_0$
+    Betrachte 
+    \[
+    \sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^n, x \in \R
+    .\] 
+    Dann heißt
+    \[
+    \sum_{k=0}^n x^{k} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
+    \] geometrische Summenformel.
+
+    \begin{proof}
+        Induktionsanfang für $n = 1$:
+        \[
+        1+x = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x}
+        .\] 
+
+        Induktionsschritt: $n \to n + 1$
+
+        \begin{align*}
+            \sum_{n=0}^{n+1} x^k &= \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1}\\
+            &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1}
+            &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)(x^{n+1})}{1-x}
+            &= \frac{1 - x^{n+2}}{1-x}
+        .\end{align*}
+    \end{proof}
+
+    \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
+        \begin{align*}
+            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
+        .\end{align*}
+    \end{proof}
+
+\end{bsp}
+
+Als Anwendung der geometrischen Summenformel ergeben sich nützliche Formeln, z.B.
+$ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
+
+\begin{align*}
+    a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
+\end{align*}
+
+\begin{proof}
+    Für $a=0$ und  $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
+    Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
+    \[
+    1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
+    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
+    \] 
+    \[
+    a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
+    \] 
+\end{proof}
+
+\subsection{Elemente der Kombinatorik}
+
+Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
+\[
+    1! := 1 \text{ und } \forall n \in \N: (n + 1)! = n!(n+1)
+.\] Per Definition $0! := 1$
+
+\begin{satz}[Permutationen]
+    Die Anzahl aller Anordnungen (oder Permutationen) von $n \in \N$ Elementen ist $n!$. 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Induktionsanfang:
+
+    $n=1$: Eine Anordnung 1 \\
+    $n=2$: Zwei Anordnungen 12, 21
+
+    Induktionsschritt $n \to n+1$: Anzahl von Anordnungen der Elemente ${1, \ldots, n+1}$,
+    die das Element $(n+1)$ auf Platz 1 hat bei beliebiger Anordnung der
+    anderen Elemente nach Induktionsannahme ist $n!$. Für jedes der $n+1$
+    Plätze ergeben sich wieder $n!$ Anordnungen, d.h. insgesamt:
+    $n!(n+1) = (n+1)!$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Binomialkoeffizient]
+    Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
+    \begin{align*}
+        n \ge  k \ge  1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
+        k = 0:& \binom{n}{0} := 1
+    \end{align*}
+    $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
+    \begin{align*}
+        \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
+                     &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
+                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
+    .\end{align*}
+    Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
+    $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+    \incfig{figur1}
+    \caption{figur1}
+    \label{fig:figur1}
+\end{figure}
+
+\end{document}